2024-2025学年福建省莆田市秀屿实验中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省莆田市秀屿实验中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若集合，，则满足的实数的个数为( )
A. B. C. D.
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D. 或
5.已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知命题：两个正实数，满足，且恒成立，命题：“，使”，若命题与命题都为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.下列各一元二次不等式中，解集为空集的是( )
A. B.
C. D.
8.学校举办运动会时，高一班共有名同学参加比赛，有人参加趣味益智类比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛则只参加趣味益智类一项比赛的人数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，的最小值是
C. 当时，的最小值是
D. 设，，且，则的最小值是
10.已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
11.已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以为“开点”的集合有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则的取值范围是______．
13.二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是______．
14.已知，都是正数，且，则的最大值是 ，的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集为，集合，．
分别求，；
已知，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知命题：，：．
若，那么是的什么条件；
若是的充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知，，且求的最小值；
已知，，均为正数，且，求证：．
18.本小题分
某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
19.本小题分
已知有限集，，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；
若为正整数，求：“完美集”．
参考答案
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14.
15.解：，，
，
或，
或或；
，，
，
，
解得：．
16.解：解，得：，
解，得：，
令，，
若，则，，
那么是的必要不充分条件；
若是的充分条件，则是的充分条件．
即，则，
解得：，
的取值范围为．
17.解：因为，，且，所以，
所以，
当且仅当即时取等，所以的最小值为．
证明：因为，，
则，
，当且仅当时，等号成立．
三式相加得：，
所以．
18.解：如图所示，设底面的长为，宽为，，
则，，
设房屋总造价为，
由题意可得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故当房屋底面的长为，宽为时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是元．
19.解：由，，则集合是“完美集”，
若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或舍去，
所以，又，均为正数，
所以、至少有一个大于．
不妨设中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为．
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