广东省湛江市“上进联考”2025届普通高中毕业班调研测试数学试题（含答案）

广东省湛江市“上进联考”2025届普通高中毕业班调研测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为同一组数据用该组区间的中点值作代表( )
A. B. C. D.
5.已知，均为锐角，若，，则( )
A. B. C. D.
6.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前世纪，约比西方晚年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早年现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
7.已知某条线路上有，两辆相邻班次的快速公交车，若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，，是三条不同的直线，，为两个不同的平面，则( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，，则
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 为的图象的一个对称中心
C. 在上单调递增
D. 将的图象的横坐标伸长为原来的倍后得到的图象，则曲线与直线有个交点
11.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上第一象限的点，且，过点的直线与交于，两点，圆，则( )
A.
B. 若，则直线倾斜角的正弦值为
C. 若的面积为，则直线的斜率为
D. 过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．
13.若函数存在最小值，则实数的取值范围为 ．
14.已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的倍，则的离心率的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四棱锥的底面四边形为矩形，平面，为等腰直角三角形，为棱的中点．
证明：平面平面
若，求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知函数
若，求的单调区间
若既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知椭圆过点，
求的方程
已知过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
求的大小
若，求的最大值
若，且，求的面积．
19.本小题分
若数列满足：当为奇数时，当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”已知数列具有“收缩性质”．
若，求的值构成的集合
若，使得，证明：，为整数
若，，，求的值构成的集合．
参考答案
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15.证明：因为平面，平面，所以，
因为，，平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以
而为等腰直角三角形，且为棱的中点，故AE．
而，平面，平面，所以平面．
而平面，故平面平面．
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，
设平面的法向量为，所以
令，得，故平面的一个法向量为．
设直线与平面的夹角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为

16.解：时，，，
，
令，解得负值舍去，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的单调递减区间为，单调递增区间为
依题意，，
令，则问题转化为有两个不同的正根，
故
解得，故实数的取值范围为
17.解：依题意，
解得，，故E的方程为．
当直线的斜率不存在时，，
代入椭圆方程得，，
此时，，，不合题意舍去
当的斜率存在时，设直线的方程为，，，
由，得，
则，，，
，
，
则，解得，
故直线的方程为或．
18.解：依题意，，
而，故，
则，则，
由正弦定理，，
而，
则，
因为，故，则．
由正弦定理，，
故，，
则
，
其中，
故的最大值为．
依题意，，
由正弦定理，，
设，，
由余弦定理，，得，
而，得，故，，
则．
19.解：因为，则，，则或，故的值构成的集合为．
证明：依题意，，为的倍数，
当为奇数时，
当为偶数时，易知为偶数，，
故是的倍数，
以此类推，，，，，都是的倍数
另一方面，当时，由于
当为的倍数时，可知也是的倍数，
以此类推，，，，，都是的倍数，
综上所述，，为整数．
解：因为，，，故数列具有周期性，
由条件可知，数列一定有最小值，设为，下证或．
当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾，所以是奇数
不妨设，则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾，
综上，只能是小于的正奇数，即或
当数列中出现时，后面的项为，，，，，，，，，循环
当数列中出现时，后面的项为，，，，循环
所以数列具有周期性时，只能为，，，，中某一个数．
经检验，当时，，，．
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