重庆市“名校联盟”2025届高三上学期第一次联合考试数学试题（含答案）

重庆市“名校联盟”2025届高三上学期第一次联合考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则下面结论中正确的是( )
A. B. C. D.
2.记为数列的前项和“任意正整数，均有”是“是递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是( )
A. B. C. D.
4.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
5.已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.数学活动小组由名同学组成，现将这名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组随机选出一名组长，则不同的分配方案有种．
A. B. C. D.
7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数。人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型描述血氧饱和度随着给氧时间单位，小时的变化而变化的规律，其中为初始血氧饱和度，为参数。已知，给氧小时后，血氧饱和度为。若使得血氧饱和度达到，则至少还需要的给氧时间为精确到，参考数据，，( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
8.若的内角满足，则( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式中，二项式系数之和为，下列说法正确的是( )
A. ，，成等差数列 B. 各项系数之和为
C. 展开式中二项式系数最大的项是第项 D. 展开式中第项为常数项
10.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为，方差为，乙队体重的平均数为，方差为，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则下列说法正确的是( )
A. 甲、乙两队全部队员的平均体重是 B. 甲、乙两队全部队员的平均体重是
C. 甲、乙两队全部队员的方差是 D. 甲、乙两队全部队员的方差是
11.若函数，则下列说法中正确的是( )
A. 的最大值是 B. 恒成立
C. 存在对称轴 D. 存在对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数，则复数的实部与虚部之和是 ．
13.若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是 ．
14.已知平面向量，，满足，，，，则 ，若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知各项均为正数的等差数列的前三项和为，等比数列的前三项和为，且，．
求数列和的通项公式
设其中，求数列的前项和．
16.本小题分
已知
求的单调递增区间
若函数在区间上恰有两个零点，
求的取值范围
求的值．
17.本小题分
随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能．某免费“驾考”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供次模拟考试机会．学员小张经过理论学习后，准备利用该进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止．
求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；
若学员小张每次模拟考试用分钟，求他一天内模拟考试花费的时间的期望．
18.本小题分
据报道，年月底重庆市某区县将举行马拉松赛。比赛某补给站平面设计图如图所示，根据比赛需要，在设计时要求，．
若，，求的值
若，四边形面积为，求的值．
19.本小题分
已知函数其中，．
当，，记的导函数为，证明：恒成立
指出的对称中心，并说明理由
已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值．
参考答案
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15.解：设数列的公差为和数列的公比为，
由题知各项均为正数的等差数列的前三项和为，
故，
等比数列的前三项和为，故，即，
由，得，，，
，
由知
由题知的前项和，
即．
16.解：
，
令，
则，
所以的单调递增区间；
令，当时，
， ，
如图．
要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或．
设，是函数的两个零点，
由正弦函数图象性质可知，
即．

17.解：设学员小张恰第次通过模拟考试的概率为，
则，，
所以，学员小张最多利用两次机会就通过的概率为；
设表示一天内模拟考试的次数，则，，，，，
由题意知：
，
，
，
，
，
，
，
，
所以，小张一天内模拟考试花费的时间的期望为分钟．
18.解：在 中， ，则
．
在 中，由正弦定理得， ， ．
由 ，得 ， ，
．
在 、 中，由余弦定理得，
，
，
从而 ，由 得，
，
得， ，
即 ， ．

19.解：证明：当，时，，
所以．
因为
，
所以曲线关于点对称，
曲线是中心对称图形．
易得，，
当时，，在上单调递增，当时，，不符合题意；
当时，令，得，在上单调递增
令，解得，在上单调递减
所以在处取得最小值，且
结合题意，当且仅当成立，即，
所以．
设，，
易得在上单调递减，在上单调递增，
所以所以，当且仅当，时取等号，
所以的最小值为
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