2024-2025学年山西省高三（上）质检数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山西省高三（上）质检数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数是虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律图正八边形是由图八卦模型图抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则( )
A. B. C. D.
4.若命题：，使得为假命题，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.已知，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
6.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知命题：设等差数列的前项和为，若且，则，命题：设等比数列的前项和为，若且，则，则( )
A. 是真命题，是假命题 B. 是假命题，是真命题
C. 与都是真命题 D. 与都是假命题
8.在半径为的圆上任取三个不同的点，，，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是( )
A. 若的最小正周期是，则
B. 若的图象关于直线对称，则
C. 若在上单调递增，则的取值范围是
D. 若，则在上有且只有个零点
11.已知，其中是自然对数的底数，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知偶函数满足：当时，，则 ______．
13.若非零向量满足：，且，则夹角的大小为______．
14.若函数恰有个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，的面积为，求边的大小．
16.本小题分
已知数列的前项和满足：．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数．
若，求的值域；
若，求的值．
18.本小题分
已知函数是自然对数的底数．
讨论函数的单调性；
求证：恒成立．
19.本小题分
已知曲线在点处的切线交轴于点，曲线在点处的切线交轴于点，依此类推，曲线在点处的切线交轴于点，其中数列称为函数关于的“切线数列”．
若，是函数关于的“切线数列”，求的值；
若是函数关于的“切线数列”，记，求数列的通项公式；
若，是否存在，使得函数关于的“切线数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：，根据正弦定理可得．
，．
，，又，，
又，．
的面积为，
，即，解得．
由余弦定理，得，．
16.解：数列的前项和为，且满足，
当时，，解得，
当时，由，，得，，
，得：，整理，得，
是首项为，公比为的等比数列，
，
，
．
17.解：
，
则，
由为偶函数可得，，解得，
又，所以，．
当时，，所以，
所以，即的值域为．
因为，
所以，即，
所以，又，所以．
所以．
18.解：根据，其导函数，
当时，使，解得，
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
当时，恒成立，因此在单调递增；
综上可得，当时，函数的单调递增区间为单调递减区间为，
当时，函数的单调递增区间为；
证明：使，
该函数定义域为，
使，那么在上恒成立，因此在上单调递增．
又因为，，因此，使得，所以．
当时，，所以，因此单调递增．
当时，，所以，因此单调递减；
因此，
又因为，因此，
因此，当且仅当，即时，等号成立，
又因为，因此，因此，所以恒成立．
19.解：由函数，可得，
所以，且，
所以曲线在处的切线方程为，
令，解得，所以．
解：因为，所以，
所以，
所以曲线在处的切线方程为，
令，得，即，
因为，所以，
即，所以，
所以，
所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
解：由得，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
令，则，即，
由，得，
设，则，
因为，由，得，所以，
函数的定义域为，，所以函数在上单调递增，
当时，
，即，
所以，
所以数列在时单调递减，故数列不是周期数列；
同理，当时，
，
数列在时单调递增，故数列不是周期数列；
当时，
可得，
所以数列在时单调递减，故数列不是周期数列；
当时，
可得，
所以数列在时单调递增，故数列不是周期数列．
综上所述，当时，不存在，使得关于的“切线数列”为周期数列．
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