2024-2025学年宁夏石嘴山一中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年宁夏石嘴山一中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，为实数集，则等于( )
A. B. C. D.
2.若函数在区间其中上存在零点，则常数的取值范围( )
A. B. C. D.
3.函数其中为自然对数的底的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”明增广贤文是勉励人们专心学习的假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍照此计算，大约经过天“进步者”是“退步者”的倍参考数据：，，
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.若对任意的，，且，都有，则的最小值是( )
注：为自然对数的底数
A. B. C. D.
7.已知函数，其中是自然对数的底数若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中假命题有( )
A. “”是“”的必要条件
B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件
C. 若，则
D. 的最小值为
10.设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 当时，的取值范围为
C. 为奇函数
D. 方程仅有个不同实数解
11.已知函数，，则下列结论中正确的有( )
A. 必有唯一极值点
B. 若，则在上单调递增
C. 若，对有恒成立，则
D. 若存在，使得成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的终边经过点，则 ______．
13.已知函数的值域是全体实数，则实数的取值范围是______．
14.已知且时，不等式恒成立，则正数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数满足．
求的解析式；
若，求的单调性．
16.本小题分
已知，为锐角，且，，求的值；
化简求值．
17.本小题分
已知函数
若曲线在点处的切线方程为，求和的值；
讨论的单调性．
18.本小题分
已知函数，，为的导函数．
证明：当时，，；
若与有两条公切线，求的取值范围．
19.本小题分
定义运算：，已知函数，．
若函数的最大值为，求实数的值；
若函数存在两个极值点，，证明：；
证明：．
参考答案
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15.解：根据题意，已知，
设，则，则有，
所以；
当时，．
先求函数的定义域，令，即，解得或，函数的定义域为或，
对于二次函数，其对称轴为．
当时，二次函数单调递减，因为对数函数在上单调递减，此时单调递增．
当时，二次函数单调递增，对数函数在上单调递减，此时单调递减．
故函数在上单调递增，在上单调递减．
16.解：因为，为锐角，，
故，
由已知可得，．
因为，
所以，
所以
．
．
17.解：，则，
曲线在点处的切线方程为，
则，解得，
由，解得．
，函数定义域为，
则，
令，解得或，
若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增，
若，则在上恒成立，单调递增，
若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
18.解：证明：当时，，，
，等价于证明，，
令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，所以，
所以，，即，；
设一条公切线与，切点分别为，
则，，
可得切线方程为，，
因为它们是同一条直线，所以，
可得，令，
若与有两条公切线，则与的图象有两个交点，
则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，所以，
且当时，，当时，，可得的大致图象如下图，
所以实数的取值范围为．
19.解：由题意知：，定义域为，
，
当时，，在单调递减，
不存在最大值，不符合题意，
当时，由得，
当，，单调递增；，，单调递减，
，
；
证明：，定义域为，
，
“函数存在两个极值点，”等价于“方程有两个不相等的正实数根”，
对于方程，
则，解得，
，
要证，即证，
，不妨令，故，
由，得，
令，
则在恒成立，
函数在上单调递减，故，
成立；
证明：由知，，即，
当时，，
，
．
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