2024-2025学年湖北省荆州市沙市中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省荆州市沙市中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则下列表述正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知非零向量的夹角为，且，，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.若，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，若，，使得则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，图象的一个最高点为，图象与轴的一个交点为，且点，之间的距离为，则( )
A.
B.
C.
D.
7.过双曲线的右焦点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，线段与双曲线交于点，过点向另一条渐近线作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设函数，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知随机变量，，其中，已知随机变量的分布列如下表
若，则( )
A. B. C. D.
11.如图，在平行四边形中，，且，为的中线，将沿折起，使点到点的位置，连接，，，且，则( )
A. 平面
B. 与平面所成角的正切值是
C. 与所成的角为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：与圆：交于，两点，则 ______．
13.已知的内角，，的对边分别为，，，，，若，为中点，则 ______．
14.对，恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的极值；
若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
锐角中，角，，所对的边分别为，，，满足．
求角；
求的取值范围．
17.本小题分
已知四棱锥的底面是一个梯形，，，，，．
证明：平面平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点，分别为椭圆的左、右顶点．
求双曲线的方程；
设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，．
试探究与的比值是否为定值若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求的取值范围．
19.本小题分
对于一组向量，，，，，且，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范围；
若，且，向量组，，，，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，设在平面直角坐标系中有一点列，，，，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值．
参考答案
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15.解：由函数，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数在区间单调递减，单调递增，
当时，取得极小值，极小值为，无极大值．
由不等式恒成立，即恒成立，
即对于任意，不等式恒成立，
设，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，当时，函数取得极小值，同时也时最小值，，
所以，即，所以实数的取值范围为．
16.解：由，
结合正弦定理可得，即，
所以，
又，故；
，
因为锐角三角形，故，
解得，则，
故
即的取值范围为．
17.证明：分别取，的中点，，连接，，，
在直角梯形中，，，
因为，
所以，且，
又，是的中点，
所以，
所以，即，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，，
由图可知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
18.解：由题意可设双曲线：，
则，解得，
双曲线的方程为；
设，，直线的方程为，
由，消去得，则，，
且，，
；
设直线：，代入双曲线方程并整理得，
由于点为双曲线的左顶点，此方程有一根为，
，解得，
点在双曲线的右支上，，
解得，即，
同理可得，
由，
，

19.解：由题意可得：，则，解得：；
存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下：
由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，；
由题意，得，，即，
即，同理，
，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由得：，
设，则依题意得：，
得，，
故，，
，，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
故．
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