2024-2025学年上海市杨浦区同济大学一附中高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市杨浦区同济大学一附中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 如果直线不平行于平面，那么平面内不存在与平行的直线
B. 如果直线平面，平面平面，那么直线平面
C. 如果直线与平面相交，平面平面，那么直线与平面也相交
D. 如果平面平面，平面平面，那么平面平面
2.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间小时
党员人数
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第百分位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.已知椭圆：，过点且倾斜角为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.定义：如果函数在区间上存在，，满足，，则称函数是区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.不等式的解集是______．
6.已知复数是虚数单位，则 ______．
7.已知，，，则的最小值为______．
8.若，则 ______．
9.若、、三点不能构成三角形，则 ______．
10.某市高考新政规定每位学生在物理、化学、生物、历史、政治、地理中选择三门作为等级考试科目，则甲、乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有______种．用数字作答
11.已知为等差数列，其前项和为若，，，则______．
12.过直线上一点作圆的两条切线，，当，关于直线对称时，，的夹角的大小为______．
13.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为______．
14.如图，正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______．
15.已知，其中，，，，若，，则实数的最大值为______．
16.已知数列满足：对于任意正整数有，且，其中，若，数列的前项和为，则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别为棱，的中点，，平面平面求证：
平面；
平面．
18.本小题分
已知向量，，函数．
设，且，求的值；
在中，，，且的面积为，求的值．
19.本小题分
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为单位：分钟，
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
20.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于、两点点在点的上方，与轴交于点．
当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长；
当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；
若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值．
21.本小题分
对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；
若函数是定义在上的“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，求实数的取值范围；
若函数是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，求实数的取值范围．
参考答案
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17.证明：由于，分别为棱，的中点，
所以，由于四边形是矩形，所以，
所以，由于平面，平面，
所以平面；
由于，是的中点，所以，
由于平面平面，平面平面，
平面，，
所以平面，
由于平面，所以，
由于，，平面，
所以平面．
18.解：，
，，
，，
或；
，由知，
在中，设内角、的对边分别是，，
则，
由余弦定理得，，
解得或，，
由正弦定理得 ，
故．
19.解：由题意知，当时，
，
即，
解得或，
，
时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
当时，
；
当时，
；
；
的对称轴为，
当时，，，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；
说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间随自驾人数增多是递减的；
有大于的人自驾时，人均通勤时间随自驾人数增多是递增的；
当自驾人数为时，人均通勤时间最少．
20.解：当时，椭圆：，的周长为；
证明：当且直线过点时，椭圆：，直线斜率存在，，
联立，消去得：，
恒成立，
设，，则
由，点的横坐标为，
考虑向量横坐标得到，，
从而
，所以为定值；
，解得：，故椭圆方程，
联立，消元得：，
，即，
设，，则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得：，
此时，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，所以面积的最大值为．
21.解：函数数的导函数为，
因为函数是“跃点”函数，
则方程有解，即有解，
而，因此，解得，
所以实数的取值范围是；
函数，的导函数为，
依题意，方程，
即在上有两个不等实根，
令，，
因此函数在上有两个不同零点，
则，解得或，
所以实数的取值范围是；
函数的导函数为，
因为函数是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，
则方程，显然，
所以在上恰有一个实数根，
令，求导得，
由，得；由，得且，，
所以函数在上单调递减，恒成立，函数的取值集合是，
在上单调递减，函数的取值集合是，
在上单调递增，函数的取值集合是，
作出函数的图象，如图所示：
当时，直线与函数的图象有唯一公共点，
即方程恰有一个实数根，从而，
所以的取值范围为．
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