2024—2025学年苏科版数学九年级上册 第1-2章阶段检测卷（含详解）

第1-2章阶段检测卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 朝阳区校级期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）
A．x2+2xy+y2＝0 B．x2﹣2x+3＝0
C． D．ax2+bx+c＝0
2．（2023秋 方城县期末）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
3．（2024春 瑶海区期中）已知一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根为m，则2023﹣m2+m的值是（　　）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2025
4．（2024春 慈溪市期末）杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售11.5万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（x＞0），则可列方程为（　　）
A．10（1+x）2＝11.5 B．10（1+2x）＝11.5
C．10x2＝11.5 D．11.5（1﹣x）2＝10
5．（2024 大庆二模）三角形的外心是（　　）
A．三边上的高线的交点
B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三个内角平分线的交点
6．（2024 雁塔区校级四模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为的中点，若∠A＝50°，则∠CBD的度数为（　　）
A．50° B．40° C．30° D．25°
7．（2024秋 鄞州区校级月考）如图，直径AB＝12的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时A到了点A′的位置，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2π B．3π C．4π D．12π
8．（2024 临邑县一模）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　　）
A．9 B．10 C．8 D．12
二．填空题（共7小题）
9．（2024 常州模拟）一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　 　．
10．（2024秋 张店区校级月考）若，则的值为 　 　．
11．（2024秋 兴宁区月考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为 　 　．
12．（2024秋 金乡县月考）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a+b2，例如3※2＝3+22＝7，则关于x的方程x※（x+1）＝5的解是 　 　．
13．（2024秋 建邺区校级期中）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，AD＝2，AB+CD＝8，则BC＝ 　 　．
14．（2024 盐城三模）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为 　 　m．
15．（2024秋 工业园区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠B＝ 　 　．
三．解答题（共7小题）
16．（2024秋 龙海区校级月考）解方程：
（1）x2﹣2x+1＝3；
（2）x2﹣5x+6＝0．
17．（2024秋 通许县期中）已知关于x的方程x2﹣（m+1）x﹣1＝0．
（1）求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根互为相反数，求m的值．
18．（2024秋 邗江区校级月考）烟花三月下扬州，东关街区人如流．东关街某店铺以每件45元的批发价购进一批长毛绒玩偶盲盒，以每件68元的价格出售，一经开售，深受游客喜爱．经统计，第一周该盲盒的销售量为256件，第三周的销售量达到400件．
（1）求该盲盒第一周到第三周销售量的周平均增长率；
（2）从第四周起，店铺经营者决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该盲盒每降价1元，周销售量就会增加20件．当该盲盒售价为多少元时，周销售利润达8400元？
19．（2024 济南模拟）（1）尺规作图，作出△ABC的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）；
（2）若AB＝，∠B＝45°，BC＝6，求△ABC外接圆的半径长．
20．（2024 烟台一模）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：BD为圆的直径；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
21．（2023秋 武胜县期末）HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
22．（2024 海陵区一模）学习下面方框内的内容，并解答下列问题：
小明在反思学习时，发现解决下列3个问题时都用到了同一种数学思想方法： 问题1：若a﹣2b＝3，求2a﹣4b+1的值． 解决思路：2a﹣4b+1＝2（a﹣2b）+1＝2×3+1＝7． 问题2：如图1，分别以△ABC的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和． 解决思路：将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆，则阴影面积为2π． 问题3：已知a2+b2＝3ab（a＞b＞0），求的值． 解题思路：对已知条件进行恒等变形，a2+b2+2ab＝5ab，（a+b）2＝5ab，因为a＞b＞0，所以，类似可以得到a﹣b＝…．
问题：
（1）方框内3个问题的解决都用到了 　 　的数学思想方法（从下列选项中选一个）；
A．分类讨论
B．数形结合
C．整体
D．从特殊到一般
（2）方框内问题3中的值为 　 　；
（3）如图2，已知⊙O的半径为5，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝8，CD＝6，求与的长度之和．
第1-2章阶段检测卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 朝阳区校级期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）
A．x2+2xy+y2＝0 B．x2﹣2x+3＝0
C． D．ax2+bx+c＝0
【解答】解：A、方程x2+2xy+y2＝0含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、方程x2﹣2x+3＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、方程的分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2023秋 方城县期末）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，
解得k≥﹣2且k≠0．
故选：C．
3．（2024春 瑶海区期中）已知一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根为m，则2023﹣m2+m的值是（　　）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2025
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根为m，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴2023﹣m2+2m＝2023﹣（m2﹣m）＝2023﹣2＝2021．
故选：B．
4．（2024春 慈溪市期末）杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售11.5万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（x＞0），则可列方程为（　　）
A．10（1+x）2＝11.5 B．10（1+2x）＝11.5
C．10x2＝11.5 D．11.5（1﹣x）2＝10
【解答】解：根据题意得：10（1+x）2＝11.5．
故选：A．
5．（2024 大庆二模）三角形的外心是（　　）
A．三边上的高线的交点
B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三个内角平分线的交点
【解答】解：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，
故选：C．
6．（2024 雁塔区校级四模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为的中点，若∠A＝50°，则∠CBD的度数为（　　）
A．50° B．40° C．30° D．25°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵点C为的中点，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD＝×（180°﹣130°）＝25°，
故选：D．
7．（2024秋 鄞州区校级月考）如图，直径AB＝12的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时A到了点A′的位置，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2π B．3π C．4π D．12π
【解答】解：∵直径AB＝12的半圆，绕B点顺时针旋转30°，
∴S阴影＝SA'B为直径的半圆+S扇形ABA'﹣SAB为直径的半圆，
又∵AB＝A'B，
∴SA'B为直径的半圆＝SAB为直径的半圆，
∴S阴影＝S扇形ABA'，
∵AB＝12，∠ABA’＝30°，
∴S阴影＝S扇形ABA’＝＝＝12π．
故答案为：D．
8．（2024 临邑县一模）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　　）
A．9 B．10 C．8 D．12
【解答】解：连接OE，延长EO交BF于点M，
∵C'D'与⊙O相切，
∴∠OEC′＝90°，
又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'，
∴∠EMB＝90°，
∴BM＝FM，
∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′，
∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝BC'＝8，
∴四边形EMBC'为矩形，
∴ME＝8，
设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x，
∵OM2+BM2＝OB2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AB＝CD＝10．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
9．（2024 常州模拟）一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　x1＝0，x2＝1　．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1．
10．（2024秋 张店区校级月考）若，则的值为 　4　．
【解答】解：，
，
，
∴x﹣1＝0，，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴．
故答案为：4．
11．（2024秋 兴宁区月考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为 　（50﹣2x）（30﹣x）＝800　．
【解答】解：由题意可得：（50﹣2x）（30﹣x）＝800，
故答案为：（50﹣2x）（30﹣x）＝800．
12．（2024秋 金乡县月考）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a+b2，例如3※2＝3+22＝7，则关于x的方程x※（x+1）＝5的解是 　x1＝﹣4，x2＝1　．
【解答】解：∵x※（x+1）＝5，
∴x+（x+1）2＝5，
∴x2+3x﹣4＝0，
（x+4）（x﹣1）＝0，
x+4＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．
13．（2024秋 建邺区校级期中）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，AD＝2，AB+CD＝8，则BC＝ 　6　．
【解答】解：设AB、BC、CD、DA与⊙O的切点分别为E、H、G、F，
∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD+BC＝AF+DF+BH+CH＝AE+BE+DG+CG＝AB+CD，
∵AD＝2，AB+CD＝8，
∴BC＝AB+CD﹣AD＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
14．（2024 盐城三模）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为 　1.3　m．
【解答】解：设该门洞的半径的半径为r m，
如图，过点圆心O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，
则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，AC＝BC＝AB＝×1＝0.5（m），
∴OC＝（2.5﹣r）m，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，
0.52+（2.5﹣r）2＝r2，
解得：r＝1.3，
即该门洞的半径为1.3m，
故答案为：1.3．
15．（2024秋 工业园区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠B＝ 　50°　．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∵∠CAB＝40°，
∴∠B＝50°．
故答案为：50°．
三．解答题（共7小题）
16．（2024秋 龙海区校级月考）解方程：
（1）x2﹣2x+1＝3；
（2）x2﹣5x+6＝0．
【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝3，
（x﹣1）2＝3，
，
∴；
（2）x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
17．（2024秋 通许县期中）已知关于x的方程x2﹣（m+1）x﹣1＝0．
（1）求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根互为相反数，求m的值．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×（﹣1）＝（m+1）2+4，
∵（m+1）2+4＞0，
∴无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设两根为x1，x2，
则由题意得：x1+x2＝0，
∴m+1＝0，
∴m＝﹣1．
18．（2024秋 邗江区校级月考）烟花三月下扬州，东关街区人如流．东关街某店铺以每件45元的批发价购进一批长毛绒玩偶盲盒，以每件68元的价格出售，一经开售，深受游客喜爱．经统计，第一周该盲盒的销售量为256件，第三周的销售量达到400件．
（1）求该盲盒第一周到第三周销售量的周平均增长率；
（2）从第四周起，店铺经营者决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该盲盒每降价1元，周销售量就会增加20件．当该盲盒售价为多少元时，周销售利润达8400元？
【解答】解：（1）设该盲盒第一周到第三周销售量的周平均增长率为x；
∴256（1+x）2＝400，
∴x＝0.25或x＝﹣2.25（舍去），
∴周平均增长率为25%；
（2）设该盲盒售价为a元时，周销售利润达8400元，a＜68，
∴，
∴a2﹣133a+4380＝0，
∴（a﹣60）（a﹣73）＝0，
a＝60或a＝73（舍去），
∴该盲盒售价为60元时，利润达8400元．
19．（2024 济南模拟）（1）尺规作图，作出△ABC的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）；
（2）若AB＝，∠B＝45°，BC＝6，求△ABC外接圆的半径长．
【解答】解：（1）尺规作图，如图1，
（2）如图所示，连接OB，
∵DH、OE分别垂直平分AB、BC，AB＝，BC＝6，
∴BD＝，BE＝3，
又∵∠ABC＝45°，∠BDO＝90°，
∴BH＝4，∠EHO＝45°，
∴OE＝EH＝BH﹣BE＝4﹣3＝1，
∴BO＝，
∴△ABC外接圆的半径长．
20．（2024 烟台一模）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：BD为圆的直径；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，
又∵∠BAC＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠CDB+∠ADB+∠ABD+∠CBD＝180°，
∴2（∠ADB+∠ABD）＝180°，
即∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD为圆的直径；
（2）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∵CF∥AD，
∴∠BAD+∠F＝180°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠F＝90°，
∴∠BCF＝30°，
∴BC＝2BF，
∵BF＝2，
∴BC＝4，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，∠ADC＝60°，
∴∠CDB＝30°，
∴BD＝2BC＝8，
∴圆的半径长为4．
21．（2023秋 武胜县期末）HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
【解答】解：设半径OA的长为r mm，
则OA＝OC＝OB＝r mm，
∵弓形高CD＝14mm，
∴OD＝（r﹣14）mm，
∵OC⊥AB，AB＝80mm，
∴AD＝AB＝40mm，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2﹣OD2＝AD2，
即r2﹣（r﹣14）2＝402，
解得：r＝．
答：半径OA的长为mm．
22．（2024 海陵区一模）学习下面方框内的内容，并解答下列问题：
小明在反思学习时，发现解决下列3个问题时都用到了同一种数学思想方法： 问题1：若a﹣2b＝3，求2a﹣4b+1的值． 解决思路：2a﹣4b+1＝2（a﹣2b）+1＝2×3+1＝7． 问题2：如图1，分别以△ABC的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和． 解决思路：将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆，则阴影面积为2π． 问题3：已知a2+b2＝3ab（a＞b＞0），求的值． 解题思路：对已知条件进行恒等变形，a2+b2+2ab＝5ab，（a+b）2＝5ab，因为a＞b＞0，所以，类似可以得到a﹣b＝…．
问题：
（1）方框内3个问题的解决都用到了 　C　的数学思想方法（从下列选项中选一个）；
A．分类讨论
B．数形结合
C．整体
D．从特殊到一般
（2）方框内问题3中的值为 　　；
（3）如图2，已知⊙O的半径为5，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝8，CD＝6，求与的长度之和．
【解答】解：（1）由题中所给三个问题可知，
在解决问题的过程中都用到了整体思想．
故选：C．
（2）继续问题3的解题过程，
a2+b2﹣2ab＝ab，
所以（a﹣b）2＝ab，
因为a＞b＞0，
所以a﹣b＝，
所以＝．
故答案为：．
（3）连接AO并延长，交⊙O交于点M，连接MB，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ABM＝90°．
在Rt△ABM中，
BM＝，
∴BM＝CD，
∴，
∴．
又∵∠AOM＝180°，
∴＝，
即与的长度之和为5π．