2024-2025学年重庆一中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年重庆一中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数是奇函数，且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将吨水净化到纯净度为时所需费用单位；元为，则净化到纯净度为左右时净化费用的变化率大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
5.已知向量满足：，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足：，，，则( )
A. B. C. D.
7.关于的方程在上有个实数根．
A. B. C. D.
8.已知，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若等差数列的前项和为，则，，也成等差数列
B. 数列可能是等比数列，也可能是等差数列
C. 若等比数列满足：，则
D. 若等差数列的前项和为，，，则的最大值是
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 当时，在区间内有唯一零点
B. 当时，在点处的切线斜率为
C. 当时，若，则
D. 当时，总是的极值点
11.已知函数在上有且仅有个零点，则( )
A. 的图象向左平移必须超过个单位才可能使其关于轴对称
B. 在区间上有可能单调递增
C. 在上有条对称轴
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，点，向量，若，则实数的值是______．
13.在中内角，，所对的边分别为，，，且，则 ______．
14.在分形艺术中会有下面的操作：将一长度为的线段均分为三段，去掉中间一段，记为第次操作：将剩下的线段分别又均分为三段，并各自去掉中间一段，记为第次操作；，每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的线段分别均分为三段，同样各自去掉中间的一段；操作过程不断进行下去设第次操作去掉的线段总长为，若，则数列中取值最大的项为第______项
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足：，，数列的前项和为，且．
求数列，的通项公式；
记，数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
连续抛掷一枚质地均匀的骰子次第次抛掷落地时朝上的点数记为，且，
记事件为“”，事件为“”，求；
若，记事件为“”，求．
17.本小题分
如图，在平面四边形中，，若是上一点，，．
证明：；
若，，．
求的值；
求的最大值．
18.本小题分
已知为坐标原点，双曲线：的焦距是实轴长的倍，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且．
求双曲线的标准方程；
过双曲线的右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值．
19.本小题分
已知函数．
证明：当时，；
若恒成立，求实数的值；
证明：．
参考答案
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13.或
14.
15.解：由，，可得，
即有数列是首项和公比均为的等比数列，则，即；
由，可得，
即，当时，，
当时，，对也成立，
则；
，
则，
由对一切恒成立，可得，即，解得，或，
则的取值范围是．
16.解：将事件用有序数对表示，则满足事件可以为：
，，，，，，，，，，共种，
即，
若满足的事件为，，共种，
即，
所以可得；
依题意事件为“，需先确定时骰子上出现的点数的数字个数，然后再从小到大排序即可，
则事件包含以下种情况：
第一种：抛掷次出现的点数完全相同，共有种，
第二种：抛掷次出现的点数有个数字，共有种，
以出现的数字为，为例，则有，，，；，，，；，，，，共种排序方式，
所以共有，
第三种：抛掷次出现的点数有个数字，共有种，
以出现的数字为，，为例，则有，，，；，，，；，，，，共种排序方式，
所以共有种，
第四种：抛掷次出现的点数有个数字，共有种，
依次按从小到大顺序排列即可，
抛掷次出现的总的情况为种，
所以可得．
17.证明：在中，，
，可得．
又，
，整理得，
，可得．
解：，，
又中，，是等边三角形，可得．
，
在中，由正弦定理得，可得，即．
设，
在中，由余弦定理得，
是等边三角形，是的中点，
，可得，即．
在中，
．
在中，由正弦定理得，
可得，
，
由正弦函数的性质，可知当时，即，有最大值．
当时，有最大值．
18.解：设，则，即，
过点作的两条渐近线的平行线方程分别为：，
，
则不妨取，，，
于是，
又，且，
可得，，
所以双曲线方程为．
设直线，
，
联立方程，
可得，
，，
，，
由于直线与双曲线的左右两支相交，所以方程有两个同号的实根，
故，
由，，三点共线得，
由得，
由解得，
由可知，
四边形是平行四边形，
所以，
，
，
，
令，则，
则，
令，
则
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，当且仅当，即时取等号．
19.证明：令函数，则，
当时，，所以在上单调递增，则，
所以，证毕．
解：恒成立，即恒成立，
记，则，
若，因此，
当时，由，
故存在，使得且任意的，总有，
故在上为减函数，故任意的，总有，这与题设不合，舍；
故，此时，
当时，，故在上为减函数；
当时，由，在上均为减函数，
可得在为减函数，
故，，
故在上为增函数，故，
故恒成立，故．
证明：由可知，，当且仅当时取等号，
所以，
，
因为，
所以即证，
令，则，
所以即证：，，由证明可得，
故，，，
即，，．
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