2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若实数、满足，下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设是等差数列，下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.在正方体中，点，分别是线段，上的点不为端点，给出如下两个命题：对任意点，均存在点，使得；存在点，对任意的，均有则( )
A. 均正确 B. 均不正确
C. 正确，不正确 D. 不正确，正确
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，，则 ______．
6.不等式的解集为______．
7.已知，其中为虚数单位，则______．
8.已知二项式展开式中，的系数为，则 ______．
9.已知一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是______．
10.若数列为首项为，公比为的等比数列，则 ______．
11.某船在海平面处测得灯塔在北偏东方向，与相距海里．船由向正北方向航行海里达到处，这时灯塔与船相距______海里精确到海里
12.已知函数为偶函数，则不等式的解集为______．
13.在中，三个内角、、所对的边分别为、、，若的面积，，，则 ．
14.双曲线的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则双曲线的离心率为______．
15.已知，，是平面向量，与是单位向量，且，，若，则的最小值为 ．
16.已知定义在上的函数存在导数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
求证：；
若，，，求异面直线与所成的角的大小．
18.本小题分
设，函数，．
求函数的最小正周期和单调递增区间；
若，求的值．
19.本小题分
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行睡眠时间的调查．
应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．
用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；
设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．
20.本小题分
设常数在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：与轴交于点、与交于点、分别是曲线与线段上的动点．
用表示点到点的距离；
设，，线段的中点在直线上，求的面积；
设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知函数，．
当时，求的严格增区间；
若恒成立，求的值；
对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.证明：，为的中点，
，又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
；
解：由知平面，作交于，
，，
以分别为轴、轴和轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
如图，由题可设，，
则，，，，
设异面直线与所成的角为，
，又，
，
即异面直线与所成的角为．
18.解：
，
函数的最小正周期为．
由，得，
可得函数的单调递增区间是
，，
解得，所以．
因此，．
19.解：单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，人数比为：：：，
从中抽取人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取，，人．
若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．
用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，
随机变量的取值为：，，，，，，，，．
所以随机变量的分布列为：


随机变量的数学期望；
设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
设事件为：抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人，事件为抽取的人中，睡眠充足的员工有人，睡眠不足的员工有人，
则：，且，，
故．
所以事件发生的概率：．
20.解：由题意可设，
由抛物线的性质可知：，；
，，，则，，
不妨设，设的中点，，
，则直线方程：，
联立，整理得：，
解得：，舍去，的面积；
存在，设，则，，
直线方程为，
，，
，，
设，则，
根据，解得，，则，
，解得：，
存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且
21.解：当时，函数，，
则，
令，解得，
则的严格增区间为．
函数的定义域为，求导得，
当时，由，得，，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
由恒成立，得恒成立，令，
求导得，当时，，当时，，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此，
所以．
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，，不符合题意；
综上，；
由知当时，，即，
则恒成立，当且仅当时取等号，当，时，，
因此，
则，即，
当时，，
即当时，，
所以存在正整数，对于任意正整数，恒成立，
则的最小值为．
第1页，共1页