2024-2025学年河北省邯郸市武安一中高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省邯郸市武安一中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足是虚数单位，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和为，其中，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是( )
A. ，，，四点共面
B. 平面被正方体截得的截面是等腰梯形
C. 平面
D. 平面平面
10.已知函数，则( )
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若在区间上与有且只有个交点，则
11.我们知道正、余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则______．
13.已知函数在上是增函数，且，则的取值的集合为______．
14.已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若角的平分线交于点，求的长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值。
17.本小题分
已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和，，．
求数列和的通项公式；
设的前项和，求证：．
18.本小题分
分别过椭圆：的左、右焦点，作两条平行直线，与在轴上方的曲线分别交于点，．
当为的上顶点时，求直线的斜率；
求四边形的面积的最大值．
19.本小题分
我们称复数列为广义等差的，若实数列和均为等差数列．
若等比复数列即是广义等差的，证明：；
已知，若复数列为广义等差的，求的所有可能值；
若复数列是广义等差的，且，证明：对于任意实数，复数列中至多存在两项，使得．
参考答案
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15.解：由，根据正弦定理得，
即，可得，
整理得．
因为为三角形内角，，所以，结合，可知．
是角的平分线，，
在和中，由正弦定理，可得，
因此，即，所以，
根据余弦定理得，即，解得，．
因为，
所以，即，可得．
16.证明：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以．
又，，，平面．
所以平面．
解：取的中点，连接，．
因为，所以，平面，平面平面且交于，
所以平面因为平面，所以．
因为，所以．
如图，建立空间直角坐标系由题意得，
，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，则
，即
令，则，所以．
又，所以，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由题知，，设数列的公比为，的公差为，
因为，，成等差数列，且满足，
所以，即，
解得，所以，
又因为，即，
解得，所以．
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．
证明：由知，，，
所以，，
所以
，
因为，所以，
所以．
18.解：由：可知，，椭圆上顶点为，即，
直线的斜率为，则直线的方程为：，
联立，消去并整理得，
解得，因点在轴上方，故得点，
于是直线的斜率为：；
如图，设过点，的两条平行线分别交椭圆于点，和，，
利用对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形的面积是 面积的一半．
显然这两条平行线的斜率不可能是否则不能构成构成四边形，可设直线的方程为：，
代入：，整理得：，
显然，设，，则，
则
，
点到直线：白距离为，
则四边形的面积为，
令，则且，
所以，
因为函数在，上单调递增，
所以当时，取得最小值为，此时，
即四边形的面积的最大值为．
19.解：如果等比复数列即是广义等差的，那么令，
所以实数列和均为等差数列，设它们的公差分别为，，
要证明，只需要证明，，只需要证明，
根据题意
，
因此，
所以得证．
设，那么，
因此等比复数列为广义等差的，
根据第一问可知，事实上结合第一问的分析过程可得到更一般的结论：
，
先考虑方程或，
所以或，
当时，，，
这意味着，而这与矛盾，因此复数列不为广义等差的，
所以不符合题意，
而当，时，满足，
根据以上分析，表明复数列为广义等差的，因此，符合题意；
综上所述，满足题意的所有的取值是；
一方面：对于任意实数，若，设，，
则，
另一方面：若复数列是广义等差的，且，设，，
根据题意，中至少有一个不为，
所以由等差数列的几何意义可知，点列必定分布在某一条确定的直线上，
根据椭圆的定义可知点列必定分布在某一给定的椭圆上，
结合以上两方面，并且根据直线与椭圆的位置关系可知，直线与椭圆最多有两个不同的交点，
因此对于任意实数，复数列中至多存在两项，使得．
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