2024-2025学年河北省承德一中等校高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年河北省承德一中等校高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列，满足，，则数列的前项和( )
A. B. C. D.
4.若曲线与轴，直线的交点分别为，，为坐标原点，则向量与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知，是以为直径的圆上一点，，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足若为递减数列，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数为常数，若在上的最大值为，最小值为，且，则( )
A. B. C. D.
8.在中，角，为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为数列的前项和，若，则( )
A. 存在，使得既有最小项也有最大项
B. 存在，使得仅有最小项无最大项
C. 存在，使得既有最小项也有最大项
D. 存在，使得无最小项有最大项
10.若实数，满足，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 为奇函数
C. 是的极小值点 D. 在上有极值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则曲线在点处的切线方程为______．
13.已知数列满足，，则 ______．
14.如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线，组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，．
若，求证：为等差数列；
求的前项和．
16.本小题分
已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为．
求的值及的单调递增区间；
将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度纵坐标不变，再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为．
求；
已知，为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长．
18.本小题分
已知函数．
证明：当时，只有个零点；
当时，讨论的单调性；
若，设，证明：．
19.本小题分
若项数列同时满足，则称为“阶数列”．
若等比数列为“阶数列”，写出的各项；
若等差数列为“阶数列”且，求的通项公式用，表示；
记“阶数列”的前项和为，若存在，使，判断数列能否是“阶数列”？若是，求出所有这样的数列；若不是，请说明理由．
参考答案
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15.解：证明：在数列中，，
可得，
则，
若，则，
又，所以是以为首项和公差的等差数列．
由可得，，
所以，
记数列的前项和为，
则，
，
两式相减得：，
所以，
所以．
16.解：由
，
因为图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为，
所以其最小正周期为，
则，
令，
解之得；
故函数的单调递增区间为：．
由题意可知将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度纵坐标不变，
再向上平移个单位长度可得，
再将纵坐标伸长为原来的倍，得到函数，
当，所以，
令，则条件可化为在时有解，
易知在上单调递减，在上单调递增，
易知，
则，解之得．
17.解：，根据正弦定理得，
，
，
，，，
又，．
为的平分线，，，
又，，
，
化简得，
根据余弦定理，得，即，
由可得舍去负值，，
，是关于的方程的两个实根，解得．
又为的平分线，，
又，，
，，
的周长为．

18.解：证明：当时，，函数定义域为，
可得恒成立，
所以在上单调递增，
又，
根据零点唯一性定理可知，只有个零点为；
因为，
所以函数的定义域为，
可得，
因为，
当，即时，恒成立，
则，
所以函数在上单调递减；
当，即时，
方程的两个根为，
因为，且，
所以均在内，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上，当时，在单调递减，
当时，在单调递减，单调递增，单调递减；
证明：当时，，
因为，
要证，
需证，
要证，
即证，
设，
此时需证，
即证，
设，函数定义域为，
可得，
所以在单调递增，
则．
即．
故．
19.解：设，，，是公比为的等比数列，根据题意，
因此有，所以，解得，
又由于，因此，解得，
因此数列的各项为或．
设等差数列，，，，的公差为，
因为，
所以，所以，所以，
所以，如果，那么与矛盾，
当时，易得，，
根据，即，解得，
所以，
当时，，
所以，即，
根据，所以，解得，
所以，
综上，当时，．
当时，．
记，，，中非负项和为，负项和为，那么，，
解得，
因此，所以．
若存在，使，
可知，，，，，，，，
且．
所以时，，；时，，．
所以，
又因为与不能同时成立，
因此数列不为“阶数列”．
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