河北省石家庄市2025届高三年级10月联考模拟考试数学试题（含答案）

河北省石家庄市2025届高三年级10月联考模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法中正确的是( )
A. 若函数为奇函数，则；
B. 在中，是的充要条件；
C. 若数列为常数列，则既是等差数列也是等比数列；
D. 若复数 是虚数单位，则．
3.已知数列满足，且，则的通项公式为( )
A. B.
C. D.
4.如图，在直三棱柱中，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量，满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意、，且，恒成立，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.若函数在上有个零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. ， D.
8.已知椭圆的左右焦点分别为，的三个顶点均在上，分别落在线段上且轴，若，则 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 平面平面
11.函数，方程，则下列正确的是( )
A. 函数的值域为
B. 函数的单调减区间为
C. 当时，则方程有个不相等的实数根
D. 若方程有个不相等的实数根，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，且，则的值为_____．
13.在棱长为的透明密闭的正方体容器中，装有容器总体积一半的水不计容器壁的厚度，将该正方体容器绕旋转，并始终保持 所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为_______．
14.已知等差数列的前项和为，且数列的前项和为 给出下列四个结论：； ；使成立的的最大值为； 当时，取得最小值其中所有正确结论的序号是____________．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
15.（13分）在锐角中，，，分别为内角、，的对边，且．
求的大小；
求的取值范围．
16.（15分）已知椭圆：的右焦点在直线上，，分别为的左、右顶点，且．
求的标准方程；
是否存在过点的直线交于，两点，使得直线，的斜率之和等于？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
17.（15分）已知函数．
若，，求曲线在处的切线的方程
讨论函数的单调性．
若，对任意两个不同的，不等式恒成立，求的最小值．
18.（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19.（17分）记数列中前项的最大值为，则数列称为的“最值数列”，由所有的值组成的集合为设的“最值数列”的前项和为．
若，且中有个元素，求的取值范围
若数列，都只有项，为的“最值数列”，满足，，，且存在，使得，求符合条件的数列的个数
若，求，，，，中能被整除且不能被整除的个数．
参考答案
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14.
15.解：由及正弦定理得，，
整理得，
由余弦定理得，，
，．
为锐角三角形，且，
，解得，
，
由，知，
，
，
故的取值范围为．
16.解：由直线与轴的交点为，得椭圆右焦点的坐标为，
故，，，
由题意可得，得，
．
椭圆的方程为：；
当直线的斜率为时，
显然不满足条件；
当直线的倾斜角不为时，设直线的方程为：，，
由，得．
由题意，
则．
由
，
而，得．
故存在满足条件的直线，直线的方程为：．
17.解：若 ， ，则 ，
可得 ，
所以 ，且 ，
所以曲线 在 处的切线的方程为 ，
即为 ；
，
当 时，， 在上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
当 时，， 在 上单调递减，
当 时，， 在 上单调递增
综上，当 时， 在上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
因为 ， ，所以 ，
故函数 在 上单调递增，
不妨设 ，则由 ，
可化为 ，
设 ，则 ，
所以 为 上的减函数，即 在 上恒成立，
等价于 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
又 ，所以 ，所以 ，
而函数 在 上是增函数，
所以 当且仅当 ， 时等号成立．
所以 ，即 的最小值为

18.证明：平面平面，平面平面，且，平面，
平面，
平面，
，
又，且，、平面，
平面；
解：取中点为，连接，，
，
，，
又，，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
则，，
设为平面的法向量，
则由，得
令，则，
设与平面的夹角为，则
；
解：假设存在点使得平面，
设，，，
由知，，，，，
则有，可得，
，
平面，为平面的法向量，
，即，解得，
综上，存在点，使得平面，即当时，点即为所求．
19.解：因为，
所以，
因为中有个元素，所以，，即，，
所以解得，
所以的取值范围是．
若，则，有个，
若且，则，有种可能，有个，
若且，，则，
若，则，若，的值可能是或，
若，的值可能是或或，符合条件的有个，
若，，均不为，则，，
，，的值可能分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
符合条件的有个，
，综上得符合条件的有个．
由题意得
所以，，，
所以，能被整除，
，不能被整除，
，能被整除，不能被整除，
，不能被整除，
所以，，，中能被整除，但不能被整除的有个
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