第12章 全等三角形 检测卷（含详解）2024-2025学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 第12章 全等三角形 检测卷（含详解）2024-2025学年人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 589.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-02 18:11:18 | ||
图片预览
文档简介
第12章全等三角形检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 涧西区校级月考）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
2．（2024春 东明县期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
3．（2023秋 昌吉州期末）如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪个条件可以推证△ABC≌△DEF（ ）
A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF
4．（2023秋 宁阳县期末）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
5．（2024秋 浦口区校级月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2024秋 新沂市校级月考）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△ABD成立的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4
7．（2024秋 汶上县校级月考）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AD和AD延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，下列结论：①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD周长相等；③∠BAD＝∠CAD；④BF∥CE，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024 珠海校级三模）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．60° C．45° D．70°
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 灌云县月考）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，则OC的长度是 ．
10．（2024秋 建邺区校级月考）如图，AD、BC交于点O，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，还需要再添加的一个条件是 .（写出一个即可）
11．（2024秋 盐都区月考）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，则图中全等三角形有 对．
12．（2024秋 宜兴市校级月考）一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝ ．
13．（2023秋 江陵县期末）如图，A（4，0），B（0，6），若AB＝BC，∠ABC＝90°，则C点的坐标为 ．
14．（2024秋 建邺区校级月考）如图，AC、DF相交于点G，且AC＝DF．D、C是BE上两点，∠B＝∠E＝∠1．若BE＝1，AB＝m，EF＝n，则CD的长为 ．
15．（2024秋 江岸区校级月考）如图，在四边形AEDC中，∠EAC+∠EAD＝180°，且∠ADE＝30°，∠ADC＝120°，若∠DAC＝40°，则∠ECD的度数为 ．
16．（2024秋 江岸区校级月考）如图，B、C分别在∠PAQ的两边上，连接BC，AE平分∠BAC，CE平分∠BCQ，AE交BC于D，EM⊥AP于M，EN⊥AQ于N，O为AD上一点，过O作OF⊥BC于F，作OG⊥AB于G，且OG＝OF，连接OC，下列命题中是真命题的序号有 ．
①OC平分∠ACB；
②∠COD＝∠BOF；
③2∠AEC＝∠BAC；
④BM+CN＞BC；
⑤∠DOF+∠ACB+∠BOC＝180°．
三．解答题（共6小题）
17．（2024秋 建邺区校级月考）已知：如图，点C、E在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE．求证：AC＝DF．
18．（2024 绥江县二模）如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE．
19．（2023秋 四会市期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，过点P作PM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥AC交AC的延长线于点N，且PM＝QN，连PQ交AC边于D．求证：
（1）△APM≌△CQN；
（2）DM＝AC．
20．（2023秋 滨城区期末）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连接OC，过O作OF⊥BC于F．
（1）试判断∠AOB与∠ACB的数量关系，并证明你的结论；
（2）试判断∠AOB与∠COF的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠ACB＝60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论．
21．（2024秋 农安县期中）如图，在△ABC中，点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm．
（1）若点P在线段BC上以3cm/s的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动．
①若点Q的速度与点P的速度相等，经1s后，请说明△BPD≌△CQP；
②若点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；
（2）若点P以3cm/s的速度从点B向点C运动，同时点Q以5cm/s的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC的三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？
22．（2023秋 武隆区期末）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
第12章全等三角形检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 涧西区校级月考）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；
图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；
图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；
故选：B．
2．（2024春 东明县期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【解答】解：带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故选：B．
3．（2023秋 昌吉州期末）如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪个条件可以推证△ABC≌△DEF（ ）
A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+EC，
即BC＝EF，
A、添加BC＝EF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加∠A＝∠D不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C、添加AC＝DF可利用SSS推证△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
D、添加AC∥DF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
故选：C．
4．（2023秋 宁阳县期末）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
【解答】解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D．3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（2024秋 浦口区校级月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝9，
∴，
∵AB＝5，
∴，
∴AC＝4，
故选：B．
6．（2024秋 新沂市校级月考）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△ABD成立的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若AC＝AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故本选项错误；
B、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若BC＝BD，则不一定能使△ABC≌△ABD，故本选项正确；
C、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠C＝∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故本选项错误；
D、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠3＝∠4，则△ABC≌△ABD（ASA），故本选项错误；
故选：B．
7．（2024秋 汶上县校级月考）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AD和AD延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，下列结论：①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD周长相等；③∠BAD＝∠CAD；④BF∥CE，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF与△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故①正确；
∵AB不一定等于AC，
∴AB+AD+BD不一定等于AC+AD+CD，
∴△ABD和△ACD周长不一定相等，故②错误；
现有条件不能得出∠BAD＝∠CAD，故③错误；
∵△BDF≌△CDE，
∴∠DBF＝∠DCE，
∴BF∥CE，故④正确；
综上可知，正确的有2个，
故选：B．
8．（2024 珠海校级三模）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．60° C．45° D．70°
【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 灌云县月考）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，则OC的长度是 3 ．
【解答】解：作PE⊥OC，PF⊥OB，如图所示，
∵PE＝PF，PE⊥OC，PF⊥OB，
∴∠POE＝∠POF，
∵CP∥OB，
∴∠CPO＝∠POF，
∴∠CPO＝∠POE，
∴OC＝PC，
∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴OC＝PC＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
10．（2024秋 建邺区校级月考）如图，AD、BC交于点O，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，还需要再添加的一个条件是 ∠CAB＝∠DBC .（写出一个即可）
【解答】解：添加条件是∠CAB＝∠DBC，在△ABC与△BADC中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
故答案为：∠CAB＝∠DBC（答案不唯一）．
11．（2024秋 盐都区月考）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，则图中全等三角形有 3 对．
【解答】解：如图，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝∠BDO＝∠CEO＝90°，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（AAS）；
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS）；
在△BDC和△CEB中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL）；
由上可得，图中全等三角形共有3对，
故答案为：3．
12．（2024秋 宜兴市校级月考）一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝ ﹣1 ．
【解答】解：∵一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6，
又∵这两个三角形全等，
∴7和y是对应边，x和6是对应边，
根据全等三角形的对应边相等得：x＝6，y＝7，
∴x﹣y＝6﹣7＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（2023秋 江陵县期末）如图，A（4，0），B（0，6），若AB＝BC，∠ABC＝90°，则C点的坐标为 （6，10） ．
【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°．
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD．
在△ABO和△BCD中，
，
∴△AO≌△BCD（AAS），
∴BD＝AO，CD＝BO，
∵A（4，0），B（0，6），
∴BD＝4，CD＝6，
∴点C的坐标为（6，10），
故答案为：（6，10）．
14．（2024秋 建邺区校级月考）如图，AC、DF相交于点G，且AC＝DF．D、C是BE上两点，∠B＝∠E＝∠1．若BE＝1，AB＝m，EF＝n，则CD的长为 m+n﹣1 ．
【解答】解：∵∠DGC＝∠1，
∴∠ACB＝180°﹣∠FDE﹣∠1，
∵∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠E，∠E＝∠1，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ACB和△DFE中，
，
∴△ACB≌△DFE（AAS），
∴DE＝AB＝m，BC＝EF＝n，
∴CD＝BC+DE﹣BE＝m+n﹣1，
故答案为：m+n﹣1．
15．（2024秋 江岸区校级月考）如图，在四边形AEDC中，∠EAC+∠EAD＝180°，且∠ADE＝30°，∠ADC＝120°，若∠DAC＝40°，则∠ECD的度数为 10° ．
【解答】解：过点E作EH⊥AB于H，EM⊥CA交CA的延长线于M，EN⊥CD交CD的延长线于N，如图所示：
则∠M＝∠EHA＝∠EHD＝∠N＝90°，
∵∠EAC+∠EAD＝180°，
∴∠EAD+∠DAC+∠EAD＝180°，
即2∠EAD+∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝40°，
∴∠EAD＝70°，
∴∠EAC＝180°﹣∠EAD＝110°，
∵∠EAME＝180°﹣∠EAC＝70°，
∴∠EAM＝∠EAD＝70°，
在△EAM和△EHM中，
，
∵△EAM≌△EHM（AAS）
∴EM＝EH，
∵∠ADE＝30°，∠ADC＝120°，
∴∠NDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADC）＝30°，
∴∠NDE＝∠ADE＝30°，
在△EDN和△EEDH中，
，
∴△EDN≌△EEDH（AAS）
∴EM＝EH，
∴EM＝EN，
在Rt△ECM和Rt△ECN中，
，
∴Rt△ECM≌Rt△ECN（HL），
∴∠ECD＝∠ECA＝∠ACD，
在△ADC中，∠DAC＝40°，∠ADC＝120°，
∴∠ACD＝180°﹣（∠DAC+∠ADC）＝20°，
∴∠ECD＝∠ACD＝10°．
故答案为：10°．
16．（2024秋 江岸区校级月考）如图，B、C分别在∠PAQ的两边上，连接BC，AE平分∠BAC，CE平分∠BCQ，AE交BC于D，EM⊥AP于M，EN⊥AQ于N，O为AD上一点，过O作OF⊥BC于F，作OG⊥AB于G，且OG＝OF，连接OC，下列命题中是真命题的序号有 ①②⑤ ．
①OC平分∠ACB；
②∠COD＝∠BOF；
③2∠AEC＝∠BAC；
④BM+CN＞BC；
⑤∠DOF+∠ACB+∠BOC＝180°．
【解答】解：①过点O作OH⊥AQ于H，如图1所示：
∵AE平分∠BAC，OG⊥AB，OH⊥AQ，
∴OG＝OH，
∵OG＝OF，
∴OH＝OF，
∴点O在∠ACB的平分线上，
∴OC平分∠ACB，
故命题①是真命题；
②∵AE平分∠BAC，OC平分∠ACB，
∴设∠BAO＝∠CAO＝α，∠ACO＝∠BCO＝β，
则∠BAC＝2α，∠ACB＝2β，
∴∠COD＝∠BAO+∠ACO＝α+β，
在△ABC中，∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2α﹣2β，
∵OG⊥AB，OF⊥BC，OG＝OF，
∴点O在∠ABC的平分线上，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBF＝1/2∠ABC＝90°﹣α﹣β，
在Rt△OBF中，∠BOF＝90°﹣∠OBF＝90°﹣（90°﹣α﹣β）＝α+β，
∴∠COD＝∠BOF，
故命题②是真命题；
③∵OC平分∠ACB，CE平分∠BCQ，
∴∠OCD＝∠ACD，∠ECD＝∠DCQ，
∴∠OCD+∠ECD＝（∠ACD+∠DCQ），
∵∠ACD+∠DCQ＝180°，
∴∠OCD+∠ECD＝90°，
即∠OCE＝90°，
在Rt△OCE中，∠COD＝α+β，
∴∠AEC＝90°﹣∠COD＝90°﹣α﹣β，
∴2∠AEC＝180°﹣2α﹣2β，
又∵∠BAC＝2α，
∴2∠AEC≠∠BAC，
故命题③是假命题；
④过点E作EK⊥BC于点K，连接BE，如图2所示：
∵AE平分∠BAC，EM⊥AQ，EK⊥BC，
∴EM＝EK，
在Rt△BEM和Rt△BEK中，
，
Rt△BEM≌Rt△BEK（HL），
∴BM＝BK，
∵CE平分∠BCQ，EN⊥AQ，EK⊥BC，
∴EN＝EK，
在Rt△ENC和Rt△EKC中，
，
∴Rt△ENC≌Rt△EKC（HL），
∴CN＝CM，
∴BM+CN＝BK+CM＝BC，
故命题④是假命题；
⑤在Rt△OFC中，∠BCO＝β，
∠FOC＝90﹣∠BCO＝90°﹣β，
由（2）可知：∠COD＝∠BOF＝α+β，
∴∠DOF＝∠FOC﹣∠COD＝90°﹣β﹣（α+β）＝90°﹣α﹣2β，
∴∠BOC＝∠BOF+∠FOC＝α+β+90°﹣β＝90°+α
又∵∠ACB＝2β，
∴∠DOF+∠ACB+∠BOC＝90°﹣α﹣2β+2β+90°+α＝180°．
故命题⑤是真命题，
综上所述：是真命题的序号是①②⑤．
故答案为：①②⑤．
三．解答题（共6小题）
17．（2024秋 建邺区校级月考）已知：如图，点C、E在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE．求证：AC＝DF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF．
18．（2024 绥江县二模）如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
19．（2023秋 四会市期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，过点P作PM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥AC交AC的延长线于点N，且PM＝QN，连PQ交AC边于D．求证：
（1）△APM≌△CQN；
（2）DM＝AC．
【解答】（1）证明：∵PA＝CQ，PM＝QN，且PM⊥AC，QN⊥AC，
∴Rt△APM≌Rt△CQN（HL），
（2）由（1）已证：△APM≌△CQN，
∴AM＝CN，
在△PDM和△QDN中，
，
∴△PDM≌△QDN（AAS），
∴DM＝DN，
∴DM＝CD+CN＝CD+AM，
又∵DM+CD+AM＝AC，
∴DM+DM＝AC，
即．
20．（2023秋 滨城区期末）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连接OC，过O作OF⊥BC于F．
（1）试判断∠AOB与∠ACB的数量关系，并证明你的结论；
（2）试判断∠AOB与∠COF的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠ACB＝60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）∠AOB＝90°+∠ACB，
证明：∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）
＝180°﹣（180°﹣∠ACB）
＝90°+∠ACB；
（2）∠AOB+∠COF＝180°，
证明：如图，过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC，
∴OM＝ON，ON＝OF，
∴OM＝OF，
∴O在∠ACB的角平分线上，
∴∠OCF＝∠ACB，
∵OF⊥BC，
∴∠CFO＝90°，
∴∠COF+∠OCF＝90°，
∴∠COF＝90°﹣∠OCF，①
由（1）知：∠AOB＝90°+∠ACB＝90°+∠OCF，②
由①②得：∠AOB+∠COF＝90°+∠OCF+90°﹣∠OCF＝180°；
（3）OE＝OD，
证明：∵∠ACB＝60°，
∴由（1）知：∠AOB＝90°+∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠EOD＝∠AOB＝120°，
∵OM⊥AC．OF⊥BC，
∴∠OME＝∠OFD＝90°，∠CMO＝∠CFO＝90°，
∴∠MOF＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠MOE＝∠DOF＝120°﹣∠MOD，
在△EOM和△DOF中，
，
∴△EOM≌△DOF（AAS），
∴OE＝OD．
21．（2024秋 农安县期中）如图，在△ABC中，点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm．
（1）若点P在线段BC上以3cm/s的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动．
①若点Q的速度与点P的速度相等，经1s后，请说明△BPD≌△CQP；
②若点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；
（2）若点P以3cm/s的速度从点B向点C运动，同时点Q以5cm/s的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC的三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？
【解答】解：（1）①∵点Q的速度与点P的速度相等，都是3cm/s，
∴经1s后，BP＝3cm，CQ＝3cm，
∴BP＝CQ＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴CP＝BC﹣BP＝5cm，
∵点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，
∴BD＝5cm，
∴BD＝CP＝5cm，
在△BPD和△CQP中，
，
△BPD≌△CQP（SAS），
（2）∵△BPD≌△CPQ，
∴BP＝CP，BD＝CQ，
∴点P是BC的中点，BD＝5cm，
∴BP＝CP＝4cm，
∴点P的运动时间为：4÷3＝（s），
∴点Q运动的时间为s，
∴点Q运动的速度是：（cm/s），
∴当点Q的速度为cm/s时，能够使△BPD≌△CPQ；
（3）设经过x s时，点Q第一次追上点P．
依题意得：5x﹣3x＝2×10，
解得：x＝10，
此时点P运动的路程为：3x＝30cm，
∵△ABC的周长为：10+10+8＝28（cm），30＝28+2，
∴点Q第一次在△ABC的BC边上追上点P．
答：经过10s，点Q第一次在BC边上追上点P．
22．（2023秋 武隆区期末）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 AE＝BF ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF+CD；
（2）如图3，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF．
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 涧西区校级月考）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
2．（2024春 东明县期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
3．（2023秋 昌吉州期末）如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪个条件可以推证△ABC≌△DEF（ ）
A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF
4．（2023秋 宁阳县期末）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
5．（2024秋 浦口区校级月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2024秋 新沂市校级月考）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△ABD成立的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4
7．（2024秋 汶上县校级月考）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AD和AD延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，下列结论：①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD周长相等；③∠BAD＝∠CAD；④BF∥CE，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024 珠海校级三模）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．60° C．45° D．70°
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 灌云县月考）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，则OC的长度是 ．
10．（2024秋 建邺区校级月考）如图，AD、BC交于点O，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，还需要再添加的一个条件是 .（写出一个即可）
11．（2024秋 盐都区月考）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，则图中全等三角形有 对．
12．（2024秋 宜兴市校级月考）一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝ ．
13．（2023秋 江陵县期末）如图，A（4，0），B（0，6），若AB＝BC，∠ABC＝90°，则C点的坐标为 ．
14．（2024秋 建邺区校级月考）如图，AC、DF相交于点G，且AC＝DF．D、C是BE上两点，∠B＝∠E＝∠1．若BE＝1，AB＝m，EF＝n，则CD的长为 ．
15．（2024秋 江岸区校级月考）如图，在四边形AEDC中，∠EAC+∠EAD＝180°，且∠ADE＝30°，∠ADC＝120°，若∠DAC＝40°，则∠ECD的度数为 ．
16．（2024秋 江岸区校级月考）如图，B、C分别在∠PAQ的两边上，连接BC，AE平分∠BAC，CE平分∠BCQ，AE交BC于D，EM⊥AP于M，EN⊥AQ于N，O为AD上一点，过O作OF⊥BC于F，作OG⊥AB于G，且OG＝OF，连接OC，下列命题中是真命题的序号有 ．
①OC平分∠ACB；
②∠COD＝∠BOF；
③2∠AEC＝∠BAC；
④BM+CN＞BC；
⑤∠DOF+∠ACB+∠BOC＝180°．
三．解答题（共6小题）
17．（2024秋 建邺区校级月考）已知：如图，点C、E在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE．求证：AC＝DF．
18．（2024 绥江县二模）如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE．
19．（2023秋 四会市期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，过点P作PM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥AC交AC的延长线于点N，且PM＝QN，连PQ交AC边于D．求证：
（1）△APM≌△CQN；
（2）DM＝AC．
20．（2023秋 滨城区期末）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连接OC，过O作OF⊥BC于F．
（1）试判断∠AOB与∠ACB的数量关系，并证明你的结论；
（2）试判断∠AOB与∠COF的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠ACB＝60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论．
21．（2024秋 农安县期中）如图，在△ABC中，点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm．
（1）若点P在线段BC上以3cm/s的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动．
①若点Q的速度与点P的速度相等，经1s后，请说明△BPD≌△CQP；
②若点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；
（2）若点P以3cm/s的速度从点B向点C运动，同时点Q以5cm/s的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC的三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？
22．（2023秋 武隆区期末）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
第12章全等三角形检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 涧西区校级月考）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；
图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；
图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；
故选：B．
2．（2024春 东明县期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【解答】解：带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故选：B．
3．（2023秋 昌吉州期末）如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪个条件可以推证△ABC≌△DEF（ ）
A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+EC，
即BC＝EF，
A、添加BC＝EF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加∠A＝∠D不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C、添加AC＝DF可利用SSS推证△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
D、添加AC∥DF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
故选：C．
4．（2023秋 宁阳县期末）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
【解答】解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D．3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（2024秋 浦口区校级月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝9，
∴，
∵AB＝5，
∴，
∴AC＝4，
故选：B．
6．（2024秋 新沂市校级月考）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△ABD成立的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠3＝∠4
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若AC＝AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故本选项错误；
B、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若BC＝BD，则不一定能使△ABC≌△ABD，故本选项正确；
C、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠C＝∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故本选项错误；
D、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠3＝∠4，则△ABC≌△ABD（ASA），故本选项错误；
故选：B．
7．（2024秋 汶上县校级月考）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AD和AD延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，下列结论：①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD周长相等；③∠BAD＝∠CAD；④BF∥CE，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF与△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故①正确；
∵AB不一定等于AC，
∴AB+AD+BD不一定等于AC+AD+CD，
∴△ABD和△ACD周长不一定相等，故②错误；
现有条件不能得出∠BAD＝∠CAD，故③错误；
∵△BDF≌△CDE，
∴∠DBF＝∠DCE，
∴BF∥CE，故④正确；
综上可知，正确的有2个，
故选：B．
8．（2024 珠海校级三模）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．60° C．45° D．70°
【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 灌云县月考）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，则OC的长度是 3 ．
【解答】解：作PE⊥OC，PF⊥OB，如图所示，
∵PE＝PF，PE⊥OC，PF⊥OB，
∴∠POE＝∠POF，
∵CP∥OB，
∴∠CPO＝∠POF，
∴∠CPO＝∠POE，
∴OC＝PC，
∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴OC＝PC＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
10．（2024秋 建邺区校级月考）如图，AD、BC交于点O，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，还需要再添加的一个条件是 ∠CAB＝∠DBC .（写出一个即可）
【解答】解：添加条件是∠CAB＝∠DBC，在△ABC与△BADC中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
故答案为：∠CAB＝∠DBC（答案不唯一）．
11．（2024秋 盐都区月考）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，则图中全等三角形有 3 对．
【解答】解：如图，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝∠BDO＝∠CEO＝90°，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（AAS）；
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS）；
在△BDC和△CEB中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL）；
由上可得，图中全等三角形共有3对，
故答案为：3．
12．（2024秋 宜兴市校级月考）一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝ ﹣1 ．
【解答】解：∵一个三角形的三边为4、7、x，另一个三角形的三边为y、4、6，
又∵这两个三角形全等，
∴7和y是对应边，x和6是对应边，
根据全等三角形的对应边相等得：x＝6，y＝7，
∴x﹣y＝6﹣7＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（2023秋 江陵县期末）如图，A（4，0），B（0，6），若AB＝BC，∠ABC＝90°，则C点的坐标为 （6，10） ．
【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°．
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD．
在△ABO和△BCD中，
，
∴△AO≌△BCD（AAS），
∴BD＝AO，CD＝BO，
∵A（4，0），B（0，6），
∴BD＝4，CD＝6，
∴点C的坐标为（6，10），
故答案为：（6，10）．
14．（2024秋 建邺区校级月考）如图，AC、DF相交于点G，且AC＝DF．D、C是BE上两点，∠B＝∠E＝∠1．若BE＝1，AB＝m，EF＝n，则CD的长为 m+n﹣1 ．
【解答】解：∵∠DGC＝∠1，
∴∠ACB＝180°﹣∠FDE﹣∠1，
∵∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠E，∠E＝∠1，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ACB和△DFE中，
，
∴△ACB≌△DFE（AAS），
∴DE＝AB＝m，BC＝EF＝n，
∴CD＝BC+DE﹣BE＝m+n﹣1，
故答案为：m+n﹣1．
15．（2024秋 江岸区校级月考）如图，在四边形AEDC中，∠EAC+∠EAD＝180°，且∠ADE＝30°，∠ADC＝120°，若∠DAC＝40°，则∠ECD的度数为 10° ．
【解答】解：过点E作EH⊥AB于H，EM⊥CA交CA的延长线于M，EN⊥CD交CD的延长线于N，如图所示：
则∠M＝∠EHA＝∠EHD＝∠N＝90°，
∵∠EAC+∠EAD＝180°，
∴∠EAD+∠DAC+∠EAD＝180°，
即2∠EAD+∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝40°，
∴∠EAD＝70°，
∴∠EAC＝180°﹣∠EAD＝110°，
∵∠EAME＝180°﹣∠EAC＝70°，
∴∠EAM＝∠EAD＝70°，
在△EAM和△EHM中，
，
∵△EAM≌△EHM（AAS）
∴EM＝EH，
∵∠ADE＝30°，∠ADC＝120°，
∴∠NDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADC）＝30°，
∴∠NDE＝∠ADE＝30°，
在△EDN和△EEDH中，
，
∴△EDN≌△EEDH（AAS）
∴EM＝EH，
∴EM＝EN，
在Rt△ECM和Rt△ECN中，
，
∴Rt△ECM≌Rt△ECN（HL），
∴∠ECD＝∠ECA＝∠ACD，
在△ADC中，∠DAC＝40°，∠ADC＝120°，
∴∠ACD＝180°﹣（∠DAC+∠ADC）＝20°，
∴∠ECD＝∠ACD＝10°．
故答案为：10°．
16．（2024秋 江岸区校级月考）如图，B、C分别在∠PAQ的两边上，连接BC，AE平分∠BAC，CE平分∠BCQ，AE交BC于D，EM⊥AP于M，EN⊥AQ于N，O为AD上一点，过O作OF⊥BC于F，作OG⊥AB于G，且OG＝OF，连接OC，下列命题中是真命题的序号有 ①②⑤ ．
①OC平分∠ACB；
②∠COD＝∠BOF；
③2∠AEC＝∠BAC；
④BM+CN＞BC；
⑤∠DOF+∠ACB+∠BOC＝180°．
【解答】解：①过点O作OH⊥AQ于H，如图1所示：
∵AE平分∠BAC，OG⊥AB，OH⊥AQ，
∴OG＝OH，
∵OG＝OF，
∴OH＝OF，
∴点O在∠ACB的平分线上，
∴OC平分∠ACB，
故命题①是真命题；
②∵AE平分∠BAC，OC平分∠ACB，
∴设∠BAO＝∠CAO＝α，∠ACO＝∠BCO＝β，
则∠BAC＝2α，∠ACB＝2β，
∴∠COD＝∠BAO+∠ACO＝α+β，
在△ABC中，∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2α﹣2β，
∵OG⊥AB，OF⊥BC，OG＝OF，
∴点O在∠ABC的平分线上，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBF＝1/2∠ABC＝90°﹣α﹣β，
在Rt△OBF中，∠BOF＝90°﹣∠OBF＝90°﹣（90°﹣α﹣β）＝α+β，
∴∠COD＝∠BOF，
故命题②是真命题；
③∵OC平分∠ACB，CE平分∠BCQ，
∴∠OCD＝∠ACD，∠ECD＝∠DCQ，
∴∠OCD+∠ECD＝（∠ACD+∠DCQ），
∵∠ACD+∠DCQ＝180°，
∴∠OCD+∠ECD＝90°，
即∠OCE＝90°，
在Rt△OCE中，∠COD＝α+β，
∴∠AEC＝90°﹣∠COD＝90°﹣α﹣β，
∴2∠AEC＝180°﹣2α﹣2β，
又∵∠BAC＝2α，
∴2∠AEC≠∠BAC，
故命题③是假命题；
④过点E作EK⊥BC于点K，连接BE，如图2所示：
∵AE平分∠BAC，EM⊥AQ，EK⊥BC，
∴EM＝EK，
在Rt△BEM和Rt△BEK中，
，
Rt△BEM≌Rt△BEK（HL），
∴BM＝BK，
∵CE平分∠BCQ，EN⊥AQ，EK⊥BC，
∴EN＝EK，
在Rt△ENC和Rt△EKC中，
，
∴Rt△ENC≌Rt△EKC（HL），
∴CN＝CM，
∴BM+CN＝BK+CM＝BC，
故命题④是假命题；
⑤在Rt△OFC中，∠BCO＝β，
∠FOC＝90﹣∠BCO＝90°﹣β，
由（2）可知：∠COD＝∠BOF＝α+β，
∴∠DOF＝∠FOC﹣∠COD＝90°﹣β﹣（α+β）＝90°﹣α﹣2β，
∴∠BOC＝∠BOF+∠FOC＝α+β+90°﹣β＝90°+α
又∵∠ACB＝2β，
∴∠DOF+∠ACB+∠BOC＝90°﹣α﹣2β+2β+90°+α＝180°．
故命题⑤是真命题，
综上所述：是真命题的序号是①②⑤．
故答案为：①②⑤．
三．解答题（共6小题）
17．（2024秋 建邺区校级月考）已知：如图，点C、E在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D，AB∥DE．求证：AC＝DF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF．
18．（2024 绥江县二模）如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
19．（2023秋 四会市期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，过点P作PM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥AC交AC的延长线于点N，且PM＝QN，连PQ交AC边于D．求证：
（1）△APM≌△CQN；
（2）DM＝AC．
【解答】（1）证明：∵PA＝CQ，PM＝QN，且PM⊥AC，QN⊥AC，
∴Rt△APM≌Rt△CQN（HL），
（2）由（1）已证：△APM≌△CQN，
∴AM＝CN，
在△PDM和△QDN中，
，
∴△PDM≌△QDN（AAS），
∴DM＝DN，
∴DM＝CD+CN＝CD+AM，
又∵DM+CD+AM＝AC，
∴DM+DM＝AC，
即．
20．（2023秋 滨城区期末）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连接OC，过O作OF⊥BC于F．
（1）试判断∠AOB与∠ACB的数量关系，并证明你的结论；
（2）试判断∠AOB与∠COF的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠ACB＝60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）∠AOB＝90°+∠ACB，
证明：∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）
＝180°﹣（180°﹣∠ACB）
＝90°+∠ACB；
（2）∠AOB+∠COF＝180°，
证明：如图，过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC，
∴OM＝ON，ON＝OF，
∴OM＝OF，
∴O在∠ACB的角平分线上，
∴∠OCF＝∠ACB，
∵OF⊥BC，
∴∠CFO＝90°，
∴∠COF+∠OCF＝90°，
∴∠COF＝90°﹣∠OCF，①
由（1）知：∠AOB＝90°+∠ACB＝90°+∠OCF，②
由①②得：∠AOB+∠COF＝90°+∠OCF+90°﹣∠OCF＝180°；
（3）OE＝OD，
证明：∵∠ACB＝60°，
∴由（1）知：∠AOB＝90°+∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠EOD＝∠AOB＝120°，
∵OM⊥AC．OF⊥BC，
∴∠OME＝∠OFD＝90°，∠CMO＝∠CFO＝90°，
∴∠MOF＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠MOE＝∠DOF＝120°﹣∠MOD，
在△EOM和△DOF中，
，
∴△EOM≌△DOF（AAS），
∴OE＝OD．
21．（2024秋 农安县期中）如图，在△ABC中，点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，∠B＝∠C，BC＝8cm．
（1）若点P在线段BC上以3cm/s的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动．
①若点Q的速度与点P的速度相等，经1s后，请说明△BPD≌△CQP；
②若点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；
（2）若点P以3cm/s的速度从点B向点C运动，同时点Q以5cm/s的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC的三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？
【解答】解：（1）①∵点Q的速度与点P的速度相等，都是3cm/s，
∴经1s后，BP＝3cm，CQ＝3cm，
∴BP＝CQ＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴CP＝BC﹣BP＝5cm，
∵点D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，
∴BD＝5cm，
∴BD＝CP＝5cm，
在△BPD和△CQP中，
，
△BPD≌△CQP（SAS），
（2）∵△BPD≌△CPQ，
∴BP＝CP，BD＝CQ，
∴点P是BC的中点，BD＝5cm，
∴BP＝CP＝4cm，
∴点P的运动时间为：4÷3＝（s），
∴点Q运动的时间为s，
∴点Q运动的速度是：（cm/s），
∴当点Q的速度为cm/s时，能够使△BPD≌△CPQ；
（3）设经过x s时，点Q第一次追上点P．
依题意得：5x﹣3x＝2×10，
解得：x＝10，
此时点P运动的路程为：3x＝30cm，
∵△ABC的周长为：10+10+8＝28（cm），30＝28+2，
∴点Q第一次在△ABC的BC边上追上点P．
答：经过10s，点Q第一次在BC边上追上点P．
22．（2023秋 武隆区期末）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 AE＝BF ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF+CD；
（2）如图3，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF．