第13章 轴对称 检测卷（含详解）2024-2025学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 第13章 轴对称 检测卷（含详解）2024-2025学年人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 327.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-02 18:12:15 | ||
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文档简介
第13章轴对称检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2024 十堰三模）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋 东莞市校级期末）点A（2，﹣1）关于y轴对称的点B的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
3．（2023秋 西岗区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．（2023秋 凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
5．（2024秋 工业园区校级月考）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形．如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断．
A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④
6．（2024秋 甘井子区校级月考）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．
小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”
下列判断错误的是（ ）
A．小明说得不对
B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B”
C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D．小亮说得对，可添条件为“PO平分∠APB”
7．（2024秋 南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝36，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，则AD的长为（ ）
A．12 B．24 C．6 D．18
8．（2024秋 工业园区校级月考）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是H、G，直线HG交OA、OB于点C、D，若HG＝6cm，且∠AOB＝30°，则△HOG的周长是（ ）
A．6cm B．12cm C．15cm D．18cm
二．填空题（共8小题）
9．（2024春 武侯区校级月考）等腰三角形的周长为14cm，一边长为4cm，则底边长为 cm．
10．（2024秋 玄武区校级月考）已知△ABC中，∠A＝70°，过△ABC的顶点B的直线△ABC分割成两个等腰三角形，则∠C的度数为 ．
11．（2024春 柴桑区月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点F，E，连接AE，若BC＝7.8，AE＝3，则CE＝ ．
12．（2023秋 青羊区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ．
13．（2024春 顺德区期末）如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为 ．
14．（2024 东平县一模）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝ ．
15．（2024秋 鼓楼区校级月考）作∠AOB的角平分线的作图过程如下，作法：
（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
（2）分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
（3）作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是 ．
16．（2024 惠阳区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 ．
三．解答题（共5小题）
17．（2024秋 凉州区校级期中）如图，
（1）求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到AB，BC的距离相等；
（2）在BC上求一点Q，使QM+QN最小．
18．（2023秋 光明区期末）如图，已知点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，BD＝DE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若∠A＝50°，∠EBC＝30°，求∠ACB的度数．
19．（2023秋 阳泉期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝40°，求∠D的度数．
20．（2024秋 江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．
（1）若△AEF的周长为a，求BC的长（用含有a的代数式表示）；
（2）若∠BAC＝140°，求∠EAF的度数．
21．（2024秋 盐都区月考）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，我只要证明AC+CB＜AC′+C′B．
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB＝ ，C′B＝ ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】
如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
第13章轴对称检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 十堰三模）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（2023秋 东莞市校级期末）点A（2，﹣1）关于y轴对称的点B的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：点A（2，﹣1）关于y轴对称的点B的坐标为（﹣2，﹣1），
故选：D．
3．（2023秋 西岗区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠BAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDB＝15°，
故选：A．
4．（2023秋 凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：C．
5．（2024秋 工业园区校级月考）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形．如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断．
A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④
【解答】解：因为4+4+6＝14，4+4＞6，所以可以围成4厘米、4厘米、6厘米的三角形；
因为4+5+5＝16，4+5＞5，所以可以围成4厘米、5厘米、5厘米的三角形；
所以可以在②或③处截断．
故选：C．
6．（2024秋 甘井子区校级月考）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．
小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”
下列判断错误的是（ ）
A．小明说得不对
B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B”
C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D．小亮说得对，可添条件为“PO平分∠APB”
【解答】解：A、小明说得不对，
∵PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
∵OA≠OB，
∴直线l不是AB的垂直平分线，
故A不符合题意；
B、∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
∴可添条件：∠A＝∠B，不能判定直线l是AB的垂直平分线，
故B符合题意；
C、∵PA＝PB，PO⊥AB，
∴直线l是AB的垂直平分线，
故C不符合题意；
D、∵PA＝PB，PO平分∠APB，
∴直线l是AB的垂直平分线，
故D不符合题意；
故选：B．
7．（2024秋 南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝36，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，则AD的长为（ ）
A．12 B．24 C．6 D．18
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴，
∴，
∴AD＝CD，
∴AD＝＝12．
故选：A．
8．（2024秋 工业园区校级月考）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是H、G，直线HG交OA、OB于点C、D，若HG＝6cm，且∠AOB＝30°，则△HOG的周长是（ ）
A．6cm B．12cm C．15cm D．18cm
【解答】解：连接PO，
∵点P关于OA的对称点是H，
∴OA垂直平分PH，
∴OP＝OH，
∴∠HOA＝∠POA，
同理：OP＝OG，∠POB＝∠BOG，
∴OH＝OG，
∵∠HOA+∠BOG＝∠POA+∠BOP＝∠AOB＝30°，
∴∠GOH＝∠HOA+∠BOG+∠AOB＝30°+30°＝60°，
∴△GOH是等边三角形，
∵GH＝6cm，
∴△HOG的周长是6×3＝18（cm）．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2024春 武侯区校级月考）等腰三角形的周长为14cm，一边长为4cm，则底边长为 4或6 cm．
【解答】解：当4cm为腰长时，则底边长为14﹣4×2＝6（cm），
∵4+4＞6，
∴符合题意，
当4cm为底边长时，则底边长为4cm，
∵4+5＞5，
∴符合题意，
综上所述，底边长为4cm或6cm．
故答案为：4或6．
10．（2024秋 玄武区校级月考）已知△ABC中，∠A＝70°，过△ABC的顶点B的直线△ABC分割成两个等腰三角形，则∠C的度数为 20°或27.5°或35° ．
【解答】解：如图1，
∵AB＝BD＝CD，∠A＝70°，
∴∠ADB＝∠A＝70°，∠DBC＝∠C，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C，
∴∠C＝∠ADB＝35°；
如图2，∵AB＝AD＝BD，∠A＝70°，
∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠A）＝55°，∠DBC＝∠C，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C，
∴∠C＝∠ADB＝27.5°，
如图3，
∠A＝∠ABD＝70°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝40°，
∵CD＝BD，
∴∠C＝∠CBD，
∵∠C+∠CBD＝∠ADB，
∴；
综上所述，∠C的度数为20°或27.5°或35°，
故答案为：20°或27.5°或35°．
11．（2024春 柴桑区月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点F，E，连接AE，若BC＝7.8，AE＝3，则CE＝ 4.8 ．
【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点F，E，AE＝3，
∴AE＝BE＝3，
∵BC＝7.8，
∴CE＝BC﹣BE＝7.8﹣3＝4.8．
故答案为：4.8．
12．（2023秋 青羊区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 20° ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
13．（2024春 顺德区期末）如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为 4 ．
【解答】解：连接OC，作OF⊥BC于点F，
DE＝OD+OE＝3，
在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝6，∠OEF＝60°，
∵AD＝DC，ED⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，
∴∠EOF＝30°，
∴EF＝OE＝1，
∴CF＝CE﹣EF＝5，
∴BC＝10，
∴BE＝10﹣6＝4，
故答案为：4．
14．（2024 东平县一模）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝ 45° ．
【解答】解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．
∵ED⊥BC，
∴△EDC为直角三角形，
∴∠FDB＝30°，
∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，
∴∠EFD＝45°．
故答案为：45°
15．（2024秋 鼓楼区校级月考）作∠AOB的角平分线的作图过程如下，作法：
（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
（2）分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
（3）作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是 SSS ．
【解答】解：如图，连接EC，DC．
在△EOC和△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SSS），
∴∠EOC＝∠DOC，
∴OC平分∠BOA．
故答案为：SSS．
16．（2024 惠阳区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 60° ．
【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，
故答案为60°．
三．解答题（共5小题）
17．（2024秋 凉州区校级期中）如图，
（1）求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到AB，BC的距离相等；
（2）在BC上求一点Q，使QM+QN最小．
【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求；
（2）如图，点Q即为所求．
18．（2023秋 光明区期末）如图，已知点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，BD＝DE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若∠A＝50°，∠EBC＝30°，求∠ACB的度数．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵BD＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠EBC＝∠DBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）解：由（1）可知：∠EBC＝∠DBE，
∵∠EBC＝30°，
∴∠EBC＝∠DBE＝30°，
∴∠ABC＝∠EBC+∠DBE＝60°，
∵∠A＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠ABC）＝180°﹣（60°+50°）＝70°．
19．（2023秋 阳泉期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝40°，求∠D的度数．
【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D＝∠C＝40°．
20．（2024秋 江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．
（1）若△AEF的周长为a，求BC的长（用含有a的代数式表示）；
（2）若∠BAC＝140°，求∠EAF的度数．
【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∵AE+EF+AF＝a，
∴BC＝BE+EF+CF＝AE+EF+AF＝a；
（2）∵∠BAC＝140°，
∴∠B+∠C＝180°﹣140°＝40°，
∵AE＝BE，AF＝CF，
∴∠BAE＝∠B，∠CAF＝∠C，
∴∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝40°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝140°﹣40°＝100°．
21．（2024秋 盐都区月考）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，我只要证明AC+CB＜AC′+C′B．
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB＝ CB′ ，C′B＝ C′B′ ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】
如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
【解答】解：分析问题：根据题意可知：CB＝CB′，C′B＝C′B′，
∴AC+BC＝AC+B′C＝AB′，AC′+BC′＝AC′+C′B′，
∴AB′＜AC′+B′C′，
∴AC+CB＜AC′+C′B，
∴作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方；
故答案为：CB′，C′B′
解决问题：如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD分别交OA，OB于E、F，则路线PE，EF，PF即为所求．
∵CE＝PE，DF＝PF，则PE+EF+PF＝CE+EF+DF，根据两点之间线段最短可得路线PE，EF，PF即为所求．
一．选择题（共8小题）
1．（2024 十堰三模）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋 东莞市校级期末）点A（2，﹣1）关于y轴对称的点B的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
3．（2023秋 西岗区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．（2023秋 凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
5．（2024秋 工业园区校级月考）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形．如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断．
A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④
6．（2024秋 甘井子区校级月考）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．
小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”
下列判断错误的是（ ）
A．小明说得不对
B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B”
C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D．小亮说得对，可添条件为“PO平分∠APB”
7．（2024秋 南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝36，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，则AD的长为（ ）
A．12 B．24 C．6 D．18
8．（2024秋 工业园区校级月考）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是H、G，直线HG交OA、OB于点C、D，若HG＝6cm，且∠AOB＝30°，则△HOG的周长是（ ）
A．6cm B．12cm C．15cm D．18cm
二．填空题（共8小题）
9．（2024春 武侯区校级月考）等腰三角形的周长为14cm，一边长为4cm，则底边长为 cm．
10．（2024秋 玄武区校级月考）已知△ABC中，∠A＝70°，过△ABC的顶点B的直线△ABC分割成两个等腰三角形，则∠C的度数为 ．
11．（2024春 柴桑区月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点F，E，连接AE，若BC＝7.8，AE＝3，则CE＝ ．
12．（2023秋 青羊区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 ．
13．（2024春 顺德区期末）如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为 ．
14．（2024 东平县一模）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝ ．
15．（2024秋 鼓楼区校级月考）作∠AOB的角平分线的作图过程如下，作法：
（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
（2）分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
（3）作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是 ．
16．（2024 惠阳区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 ．
三．解答题（共5小题）
17．（2024秋 凉州区校级期中）如图，
（1）求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到AB，BC的距离相等；
（2）在BC上求一点Q，使QM+QN最小．
18．（2023秋 光明区期末）如图，已知点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，BD＝DE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若∠A＝50°，∠EBC＝30°，求∠ACB的度数．
19．（2023秋 阳泉期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝40°，求∠D的度数．
20．（2024秋 江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．
（1）若△AEF的周长为a，求BC的长（用含有a的代数式表示）；
（2）若∠BAC＝140°，求∠EAF的度数．
21．（2024秋 盐都区月考）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，我只要证明AC+CB＜AC′+C′B．
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB＝ ，C′B＝ ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】
如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
第13章轴对称检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 十堰三模）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（2023秋 东莞市校级期末）点A（2，﹣1）关于y轴对称的点B的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：点A（2，﹣1）关于y轴对称的点B的坐标为（﹣2，﹣1），
故选：D．
3．（2023秋 西岗区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠BAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDB＝15°，
故选：A．
4．（2023秋 凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：C．
5．（2024秋 工业园区校级月考）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形．如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断．
A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④
【解答】解：因为4+4+6＝14，4+4＞6，所以可以围成4厘米、4厘米、6厘米的三角形；
因为4+5+5＝16，4+5＞5，所以可以围成4厘米、5厘米、5厘米的三角形；
所以可以在②或③处截断．
故选：C．
6．（2024秋 甘井子区校级月考）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．
小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”
下列判断错误的是（ ）
A．小明说得不对
B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B”
C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D．小亮说得对，可添条件为“PO平分∠APB”
【解答】解：A、小明说得不对，
∵PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
∵OA≠OB，
∴直线l不是AB的垂直平分线，
故A不符合题意；
B、∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
∴可添条件：∠A＝∠B，不能判定直线l是AB的垂直平分线，
故B符合题意；
C、∵PA＝PB，PO⊥AB，
∴直线l是AB的垂直平分线，
故C不符合题意；
D、∵PA＝PB，PO平分∠APB，
∴直线l是AB的垂直平分线，
故D不符合题意；
故选：B．
7．（2024秋 南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝36，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，则AD的长为（ ）
A．12 B．24 C．6 D．18
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴，
∴，
∴AD＝CD，
∴AD＝＝12．
故选：A．
8．（2024秋 工业园区校级月考）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是H、G，直线HG交OA、OB于点C、D，若HG＝6cm，且∠AOB＝30°，则△HOG的周长是（ ）
A．6cm B．12cm C．15cm D．18cm
【解答】解：连接PO，
∵点P关于OA的对称点是H，
∴OA垂直平分PH，
∴OP＝OH，
∴∠HOA＝∠POA，
同理：OP＝OG，∠POB＝∠BOG，
∴OH＝OG，
∵∠HOA+∠BOG＝∠POA+∠BOP＝∠AOB＝30°，
∴∠GOH＝∠HOA+∠BOG+∠AOB＝30°+30°＝60°，
∴△GOH是等边三角形，
∵GH＝6cm，
∴△HOG的周长是6×3＝18（cm）．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2024春 武侯区校级月考）等腰三角形的周长为14cm，一边长为4cm，则底边长为 4或6 cm．
【解答】解：当4cm为腰长时，则底边长为14﹣4×2＝6（cm），
∵4+4＞6，
∴符合题意，
当4cm为底边长时，则底边长为4cm，
∵4+5＞5，
∴符合题意，
综上所述，底边长为4cm或6cm．
故答案为：4或6．
10．（2024秋 玄武区校级月考）已知△ABC中，∠A＝70°，过△ABC的顶点B的直线△ABC分割成两个等腰三角形，则∠C的度数为 20°或27.5°或35° ．
【解答】解：如图1，
∵AB＝BD＝CD，∠A＝70°，
∴∠ADB＝∠A＝70°，∠DBC＝∠C，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C，
∴∠C＝∠ADB＝35°；
如图2，∵AB＝AD＝BD，∠A＝70°，
∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠A）＝55°，∠DBC＝∠C，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C，
∴∠C＝∠ADB＝27.5°，
如图3，
∠A＝∠ABD＝70°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝40°，
∵CD＝BD，
∴∠C＝∠CBD，
∵∠C+∠CBD＝∠ADB，
∴；
综上所述，∠C的度数为20°或27.5°或35°，
故答案为：20°或27.5°或35°．
11．（2024春 柴桑区月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点F，E，连接AE，若BC＝7.8，AE＝3，则CE＝ 4.8 ．
【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点F，E，AE＝3，
∴AE＝BE＝3，
∵BC＝7.8，
∴CE＝BC﹣BE＝7.8﹣3＝4.8．
故答案为：4.8．
12．（2023秋 青羊区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 20° ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
13．（2024春 顺德区期末）如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为 4 ．
【解答】解：连接OC，作OF⊥BC于点F，
DE＝OD+OE＝3，
在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝6，∠OEF＝60°，
∵AD＝DC，ED⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，
∴∠EOF＝30°，
∴EF＝OE＝1，
∴CF＝CE﹣EF＝5，
∴BC＝10，
∴BE＝10﹣6＝4，
故答案为：4．
14．（2024 东平县一模）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝ 45° ．
【解答】解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．
∵ED⊥BC，
∴△EDC为直角三角形，
∴∠FDB＝30°，
∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，
∴∠EFD＝45°．
故答案为：45°
15．（2024秋 鼓楼区校级月考）作∠AOB的角平分线的作图过程如下，作法：
（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
（2）分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
（3）作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是 SSS ．
【解答】解：如图，连接EC，DC．
在△EOC和△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SSS），
∴∠EOC＝∠DOC，
∴OC平分∠BOA．
故答案为：SSS．
16．（2024 惠阳区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 60° ．
【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，
故答案为60°．
三．解答题（共5小题）
17．（2024秋 凉州区校级期中）如图，
（1）求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到AB，BC的距离相等；
（2）在BC上求一点Q，使QM+QN最小．
【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求；
（2）如图，点Q即为所求．
18．（2023秋 光明区期末）如图，已知点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，BD＝DE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若∠A＝50°，∠EBC＝30°，求∠ACB的度数．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵BD＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠EBC＝∠DBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）解：由（1）可知：∠EBC＝∠DBE，
∵∠EBC＝30°，
∴∠EBC＝∠DBE＝30°，
∴∠ABC＝∠EBC+∠DBE＝60°，
∵∠A＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠ABC）＝180°﹣（60°+50°）＝70°．
19．（2023秋 阳泉期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝40°，求∠D的度数．
【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D＝∠C＝40°．
20．（2024秋 江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．
（1）若△AEF的周长为a，求BC的长（用含有a的代数式表示）；
（2）若∠BAC＝140°，求∠EAF的度数．
【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∵AE+EF+AF＝a，
∴BC＝BE+EF+CF＝AE+EF+AF＝a；
（2）∵∠BAC＝140°，
∴∠B+∠C＝180°﹣140°＝40°，
∵AE＝BE，AF＝CF，
∴∠BAE＝∠B，∠CAF＝∠C，
∴∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝40°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝140°﹣40°＝100°．
21．（2024秋 盐都区月考）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，我只要证明AC+CB＜AC′+C′B．
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB＝ CB′ ，C′B＝ C′B′ ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】
如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
【解答】解：分析问题：根据题意可知：CB＝CB′，C′B＝C′B′，
∴AC+BC＝AC+B′C＝AB′，AC′+BC′＝AC′+C′B′，
∴AB′＜AC′+B′C′，
∴AC+CB＜AC′+C′B，
∴作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方；
故答案为：CB′，C′B′
解决问题：如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD分别交OA，OB于E、F，则路线PE，EF，PF即为所求．
∵CE＝PE，DF＝PF，则PE+EF+PF＝CE+EF+DF，根据两点之间线段最短可得路线PE，EF，PF即为所求．