第21章 一元二次方程 单元检测卷（含详解）2024-2025学年人教版九年级数学上册

第21章一元二次方程检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋 龙泉驿区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0
2．（2024秋 东城区校级月考）关于x的一元二次方程2x2+bx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．实数根的个数由b的值确定
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
3．（2023秋 旌阳区期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．不能确定
4．（2024春 鹿城区校级期中）王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（　　）
A． B．
C．x（x﹣1）+x＝2304 D．x（x﹣1）＝2304
5．（2024秋 裕华区校级月考）嘉嘉和琪琪一起写作业，在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是﹣1和﹣5；琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2．则正确的方程是（　　）
A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣5x+5＝0 D．x2+6x+6＝0
6．（2024秋 阿荣旗校级月考）如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，若设路宽为x m，则x应满足的方程是（　　）
A．（40﹣x）（70﹣x）＝350
B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2450
C．（40﹣2x）（70﹣3x）＝350
D．（40﹣x）（70﹣x）＝2150
二．填空题（共8小题）
7．（2023秋 宣汉县期末）已知关于x的方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是 　 　．
8．（2024 常州二模）已知m为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣m2+3m﹣6的值是 　 　．
9．（2024秋 建邺区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c都为有理数）的一个解是x1＝4﹣2，则方程的另一个解是 　 　．
10．（2024秋 东昌府区校级月考）参加会议的人两两彼此握手，一共握了55次手，那么一共有　 　人参加会议．
11．（2024秋 永寿县校级月考）一元二次方程（x﹣1）2＝x+2的一般形式为 　 　．（二次项的系数为正数）
12．（2024秋 即墨区校级月考）如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为18m的住房墙，另外三边用45m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出1m安装木门．若要使羊圈的面积为224m2，则所围矩形与墙垂直的一边长为 　 　．
13．（2024秋 临湘市校级月考）《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 　 　．
14．（2024秋 裕华区校级月考）若关于x的一元二次方程（m+4）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
三．解答题（共6小题）
15．（2024秋 榆次区校级月考）解下列方程：
（1）（2x+5）（x﹣6）＝0；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0；
（3）（2x+3）2＝（3x+2）2；
（4）3y2﹣6y﹣5＝0（用配方法求解）．
16．（2024秋 双峰县月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
（1）如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？
（2）如果方程有一个根是﹣1，那么a、b、c之间有什么关系？
（3）如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？
17．（2024秋 兴庆区校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0．
（1）试判断该方程根的情况；
（2）若a，b是该方程的两个实数根，化简并求下面式子的值：．
18．（2024秋 德州月考）小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法．
如：解方程x（x+4）＝6
解：原方程可变形为[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6
∴（x+2）2﹣22＝6，
∴（x+2）2＝10
直接开平方整理得：；
我们称小明的这种解法为“平均数法”
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．
解：原方程变形为[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5
∴（x+a）2﹣b2＝5，
∴（x+a）2＝5+b2
直接开平方整理得：x1＝c；x2＝d
上述过程中的a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　；d＝　 　．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．
19．（2024秋 增城区校级月考）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2018年市政府共投资4亿元人民币建设了廉租房，2020年计划投资9亿元人民币建设廉租房，若每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）请问2021年建设廉租房投资多少亿？
20．（2024秋 海州区校级月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
第21章一元二次方程检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋 龙泉驿区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意；
B．方程x2+3＝是分式方程，选项B不符合题意；
C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意；
D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
2．（2024秋 东城区校级月考）关于x的一元二次方程2x2+bx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．实数根的个数由b的值确定
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【解答】解：由题知，
Δ＝b2﹣4×2×（﹣1）＝b2+8≥8＞0，
所以此一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．（2023秋 旌阳区期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．不能确定
【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0，
故选：A．
4．（2024春 鹿城区校级期中）王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（　　）
A． B．
C．x（x﹣1）+x＝2304 D．x（x﹣1）＝2304
【解答】解：根据题意，王老师共赠送了x张签名卡，同学之间共赠送了x（x﹣1）张签名卡，
∴x（x﹣1）+x＝2304；
故选：C．
5．（2024秋 裕华区校级月考）嘉嘉和琪琪一起写作业，在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是﹣1和﹣5；琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2．则正确的方程是（　　）
A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣5x+5＝0 D．x2+6x+6＝0
【解答】解：∵嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是﹣1和﹣5，
∴两根之和﹣＝﹣1+（﹣5）＝﹣6，
∴当a＝1时，b＝6；
∵琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2，
∴两根之积＝﹣1×（﹣5）＝5，
∴当a＝1时，c＝5，
∴正确的方程是x2+6x+5＝0．
故选：A．
6．（2024秋 阿荣旗校级月考）如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，若设路宽为x m，则x应满足的方程是（　　）
A．（40﹣x）（70﹣x）＝350
B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2450
C．（40﹣2x）（70﹣3x）＝350
D．（40﹣x）（70﹣x）＝2150
【解答】解：∵设路宽为x m，所剩下的观赏面积的宽为（40﹣2x）m，长为（70﹣3x）m，要使观赏路面积占总面积，
∴，
即（40﹣2x）（70﹣3x）＝2450．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
7．（2023秋 宣汉县期末）已知关于x的方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是 　﹣1　．
【解答】解：当a+1＝0时，原方程为﹣2x+3＝0，解得x＝，
∴a＝﹣1符合题意；
当a+1≠0时，Δ＝（﹣2）2﹣4×（a+1）×3≥0，
解得：a≤﹣，
∴a≤﹣且a≠﹣1．
综上所述，a≤﹣．
又∵a为整数，
∴a的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．
8．（2024 常州二模）已知m为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣m2+3m﹣6的值是 　﹣12　．
【解答】解：∵m为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，
∴m2﹣3m＝6，
∴﹣m2+3m﹣6＝﹣（m2﹣3m）﹣6＝﹣6﹣6＝﹣12．
故答案为：﹣12．
9．（2024秋 建邺区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c都为有理数）的一个解是x1＝4﹣2，则方程的另一个解是 　　．
【解答】解：设方程的另一个根为x2，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数，
∴、都是有理数，
∴x1+x2，x1 x2均是有理数，
∵方程的一个根是，
∴方程的另一个根是，
故答案为：．
10．（2024秋 东昌府区校级月考）参加会议的人两两彼此握手，一共握了55次手，那么一共有　11　人参加会议．
【解答】解：设一共有x人参加会议，
则x（x﹣1）＝55，
解得x1＝11，x2＝﹣10（不合题意舍去）；
答：一共有11人．
故答案为：11．
11．（2024秋 永寿县校级月考）一元二次方程（x﹣1）2＝x+2的一般形式为 　x2﹣3x﹣1＝0　．（二次项的系数为正数）
【解答】解：∵（x﹣1）2＝x+2，
∴x2﹣2x+1＝x+2，
∴x2﹣2x+1﹣x﹣2＝0，
∴x2﹣3x﹣1＝0，
∴一元二次方程（x﹣1）2＝x+2的一般形式为x2﹣3x﹣1＝0．
故答案为：x2﹣3x﹣1＝0．
12．（2024秋 即墨区校级月考）如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为18m的住房墙，另外三边用45m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出1m安装木门．若要使羊圈的面积为224m2，则所围矩形与墙垂直的一边长为 　16m　．
【解答】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为x m，
根据题意，得x（45+1﹣2x）＝224，
解得x1＝7，x2＝16，
当x＝7时，45+1﹣2x＝32＞18，不符题意，舍去，
当x＝16时，45+1﹣2x＝14＜18，符合题意，
∴所围矩形与墙垂直的一边长为16m，
故答案为：16m．
13．（2024秋 临湘市校级月考）《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 　x（x+12）＝864　．
【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为（x+12）步．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
14．（2024秋 裕华区校级月考）若关于x的一元二次方程（m+4）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＜0且m≠﹣4　．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+4）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m+4≠0，即（﹣4）2﹣4（m+4）＞0且m≠﹣4，
解得m＜0且m≠﹣4，
故答案为：m＜0且m≠﹣4．
三．解答题（共6小题）
15．（2024秋 榆次区校级月考）解下列方程：
（1）（2x+5）（x﹣6）＝0；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0；
（3）（2x+3）2＝（3x+2）2；
（4）3y2﹣6y﹣5＝0（用配方法求解）．
【解答】解：（1）由题意得2x+5＝0或x﹣6＝0，
∴，x2＝6；
（2）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，
∴，
∴，；
（3）开方得2x+3＝±（3x+2），
即2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣（3x+2），
∴x1＝1，x2＝﹣1；
（4）∵3y2﹣6y﹣5＝0，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，．
16．（2024秋 双峰县月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
（1）如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？
（2）如果方程有一个根是﹣1，那么a、b、c之间有什么关系？
（3）如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？
【解答】解：（1）将x＝1代入原方程得：a×1+b×1+c＝0，
即a+b+c＝0；
（2）将x＝﹣1代入原方程得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0，
即a﹣b+c＝0；
（3）将x＝0代入原方程可得：a×0+b×0+c＝0，
∴c＝0．
17．（2024秋 兴庆区校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0．
（1）试判断该方程根的情况；
（2）若a，b是该方程的两个实数根，化简并求下面式子的值：．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵a，b是该方程的两个实数根，
∴a+b＝3，ab＝2，
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝；
∵a+b＝3，
∴原式＝．
18．（2024秋 德州月考）小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法．
如：解方程x（x+4）＝6
解：原方程可变形为[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6
∴（x+2）2﹣22＝6，
∴（x+2）2＝10
直接开平方整理得：；
我们称小明的这种解法为“平均数法”
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．
解：原方程变形为[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5
∴（x+a）2﹣b2＝5，
∴（x+a）2＝5+b2
直接开平方整理得：x1＝c；x2＝d
上述过程中的a＝　5　；b＝　2　；c＝　﹣2　；d＝　﹣8　．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．
【解答】解：（1）原方程可变形为[（x+5）﹣2][（x+5）+2]＝5，
∴（x+5）2﹣22＝5，
∴（x+5）2＝9，
∴直接开平方整理得：x1＝﹣2；x2＝﹣8，
∴a＝5，b＝2，c＝﹣2，d＝﹣8．
故答案为：5，2，﹣2，﹣8．
（2）（x﹣5）（x+3）＝6，
原方程可变形为[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝6，
∴（x﹣1）2﹣42＝6，
∴（x﹣1）2＝22，
∴直接开平方整理得：；
19．（2024秋 增城区校级月考）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2018年市政府共投资4亿元人民币建设了廉租房，2020年计划投资9亿元人民币建设廉租房，若每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）请问2021年建设廉租房投资多少亿？
【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，
根据题意，得：4（1+x）2＝9，
解得x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（舍去），
答：每年市政府投资的增长率为50%；
（2）2021年建设廉租房投资9（1+50%）＝13.5（亿元），
所以2021年建设廉租房投资13.5亿元，
答：2021年建设廉租房投资13.5亿元．
20．（2024秋 海州区校级月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
【解答】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，
则AP＝x cm，BQ＝2x cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm，
∵∠B＝90°，
∴，
即，
解得：x＝2或x＝4，
答：经过2秒或4秒，使△PBQ的面积等于8cm2；
（2）①点P在线段AB上，点Q在线段BC中，
设经过y秒，△PBQ的面积为1cm2，0＜y≤4，
依题意得：AP＝y cm，CQ＝2y cm，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴PB＝（6﹣y）cm，BQ＝（8﹣2y）cm，
由题意得：，
即，
解得：（舍去）或，
故符合题意；
②点P在线段AB上，点Q在CB的延长线上，
设经过m秒，△PBQ的面积为1cm2，4＜m≤6，
依题意得：AP＝m cm，CQ＝2m cm，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴PB＝（6﹣m）cm，BQ＝（2m﹣8）cm，
由题意得：，
即，
解得：m＝5（符合题意）；
③点P在AB延长线上，点Q在CB的延长线上，
设经过n秒，△PBQ的面积为1cm2，n＞6，
依题意得：AP＝n cm，CQ＝2n cm，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴PB＝（n﹣6）cm，BQ＝（2n﹣8）cm，
由题意得：，即，
解得：或（舍去），
故（符合题意）；
答：经过秒或5秒或秒后△PBQ的面积为1cm2．