第22章 二次函数 检测卷（含详解）2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章二次函数检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 盐池县期末）二次函数y＝x2的图象必经过点（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
2．（2024秋 道里区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x，则下列结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
3．（2024秋 高新区校级月考）下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝（x+1）2﹣x2
B．
C．S＝﹣3t2+t+2
D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）
4．（2024秋 西山区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝1或x＝3 D．x＝2或x＝3
5．（2024秋 嘉祥县校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝4，则点M到直线l的距离为（　　）
A． B．2 C． D．4
6．（2024秋 邹平市校级月考）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x﹣c）2的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024 沭阳县校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（3，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
8．（2024秋 阳高县校级月考）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（　　）
A．y＝（x﹣30）[400﹣10（x﹣20）]
B．y＝（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）]
C．y＝（x﹣20）[400+10（x﹣30）]
D．y＝（x﹣30）[400+10（x﹣20）]
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 道里区校级月考）二次函数y＝x2﹣4x+4的最小值是　 　．
10．（2024秋 姑苏区校级月考）抛物线y＝﹣x2+（a﹣3）x+3的顶点在y轴上，则a的值为 　 　．
11．（2024秋 徐汇区校级月考）抛物线y＝mx2+3x﹣1与x轴有交点，则m范围是 　 　．
12．（2024 市南区二模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为 　 　．
13．（2023秋 宝丰县期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是 　 　．
14．（2024秋 鹿城区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解是　 　．
15．（2024秋 姑苏区校级月考）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1、P2、P3三点满足，则m的值为 　 　．
16．（2023秋 绵阳期末）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 　 　米．
三．解答题（共7小题）
17．（2024秋 姑苏区校级月考）已知抛物线的对称轴是直线x＝1，函数的最大值为2，且过点（﹣2，﹣1），求此抛物线的表达式．
18．（2024秋 姑苏区校级月考）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），则a＝　 　．
（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤2时，则y的取值范围是 　 　．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，求a的值．
19．（2024秋 海珠区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过坐标原点O和点A，点A在x轴上．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连接OB，AB，求S△OAB；
（3）若点C在抛物线上，且S△OAC＝8，求点C的坐标．
20．（2024秋 河西区校级月考）用总长为60m的篱笆围成矩形场地．
（1）根据题意，填写下表：
矩形一边长/m 5 10 15 20
矩形面积/m2 125 　 　 　 　 　 　
（2）当矩形的长为　 　m，宽为　 　m时，矩形场地的面积为216m2；
（3）设矩形一边长为lm，矩形面积为Sm，当l是多少时，矩形场地的面积最大？并求出矩形场地的最大面积．
21．（2024 阳信县一模）商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
（2）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达1500元？
（3）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达最大值？是多少？
22．（2024秋 邹平市校级月考）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在点Q，使△AQC周长最小，若存在，求出点Q坐标和△AQC周长，若不存在，请说明理由．
23．（2024秋 庆云县校级月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）M是抛物线对称轴上的一点，连接BM，CM，求BM+CM的最小值．
（3）若E（m，0）为x轴正半轴上一动点，过点E作直线ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB，
①当E在线段OA上运动，当线段PD的长度最大时，请求出点P的坐标；
②当E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标．
第22章二次函数检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 盐池县期末）二次函数y＝x2的图象必经过点（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
【解答】解：当x＝2时，y＝22＝4，
所以，二次函数y＝x2的图象必经过点（2，4）．
故选：A．
2．（2024秋 道里区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x，则下列结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+2x，a＝﹣1，
∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意；
∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴对称轴为直线x＝1，
又∵图象开口向下，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，故B错误，不符合题意，D正确，符合题意；
令y＝0，则﹣x2+2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
∴二次函数经过点（0，0），（2，0），
∵抛物线的顶点坐标为（1，1），抛物线的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故C错误，不符合题意．
故选：D．
3．（2024秋 高新区校级月考）下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝（x+1）2﹣x2
B．
C．S＝﹣3t2+t+2
D．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）
【解答】解：A．y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
B． ，不是二次函数，故此选项错误；
C．S＝﹣3t2+t+2是二次函数，故此选项正确；
D．当a＝0时是一次函数，不是二次函数，故此选项错误．
故选：C．
4．（2024秋 西山区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝1或x＝3 D．x＝2或x＝3
【解答】解：∵抛物线与x轴交于（1，0）、（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x＝1或x＝3，
故选：C．
5．（2024秋 嘉祥县校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝4，则点M到直线l的距离为（　　）
A． B．2 C． D．4
【解答】解：由题意，令y＝0时，
∴x2+bx+c＝0．
又结合图象，方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
又设点M到直线l的距离为m，
∴A（xA，m），B（xB，m）．
令y＝m时，
∴x2+bx+c＝m．
又∵xA、xB是该方程的两个根，
∴xA+xB＝﹣b，xAxB＝c﹣m，
∵AB＝4，
∴，即，
∴b2﹣4（c﹣m）＝16．
∴4m＝16，即m＝4，
∴点M到直线l的距离为4，
故选：D．
6．（2024秋 邹平市校级月考）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x﹣c）2的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】A、y＝ax+c的图象过一、二、三象限，则a＞0，c＞0，
∵二次函数y＝a（x﹣c）2开口向下，对称轴直线x＝c在y轴右侧，
∴a＜0，c＞0，不符合题意；
B、函数y＝ax+c的图象过一、二、四象限，则a＜0，c＞0，
∵二次函数y＝a（x﹣c）2开口向下，对称轴直线x＝c在y轴左侧，
∴a＜0，c＜0，不符合题意；
C、一次函数y＝ax+c的图象过一、三、四象限，则a＞0，c＜0，
∵二次函数y＝a（x﹣c）2开口向上，对称轴直线x＝c在y轴左侧，
∴c＜0，a＞0，符合题意；
D、一次函数y＝ax+c的图象过一、二、四象限，则a＜0，c＞0，
∵二次函数y＝a（x﹣c）2开口向上，对称轴直线x＝c在y轴右侧，
∴a＞0，c＞0，不符合题意；
故选：C．
7．（2024 沭阳县校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（3，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），
∴二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，
∵C点关于直线x＝1的对称点是D（4，y3），
∵2＜3＜4，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
8．（2024秋 阳高县校级月考）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（　　）
A．y＝（x﹣30）[400﹣10（x﹣20）]
B．y＝（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）]
C．y＝（x﹣20）[400+10（x﹣30）]
D．y＝（x﹣30）[400+10（x﹣20）]
【解答】解：函数关系式为：y＝（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）]．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 道里区校级月考）二次函数y＝x2﹣4x+4的最小值是　0　．
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，有最低点，
∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴该函数最小值为0；
故答案为：0．
10．（2024秋 姑苏区校级月考）抛物线y＝﹣x2+（a﹣3）x+3的顶点在y轴上，则a的值为 　3　．
【解答】解：因为抛物线y＝﹣x2+（a﹣3）x+3的顶点在y轴上，
可得：a﹣3＝0，
解得：a＝3，
故答案为：3．
11．（2024秋 徐汇区校级月考）抛物线y＝mx2+3x﹣1与x轴有交点，则m范围是 　m≥﹣且m≠0　．
【解答】解：∵抛物线y＝mx2+3x﹣1与x轴有交点，
∴关于x的一元二次方程mx2+3x﹣1＝0有实数根，且二次项系数不为零，
∴，
解得且m≠0，
故答案为：且m≠0．
12．（2024 市南区二模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为 　y＝﹣5x2+175x﹣1250　．
【解答】解：当销售单价为x元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售50﹣（x﹣15）×5＝（125﹣5x）件，
根据题意得：y＝（x﹣10）（125﹣5x），
即y＝﹣5x2+175x﹣1250．
故答案为：y＝﹣5x2+175x﹣1250．
13．（2023秋 宝丰县期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是 　3米　．
【解答】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
2.25＝a（0﹣1）2+3，
解得a＝﹣0.75，
∴y＝﹣（x﹣1）2+3，
当y＝0时，﹣（x﹣1）2+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB＝3，
∴水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故答案为：3米．
14．（2024秋 鹿城区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的解是　x1＝﹣2，x2＝4　．
【解答】解：∵点（﹣1，0），（3，0）均在二次函数的图象上，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∵当x＝﹣2时，y＝5，
∴点（﹣2，5）关于对称轴的对称点为点（4，5），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝4．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝4．
15．（2024秋 姑苏区校级月考）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1、P2、P3三点满足，则m的值为 　16　．
【解答】解：令2x2+4x﹣6＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣8），
当点P1、P2、P3中有1点为抛物线顶点时满足题意，
∴，
故答案为：16．
16．（2023秋 绵阳期末）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 　8　米．
【解答】解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故答案为：8．
三．解答题（共7小题）
17．（2024秋 姑苏区校级月考）已知抛物线的对称轴是直线x＝1，函数的最大值为2，且过点（﹣2，﹣1），求此抛物线的表达式．
【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+2，
∵过点（﹣2，﹣1），
∴a（﹣2﹣1）2+2＝﹣1，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
即．
18．（2024秋 姑苏区校级月考）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），则a＝　　．
（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤2时，则y的取值范围是 　0≤y≤3　．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，求a的值．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（2，3），
∴3＝4a+8a+3a，
∴a＝，
故答案为：；
（2）由（1）知：该二次函数y的表达式为y＝x2+x+．
∵y＝x2+x+＝（x+2）2﹣，
∴抛物线开口向上，顶点为（﹣2，﹣），
∴x＝﹣1时，y＝（﹣1+2）2﹣＝0，
当x＝2时，y＝（2+2）2﹣＝3，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是：0≤y≤3．
故答案为：0≤y≤3；
（3）∵y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，
∴x＝1时，y＝8或﹣a＝8，
∴a+4a+3a＝8，
∴a＝1或a＝﹣8．
∴a的值是1或﹣8．
19．（2024秋 海珠区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过坐标原点O和点A，点A在x轴上．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连接OB，AB，求S△OAB；
（3）若点C在抛物线上，且S△OAC＝8，求点C的坐标．
【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝﹣x2+2x+c得c＝0，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x．
（2）由题意，∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，∴顶点B的坐标为（1，1）．
当y＝0时，﹣x2+2x＝0，
解x1＝0，x2＝2，
∴A（2，0），
∴S△OAB＝×2×1＝1．
（3）设C点坐标为（t，﹣t2+2t），
∵S△OAC＝8，
∴×2×|﹣t2+2t|＝8，
即t2﹣2t＝8或t2﹣2t＝﹣8，
解方程t2﹣2t＝8得t1＝﹣2，t2＝4，
∴C点坐标为（﹣2，﹣8），或（4，﹣8），
方程t2﹣2t＝﹣8无实数解，
综上所述，C点坐标为（﹣2，﹣8），或（4，﹣8）．
20．（2024秋 河西区校级月考）用总长为60m的篱笆围成矩形场地．
（1）根据题意，填写下表：
矩形一边长/m 5 10 15 20
矩形面积/m2 125 　200　 　225　 　200　
（2）当矩形的长为　18　m，宽为　12　m时，矩形场地的面积为216m2；
（3）设矩形一边长为lm，矩形面积为Sm，当l是多少时，矩形场地的面积最大？并求出矩形场地的最大面积．
【解答】解：（1）若矩形一边长为10m，
则另一边长为，
此时矩形面积为：10×20＝200m2，
同理若矩形一边长为15m，则另一边长为15m，此时矩形面积为：15×15＝225m2，矩形一边长为20m，则另一边长为10m，此时矩形面积为：10×20＝200m2，
完成表格如下：
矩形一边长/m 5 10 15 20
矩形面积/m2 125 200 225 200
（2）设矩形一边长为x m，则另一边长为（30﹣x）m，
由题意得：x（30﹣x）＝216，
解得：x＝12或18，
∴当矩形的长为18m，宽为12m时，矩形场地的面积为216m2，
故答案为：18，12．
（3）解：设矩形一边长为lm，则另一边长为（30﹣l）m，
∴矩形场地的面积S＝l（30﹣x）＝﹣l2+30l＝﹣（l﹣15）2+225，
当l＝15时，S取得最大值，最大值为225m2，
答：当l是15m时，矩形场地的面积S最大，最大面积为225m2．
21．（2024 阳信县一模）商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
（2）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达1500元？
（3）当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达最大值？是多少？
【解答】解：（1）当每件商品售价为140元时，比每件商品售价130元高出10元，
即140﹣130＝10（元），
则每天可销售商品60件，即70﹣10＝60（件），
商场可获日盈利为（140﹣120）×60＝1200（元）．
答：每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元；
（2）设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元，
则每件商品比130元高出（x﹣130）元，每件可盈利（x﹣120）元，
每日销售商品为70﹣（x﹣130）＝200﹣x（件），
依题意得方程（200﹣x）（x﹣120）＝1500，
整理，得x2﹣320x+25600＝0，
解得：x1＝150，x2＝170．
答：每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元；
（3）设每件商品售价为x元，则每日销售商品为（200﹣x）件，
则商场的日盈利w＝（x﹣120）（200﹣x）
＝﹣x2+320x﹣24000
＝﹣（x﹣160）2+1600，
∴当x＝160时，w取得最大值，最大值为1600，
答：当每件商品的销售价定为160元时，能使商场的日盈利最多，1600元．
22．（2024秋 邹平市校级月考）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在点Q，使△AQC周长最小，若存在，求出点Q坐标和△AQC周长，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线 y＝x2﹣2x﹣3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴AB＝4，
设点P的纵坐标为m，
∵S△PAB＝10，
∴，即，解得：m＝±5；
当m＝5，有5＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝﹣2或4，
∴点P的坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
当m＝﹣5，有﹣5＝x2﹣2x﹣3，即x2﹣2x+2＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0，
∴方程x2﹣2x+2＝0无解．
综上，点P的坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
（3）∵抛物线 y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为x＝1，C（0，﹣3），
如图：作点C关于对称轴为x＝1的对称点C1，则C1（2，﹣3），连接AC1
∴QC＝QC1，
∴AC1＝AQ+AC1，
∴△AOC周长为AC+AQ+QC＝AC+AQ+QC1＝AC+AC1，此时△AOC的周长最小，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），C1（2，﹣3），
∴，
∴△AOC的周长最小为；
由点A、C1的坐标得，直线AC1的解析式为y＝﹣x﹣1，
令x＝1，可得y＝﹣2，即点Q（1，﹣2）；
综上，△AOC的周长最小为，点Q的坐标为（1，﹣2）．
23．（2024秋 庆云县校级月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）M是抛物线对称轴上的一点，连接BM，CM，求BM+CM的最小值．
（3）若E（m，0）为x轴正半轴上一动点，过点E作直线ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB，
①当E在线段OA上运动，当线段PD的长度最大时，请求出点P的坐标；
②当E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．把点A的坐标代入直线y＝﹣x+n得：
0＝﹣3+n，
解得：n＝3，
∴直线解析式为y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B（0，3），
把点A，点B的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点M是抛物线对称轴上的一点，
∴CM＝AM，
∴BM+CM＝BM+AM，
∴当A，M，B三点共线时，BM+CM有最小值为AB，
∴，
∴BM+CM的最小值为；
（3）①E（m，0）为x轴正半轴上一动点，且直线ED⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＜90°，
设点E（m，0），点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，﹣m+3），
∴PD＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
当时，PD最大，
∴；
②由①得PD2＝（﹣m2+3m）2，BP2＝m2+（﹣m2+2m）2，BD2＝m2+（﹣m+3﹣3）2＝2m2，
当PD＝BP时，则（﹣m2+3m）2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝2或0（舍去）；
当PD＝BD时，则，
解得：m＝0 （舍去）或；
当BP＝BD时，则m2+（﹣m2+2m）2＝2m2，
解得：m＝1或3（舍去3），
故m＝1或或2，
综上所述：点E的坐标为（1，0）或或（2，0）．