第一章 一元二次方程 专项训练2024-2025学年苏科版数学九年级上册（含解析）

2024-2025苏科版九年级一元二次方程专项训练
一、单选题
1．若方程的两个实数根为α,β，则α+β的值为（　　）
A．12 B．10 C．4 D．-4
2．方程x2=x的解是（　　）
A．x1=3，x2=﹣3 B．x1=1，x2=0 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=3，x2=﹣1
3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
4．已知关于的一元二次方程的两个实数根是，且，则的值是（ ）
A．8 B． C．6 D．5
5．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，全国第一天票房约3亿元，假设以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入约4亿元，若把增长率设为x，则下列方程正确的是（　　）
A．（1+x）2＝4 B．3（1+x）2＝4 C．3（1+x）3＝4 D．（1+x）3＝4
6．下列一元二次方程没有实数根的是
A． B．
C． D．
7．关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m＞1 C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠3
二、填空题
9．一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是 ．（列出方程即可，无需求解）
10．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ．
11．如果，那么 ．
12．对于实数a，b，定义一种运算“※”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ．
13．如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围为 ．
14．关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15．已知、是一元二次方程的两个实数根，那么直线不经过第 象限．
16．ABCD为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动，P、Q两点从出发开始到 秒时，点P和点Q的距离是10 cm.
三、解答题
17．解方程∶
18．解方程：
19．请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）．
（2）．
20．先化简，再求值：，其中x满足．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
22．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON（∠MON=135°）的两边为边，用总长为120m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG为直角梯形．
（1）若①②③这块区域的面积相等，则OB的长为 m；
（2）设OB=xm，四边形OBDG的面积为ym2，
①求y与x之的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；②x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
23．贵州省政府近日宣布，从2023年8月1日起，将推出一系列旅游优惠政策，以激励更多游客到贵州旅游．某旅游景点为了响应政府号召，将对旅游团体购买门票实行优惠活动，决定在原定票价基础上每张降价40元，这样按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元．
(1)求每张门票的原定票价；
(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续两次降价后降为97.2元，求平均每次降价的百分率．
24．已知关于x的一元二次方程3x2﹣kx+k﹣4＝0．
（1）判断方程根的情况；
（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．
25．下面是张老师数学课堂教学实践活动的一个片段：
【问题背景】如图1，一副三角板的直角顶点重合，两条直角边分别共线，将它们分别记作，．其中，，，．现固定三角板，将三角板绕点逆时针旋转，旋转角记为，射线与射线交于点，在射线上取一点，使，连接CQ．
(1)【特例探究】如图2，当时，直接写出和的数量关系和位置关系．
(2)【归纳证明】如图3，当点在线段BC上时，【特例探究】中得到的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)【类比迁移】当点在线段延长线上时，请直接写出【特例探究】中结论是否成立，不必说明理由．
(4)【拓展应用】连接．若，的面积等于，请直接写出的长．
参考答案：
1．A
【分析】根据根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式变形，代入即可求解.
【详解】解：方程的两个实数根为，
，，
；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
2．B
【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】方程变形得：x2﹣x=0，分解因式得：x（x﹣1）=0，可得：x=0或x﹣1=0，解得：x1=1，x2=0．
故选B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
3．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】解：由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：
，
解得：；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
4．D
【分析】利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式和已知条件得到，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系解题的关键是熟练掌握若，是一元二次方程的两根时：，．
5．B
【分析】设增长率为x，根据第一天的票房收入及第三天的票房收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设增长率为x，
依题意，得3（1+x）2＝4
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．D
【详解】试题分析：分别计算各方程的根的类别式的值与0进行比较大小即可确定一元二次方程根的情况．
试题解析：A、△=0-4×（-9）=36＞0，故该方程有两个不相等的实数根；
B、△=（-1）2-4×（-1）=1+4=5＞0，故该方程有两个不相等的实数根；
C、△=32-4×（-1）×（）=9-9=0，故该方程有两个相等的实数根；
D、△=12-4×1=1-4=-3＜0，故该方程没有实数根．
故选D．
考点：一元二次方程根的判别式．
7．D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式列出关于m的一元一次不等式组，然后方程组即可.
【详解】解：∵（m-3）x2-4x-2=0是关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：m>1且m≠3.
故答案为D.
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，正确运用一元二次方程的定义和根的判别式解题是解答本题的关键.
9．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“新车购买价为20万元，购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元”列方程即可．
【详解】解：设每年的年折旧率为，
根据题意，得，
故答案为：．
10．
【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得： 从而列不等式可得答案．
【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
11．2
【分析】该题主要考查了整式化简求值以及解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点．
化简得出为，再解即可；
【详解】解：
，
，
，
或，
（舍）或，
故答案为：2．
12．
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算以及根据根得情况求参数，根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解方程即可．
【详解】解：，
整理得：，
∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，且，
解得：，
故答案为：．
13．
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可；
【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
∴；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
14．
【分析】根据判别式的意义得到△=（-6）2-4×3×m＞0，然后解不等式即可．
【详解】根据题意得△=（-6）2-4×3×m＞0，
解得m＜3．
故答案为m＜3．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
15．一
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系确定一次函数的解析式，可以解答本题．
【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，
该函数经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、一次函数的性质，解答本题的关键是由一元二次方程根与系数的关系求出一次函数解析式，再利用一次函数的性质解答．
16．或
【分析】作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【详解】
设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作PH⊥CD，垂足为H，
则PH=AD=6，PQ=10，
∵DH=PA=3t，CQ=2t，
∴HQ=CD DH CQ=|16 5t|，
由勾股定理,得
解得
即P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm.
故答案为或.
【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程等，表示出HQ=CD DH CQ=|16 5t|是解题的关键.
17．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解决问题的关键．本题中，运用公式法求解即可．
【详解】解：．
，
∴原方程的根为．
（1），；
【分析】(1)利用求根公式法解方程即可
【详解】解：(1)
∴
∴，
【点睛】本题考查的知识点有解一元二次方程和实数的运算，
19．（1）x1=-2，x2=2；（2）x1=1，x2=-4
【分析】（1）移项，开方，即可得出答案；
（2）移项，再根据因式分解法即可求出答案．
【详解】解：（1）x2-4=0，
x2=4，
x=±2，
即x1=-2，x2=2；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴x1=1，x2=-4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
20．，4
【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后解出一元二次方程，根据分式有意义的条件可得，再代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∵，且，
∴取，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
22．（1）24；（2）①，（0﹤x﹤60）；②当x=15时，y有最大值，最大值为900.
【分析】（1）首先证明EG=EO=DB，DE=FC=OB，设OB=CF=DE=x，则，由①②③这块区域的面积相等，得到，解方程即可；
（2）①根据直角梯形的面积公式计算即可；②利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
【详解】解：（1）解：（1）由题意可知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°，
∴∠EGO=∠EOG=45°，
∴EG=EO=DB，DE=FC=OB，设OB=CF=DE=x，则，
∵①②③这块区域的面积相等，
，
∴x=24或60（舍弃），
∴BC=24m．
故答案为24．
（2）由题意可知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°，
∴∠EGO=∠EOG=45°，
∴CF=DE=OB=x，则GE=OE=BD=(120-2x)=40-x
①y=
= （0﹤x﹤60）
②
=
∴当x=15时，y有最大值，最大值为900.
【点睛】本题考查一元二次方程的性质和应用、直角梯形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．(1)120元．
(2)．
【分析】本题考查了一元二次方程与分式方程的应用．解题的关键要读懂题意，根据题目所给的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为元，根据“按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元”建立方程，解方程即可；
（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续两次降价后降为97.2元”建立方程，解方程即可．
【详解】（1）设每张门票的原定票价为x元，依题意得
解得
经检验，是所列方程的解．
所以，每张门票的原定票价为120元．
（2）设平均每次降价的百分率为y，依题意得
解得，（不符合题意，舍去）
所以，平均每次降价的百分率为．
24．见解析
【分析】（1）先求出△的值，再根据根的判别式即可得出方程根的情况；
（2）根据方程有整数根，可知△是完全平方数，利用求根公式选择k=4（答案不唯一），求出方程的根即可．
【详解】解：（1）∵△＝（﹣k）2﹣12（k﹣4）＝k2﹣12k+48＝（k﹣6）2+12＞0，
∴方程有两个不等的实数根；
（2）当k＝4时，△＝16，方程化为3x2﹣4x＝0，解得x1＝0，x2＝．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．
25．(1)，
(2)成立，理由见解析
(3)结论成立
(4)或
【分析】（1）根据题意证明，进而得出结论；
（2）根据（1）的方法证明，即可得出结论
（3）根据（1）的方法证明，，进而得出结论；
（4）分点点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别讨论，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）特例探究，
∵，
∴，
∴．
∵，∴．
在△ABP和△ACQ中，
∴．
∴，．
∴．
∴．
（2）归纳证明：结论成立．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，∴．
在△ABP和△ACQ中，
∴．
∴，．
∴．
∴．
（3）类比迁移：结论成立．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在△ABP和△ACQ中，
∴．
∴，．
∴．
∴．
（4）连接．若，的面积等于，请直接写出
拓展应用
解：∵，，
设，则，
当点在线段上时，
∴，
∴，
即，
解得：或，
∴,
当点在的延长线上时，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．