2016初中数学中考指导二轮复习锦囊：专题六 数学思想方法（二）

专题六 数学思想方法（二）
（方程思想、函数思想、数形结合思想）
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲
考点四：方程思想
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例4 （2015?通辽,第10题3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）
　 A． 8 B． 20 C． 8或20 D． 10
考点： 菱形的性质；解一元二次方程-因式分解法．
分析： 边AB的长是方程y2﹣7y+10=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．
解答： 解：∵解方程y2﹣7y+10=0得：y=2或5[中国教@*育出&版网~#]
∵对角线长为6，2+2＜6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为5．
∴菱形ABCD的周长为4×5=20．
故选B．
点评： 本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．
对应训练
4．（2015?山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（　　）
　 A．2 B． 4 C． D． 2
考点： 翻折变换（折叠问题）．.
分析： 根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解答：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，
在Rt△BCF中，（4）2+（6﹣x）2=（6+x）2，
解得x=4．
故选：B．
点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．
考点五：函数思想
函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。
例5 （2015?营口，第16题3分）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为　22　元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
考点： 二次函数的应用．
分析： 根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
解答： 解：设定价为x元，
根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870，
=﹣2（x﹣22）2+98
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
故答案为：22．
点评： 此题题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质．
对应训练
5．（2015?山东德州,第22题10分）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象求y与x的函数关系式；
（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？
考点： 一次函数的应用；一元二次方程的应用．.
分析： （1）根据图象可设y=kx+b，将（40，160），（120，0）代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据每千克的利润×销售量=2400元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算销售量，进而求出销售成本，与3000元比较即可得出结论．
解答： 解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将（40，160），（120，0）代入，
得，解得，
所以y与x的函数关系式为y=﹣2x+240（40≤x≤120）；
（2）由题意得（x﹣40）（﹣2x+240）=2400，
整理得，x2﹣160x+6000=0，
解得x1=60，x2=100．
当x=60时，销售单价为60元，销售量为120千克，则成本价为40×120=4800（元），超过了3000元，不合题意，舍去；
当x=100时，销售单价为100元，销售量为40千克，则成本价为40×40=1600（元），低于3000元，符合题意．
所以销售单价为100元．
答：销售单价应定为100元．
点评： 本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，利用待定系数法求出y与x的函数关系式是解题的关键．
考点六：数形结合思想
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
例6 （2015?营口，第10题3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）
　 A． 25° B． 30° C． 35° D． 40°
考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
解答： 解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：B．
点评： 本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
对应训练
6．（2015?通辽,第16题3分）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为　8cm2或2cm2或2cm2　．
考点： 勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质．
专题： 分类讨论．
分析： 因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：
（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；
（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；
（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．
解答： 解：分三种情况计算：
（1）当AE=AF=4时，如图：
∴S△AEF=AE?AF=×4×4=8（cm2）；
（2）当AE=EF=4时，如图：
则BE=5﹣4=1，
BF===，
∴S△AEF=?AE?BF=×4×=2（cm2）；
（3）当AE=EF=4时，如图：
则DE=7﹣4=3，
DF===，
∴S△AEF=AE?DF=×4×=2（cm2）；
故答案为：8或2或2．
点评： 本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．
四、中考真题训练
1．（2015?甘肃庆阳，第6题，3分）已知点P（a+1，﹣ +1）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
　 A． B．
C． D．
2．（2015?江苏南通，第6题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（　　）
　
A． B． C． D．2
3．（2015?江苏盐城，第27题12分）知识迁移
我们知道，函数y=a（x﹣m）2+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y=ax2的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y=+n（k≠0，m＞0，n＞0）的图象是由反比例函数y=的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）．
理解应用
函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移　1　个单位，再向上平移　1　个单位得到，其对称中心坐标为　 　．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y=的图象画出函数y=﹣2的图象，并根据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1=；若在x=t（t≥4）时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2=，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？
4．(2015年浙江省义乌市中考,13,5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm
5．（2015?衡阳, 第25题8分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
6．（2015?安徽, 第21题12分）如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．
（1）求k1、k2、b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．
五、中考真题训练参考答案
1．（2015?甘肃庆阳，第6题，3分）已知点P（a+1，﹣ +1）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；关于原点对称的点的坐标．
分析： 首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号（﹣，+），可得到不等式a+1＜0，﹣ +1＞0，然后解出a的范围即可．
解答： 解：∵P（a+1，﹣ +1）关于原点对称的点在第四象限，
∴P点在第二象限，
∴a+1＜0，﹣ +1＞0，
解得：m＜﹣1，
则a的取值范围在数轴上表示正确的是．
故选：C．
点评： 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及各象限内点的坐标符号，关键是判断出P点所在象限．
2．（2015?江苏南通，第6题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（　　）
　
A． B． C． D．2
考点：解直角三角形；坐标与图形性质．.
分析：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C，根据三角函数的定义即可求解．
解答：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．
则OC=2，BC=1，
则tanα==．
故选C．
点评：本题考查了三角函数的定义，理解正切函数的定义是关键．
3．（2015?江苏盐城，第27题12分）知识迁移
我们知道，函数y=a（x﹣m）2+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y=ax2的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y=+n（k≠0，m＞0，n＞0）的图象是由反比例函数y=的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）．
理解应用
函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移　1　个单位，再向上平移　1　个单位得到，其对称中心坐标为　 　．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y=的图象画出函数y=﹣2的图象，并根据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1=；若在x=t（t≥4）时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2=，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？
考点： 反比例函数综合题．
分析：理解应用：根据“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案：
灵活应用：根据平移规律作出图象；
实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”（4，1），然后带入y2，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．
解答：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1）．
故答案是：1，1，（1，1）
灵活应用：将y=的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数y=﹣2的图象，其对称中心是（2，﹣2）．图象如图所示：
由y=﹣1，得﹣2=﹣1，
解得x=﹣2．
由图可知，当﹣2≤x＜2时，y≥﹣1
实际应用：
解：当x=t时，y1=，
则由y1==，解得：t=4，
即当t=4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，
∴点（4，1）在函数y2=的图象上，
则1=，解得：a=﹣4，
∴y2=，
当y2==，解得：x=12，
即当x=12时，是他第二次复习的“最佳时机点”．
点评： 本题主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题，熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．
4．(2015年浙江省义乌市中考,13,5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm
考点：等边三角形的判定与性质．.
专题：应用题．
分析：根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
解答：解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=18cm，
故答案为：18
点评：此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析．
5．（2015?衡阳, 第25题8分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
考点： 反比例函数的应用；一次函数的应用．
分析： （1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；
（2）利用y=4分别得出x的值，进而得出答案．
解答： 解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，
将（4，8）代入得：8=4k，
解得：k=2，
故直线解析式为：y=2x，
当4≤x≤10时，设直反比例函数解析式为：y=，
将（4，8）代入得：8=，
解得：a=32，
故反比例函数解析式为：y=；
（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，
当y=4，则4=，解得：x=8，
∵8﹣2=6（小时），
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．
点评： 此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
6．（2015?安徽, 第21题12分）如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．
（1）求k1、k2、b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）先把A点坐标代入y=可求得k1=8，则可得到反比例函数解析式，再把B（﹣4，m）代入反比例函数求得m，得到B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；
（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），可求S△AOB=×6×2+×6×1=9；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结果．
解答：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），
∴k1=8，B（﹣4，﹣2），
解，解得；
（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为C（0，6），
∴S△AOB=S△COB+S△AOC=×6×4+×6×1=15；
（3）∵比例函数y=的图象位于一、三象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，y1＜y2，
∴M，N在不同的象限，
∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．