初中数学2016年中考八大题型典中典：初中数学2016年中考八大题型典中典专题复习（一）数学思想问题

专题复习（一）数学思想方法问题
题型概述
数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路。因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常见的解题方法与技巧，从而为夺得中考高分搭起灵感和智慧的平台。
初中数学中的主要数学思想有整体思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程和函数思想等。结合中考走向，我们重点就以下几种思想方法进行赏析强化。
【题型例析】
类型1：整体思想
整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼与它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密的联系这的量作为整体来处理运用的思想方法。
【例题】．（1）(2015?湖南株洲,第13题3分)因式分解：＝　　　　　　　。
【解析】
本题考点为：分解因式，首先提取整体公因式，然后还要注意彻底分解， 仍可以利用平方差公式分解。
答案为：
（2）（2015?广东梅州,第18题，7分）已知，求代数式的值.
考点：整式的混合运算—化简求值．.
专题：计算题．
分析：原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．
解答：解：原式=a2﹣2a+1+2ab+b2+2a=（a+b）2+1，
把a+b=﹣代入得：原式=2+1=3．
点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则整体运用是解本题的关键．
【变式练习】
（1）（2015福建龙岩13，3分）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π=　2π　．
考点： 代数式求值．
分析： 根据整体代入法解答即可．
解答： 解：因为4a﹣2b=2π，
所以可得2a﹣b=π，
把2a﹣b=π代入2a﹣b+π=2π．
点评： 此题考查代数式求值，关键是根据整体代入法计算．
（2）（2015?甘南州第23题 4分）已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2015=　2015　．
考点： 因式分解的应用．
分析： 首先根据a2﹣a﹣1=0得到a2﹣a=1，从而利用a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015代入求值即可．
解答： 解：∵a2﹣a﹣1=0，∴a2﹣a=1，
∴a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015=a﹣a+2015=2015，
故答案为：2015．
点评： 本题是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．
类型2：分类讨论思想
（1）代数问题中的分类讨论
针对代数中的有些问题，需要对整体问题进行分解，从不同的角度、不同的范围和不同的思路进行分类，把问题既不重复，不遗漏的分成几种情况进行分析，化整为零，各个击破的解题策略，这样使问题得以轻松解决。
【例题】(2015·黑龙江绥化，第26题 分)自学下面材料后，解答问题。
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：等 。那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为：
（1）若a＞0 ，b＞0 ，则＞0；若a＜0 ，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0 ，b＜0 ，则＜0 ；若a＜0，b＞0 ，则＜0。
反之：（1）若＞0则
（2）若＜0 ，则__________或_____________．
根据上述规律，求不等式 的解集。
考点：一元一次不等式组的应用．．
专题：阅读型．
分析：根据两数相除，异号得负解答；
先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．
解答：解：（2）若＜0，则或；
故答案为：或；
由上述规律可知，不等式转化为或，
所以，x＞2或x＜﹣1．
点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解不等式转化为不等式组的方法是解题的关键．
【变式练习】
（2015?绵阳第23题，11分）南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A，B两种矿石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元．
（1）设运送这些矿石的总费用为y元，若使用甲货船x艘，请写出y和x之间的函数关系式；
（2）如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运
考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
分析：（1）根据这些矿石的总费用为y=甲货船运费+乙货船运费，即可解答；
（2）根据A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，列出不等式组，确定x的取值范围，根据x为整数，确定x的取值，即可解答．
解答：（1）根据题意得：y=1000x+1200（30﹣x）=36000﹣200x．
（2）设安排甲货船x艘，则安排乙货船30﹣x艘，
根据题意得：，
化简得：，
∴23≤x≤25，
∵x为整数，
∴x=23，24，25，
方案一：甲货船23艘，则安排乙货船7艘，
运费y=36000﹣200×23=31400元；
方案二：甲货船24艘，则安排乙货船6艘，
运费y=36000﹣200×24=31200元；
方案三：甲货船25艘，则安排乙货船5艘，
运费y=36000﹣200×25=31000元；
经分析得方案三运费最低，为31000元．
点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是关键题意得到函数解析式和不等式组．
（2）几何问题中的分类讨论
针对几何中的有些问题，要注意进行分类的标准，有了一个标准之后，就要自始至终的使用这一标准进行分析，并画出相应的图形，使用图形分析求解也是十分必要的，还有一点就是值得强调的是分类后要注意题中的约束条件，谨防出现不合要求的解或者漏解现象发生。
【例题】（2015?四川泸州,第12题3分）在平面直角坐标系中，点A，B，动点C在轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为
A.2 B.3 C.4 　D.5
考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．.
分析：首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB的中垂线与x轴的交点，即可求出点C1的坐标；然后再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；最后判断出以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点，据此判断出点C的个数为多少即可．
解答：解：如图，，
∵AB所在的直线是y=x，
∴设AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+b，
∵点A（，），B（3，3），
∴AB的中点坐标是（2，2），
把x=2，y=2代入y=﹣x+b，
解得b=4，
∴AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+4，
∴；
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；
AB==4，
∵3＞4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．
综上，可得
若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3．
故选：B．
点评：（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（2）此题还考查了坐标与图形性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
【变式练习】
（2015?宁德 第25题 4分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．
（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=　30　度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）根据直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得解；
（2）延长MN交DC的延长线于点E，证明△MNB≌△ENC，进而得解；
（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC两种情况进行讨论即可．
解答： 解：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，
∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，
∵N是BC的中点，∴MN=PN，
∴∠NMP=∠NPM=30°；
（2）
如图1，延长MN交DC的延长线于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，
∴∠BMN=∠E，
∵点N是线段BC的中点，∴BN=CN，
在△MNB和△ENC中，
，
∴△MNB≌△ENC，
∴MN=EN，
即点N是线段ME的中点，
∵MP⊥AB交边CD于点P，
∴MP⊥DE，
∴∠MPE=90°，
∴PN=MN=ME；
（3）如图2
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
又M，N分别是边AB，BC的中点，
∴MB=NB，
∴∠BMN=∠BNM，
由（2）知：△MNB≌△ENC，
∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠NCE，
又∵PN=MN=NE，
∴∠NPE=∠E，
设∠BMN=∠BNM=∠E=∠NCE=∠NPE=x°，
则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，
①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，
在△PNC中，2x+2x+x=180，
解得：x=36，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，
②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，
在△PNC中，2x+x+x=180，
解得：x=45，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．
点评： 本题主要考查了菱形的性质，以及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键，有很强的综合性，要注意对等腰三角形进行分类讨论，注意认真总结．
类型3：转化思想
转化思想一般采用“高次向低次转化”，“多元向一元转化”“分式向整式转化”“多边形向三角形转化”“一般图形向特殊图形转化”的手段，具体的问题需要具体研究转化解决。
【例题】（2015?黄石第20题，8分）解方程组．
考点：高次方程．.
分析：由②得③，把③代入①解答即可．
解答：，由②得③，
把③代入①得：，
解得：，
当x1=0时，y1=1；
当时，，
所以方程组的解是．
点评：此题考查高次方程问题，关键是把高次方程化为一般方程再解答．
【变式练习】
（2015?四川成都,第27题10分）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．
（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．
（i）求证：△CAE∽△CBF；
（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；
（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；
（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
考点： 四边形综合题．.
分析： （1）（i）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得，∠ACE=∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可．
（ii）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．
（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即可判断出，据此求出BF的长度是多少；然后判断出∠EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的值是多少，进而求出k的值是多少即可．
（3）首先根据∠DAB=45°，可得∠ABC=180°﹣45°=135°，在△ABC中，根据余弦定理，可得；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即可用n表示出BF的值；最后判断出EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，判断出m，n，p三者之间满足的等量关系即可．
解答： （1）（i）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACE=∠BCF，
在△CAE和△CBF中，
，
∴△CAE∽△CBF．
（ii）解：∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE=∠△CBF，，
又∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=90°，
又∵，AE=2
∴，
∴，
∴EF2=BE2+BF2==3，
∴EF=，
∵CE2=2EF2=6，
∴CE=．
（2）如图②，连接BF，
，
∵==k，
∴BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb，
∴AC=，
CE==，
∴，∠ACE=∠BCF，
在△ACE和△∠BCF中，
，
∴△ACE∽△∠BCF，
∴，∠CAE=∠CBF，
又∵AE=2，
∴，
∴BF=，
∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBE+∠CBF=90°，
∴∠EBF=90°，
∴EF2=BE2+BF2=1，
∵，
∴=，CE=3，
∴EF=，
∴1，
∴，
解得k=±，
∵==k＞0，
∴k=．
（3）∵∠DAB=45°，
∴∠ABC=180°﹣45°=135°，
在△ABC中，根据余弦定理，可得
AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos135°
=2
=
在△ACE和△∠BCF中，
，
∴△ACE∽△∠BCF，
∴，∠CAE=∠CBF，
又∵AE=n，
∴，
∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBE+∠CBF=90°，
∴∠EBF=90°，
∴EF2=BE2+BF2，
∴，
∴（2）m2+n2=p2，
即m，n，p三者之间满足的等量关系是：（2）m2+n2=p2．
点评： （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
（4）此题还考查了余弦定理的应用，要熟练掌握．
类型4：数形结合思想
数形结合的思想解题主要分为两类，一是利用几何图形的直观或者有关性质来问题，解决数量关系和表示数的问题；二是运用数量关系来研究几何图形常常需要建立方程（组）或函数关系式等。
【例题】（2015?甘肃庆阳，第20题，3分）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为　　cm．（结果保留π）
考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 根据绕两圈到C，则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长，并且AB的长为圆柱的底面圆的周长，BC的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可．
解答： 解：如图所示，
∵无弹性的丝带从A至C，
∴展开后AB=2πcm，BC=3cm，
由勾股定理得：AC==cm．
故答案为：．
点评： 本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．
　
【变式练习】
（2015?江苏南通，第24题8分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．
（1）求∠P的度数；
（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．
考点： 切线的性质；扇形面积的计算．.
分析： （1）由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
（2）由S阴影=2×（S△PAO﹣S扇形）则可求得结果．
解答： 解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=120°，
∴∠P=360°﹣（90°+90°+120°）=60°．
∴∠P=60°．
（2）连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴APB=30°，
在RT△APO中，tan30°=，
∴AP===4cm，
∴S阴影=2S△AOP﹣S扇形=2×（×4×﹣）=（16﹣）（cm2）．
点评： 此题考查了切线的性质，解直角三角函数，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
类型5：方程函数思想
巧妙运用方程思想求解，思路清晰，解法便捷，另需要注意的是辅助未知数在解题过程中只能取到一个桥梁的作用。
【例题】（2015?乌鲁木齐,第22题10分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB=，AB=3，求BD的长．
考点： 切线的性质；勾股定理；解直角三角形．
分析： （1）利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=∠E，进而得出答案；
（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长．
解答： （1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠E=90°，
∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，
故∠DCE=∠E，
∴DC=DE，
（2）解：设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，
在Rt△EAD中，
∵tan∠CAB=，∴ED=AD=（3+x），
由（1）知，DC=（3+x），在Rt△OCD中，
OC2+CD2=DO2，
则1.52+[（3+x）]2=（1.5+x）2，
解得：x1=﹣3（舍去），x2=1，
故BD=1．
点评： 此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，熟练应用切线的性质得出∠OCD=90°是解题关键．
【变式练习】
（2015?温州第22题10分）某农业观光园计划将一块面积为900m2的圆圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B区域面积是A区域面积的2倍．设A区域面积为x（m2）．
（1）求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式．
（2）若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？
（3）若三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的前提下，全部栽种共需84000元．请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．
考点： 一次函数的应用．.
分析： （1）设A区域面积为x，则B区域面积是2x，C区域面积是900﹣3x，根据每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，即可解答；
（2）当y=6600时，即﹣21x+10800=6600，解得：x=200，则2x=400，900﹣3x=300，即可解答；
（3）设三种花卉的单价分别为a元、b元、c，根据根据题意得：，整理得：3b+5c=95，根据三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，所以b=15，c=10，a=20，即可解答．
解答： 解：（1）y=3x+12x+12（900﹣3x）=﹣21x+10800．
（2）当y=6600时，即﹣21x+10800=6600，
解得：x=200，
∴2x=400，900﹣3x=300，
答：A，B，C三个区域的面积分别是200m2，400m2，300m2．
（3）设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，在（2）的前提下，分别种植甲、乙、丙三种花卉的株数为600株，2400株，3600株，
根据题意得：，
整理得：3b+5c=95，
∵三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，
∴b=15，c=10，
∴a=20，
∴种植面积最大的花卉总价为：2400×15=36000（元），
答：种植面积最大的花卉总价为36000元．
点评： 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是关键题意，列出函数关系式和方程组．
类型6：类比思想
这种问题最大的特点就是：由特殊到一般，形变但是本质不变，对于这类问题运用类比方法解决时要注意拓展延伸，甚至注意到归纳猜想的思路上来。
【例题】（2015?山东德州,第23题10分）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD?BC=AP?BP．
探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
考点： 相似形综合题；切线的性质．.
专题： 探究型．
分析： （1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5﹣4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD?BC=AP?BP，就可求出t的值．
解答： 解：（1）如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴=，
∴AD?BC=AP?BP；
（2）结论AD?BC=AP?BP仍然成立．
理由：如图2，
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴=，
∴AD?BC=AP?BP；
（3）如图3，
过点D作DE⊥AB于点E．
∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3．
由勾股定理可得DE=4．
∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5﹣4=1．
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∴∠DPC=∠A=∠B．
由（1）、（2）的经验可知AD?BC=AP?BP，
∴5×1=t（6﹣t），
解得：t1=1，t2=5，
∴t的值为1秒或5秒．
点评： 本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．
【变式练习】
（2015岳阳第23题10分）
已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：　PA=PB　．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA?PB=k?AB．
考点：几何变换综合题．
分析：（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可．
（2）首先过C作CE⊥n于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PAC∽△PBE，即可判断出PA=PB仍然成立．
（3）首先延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出AF?BP=AE?BF，再个AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA?PB=2k．AB，所以PA?PB=k?AB，据此解答即可．
解答：（1）∵l⊥n，
∴BC⊥BD，
∴三角形CBD是直角三角形，
又∵点P为线段CD的中点，
∴PA=PB．
（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：
如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，
，
∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，
∴PD=PE，
又∵点P为线段CD的中点，
∴PC=PD，
∴PC=PE；
∵PD=PE，
∴∠CDE=∠PEB，
∵直线m∥n，
∴∠CDE=∠PCA，
∴∠PCA=∠PEB，
又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，
∴l∥CE，
∴AC=BE，
在△PAC和△PBE中，
∴△PAC∽△PBE，
∴PA=PB．
（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，
，
∵直线m∥n，
∴，
∴AP=PF，
∵∠APB=90°，
∴BP⊥AF，
又∵AP=PF，
∴BF=AB；
在△AEF和△BPF中，
∴△AEF∽△BPF，
∴，
∴AF?BP=AE?BF，
∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，
∴2PA?PB=2k．AB，
∴PA?PB=k?AB．
故答案为：PA=PB．
点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
跟踪检测：
1. （2015?温州第14题5分）方程的根为　 　．
2. （2015?温州第22题10分）某农业观光园计划将一块面积为900m2的圆圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B区域面积是A区域面积的2倍．设A区域面积为x（m2）．
（1）求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式．
（2）若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？
（3）若三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的前提下，全部栽种共需84000元．请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．
3. （2015?四川省内江市，第21题，10分）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
4. （2015?四川攀枝花第22题12分）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；
（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．
5. （2015·湖北省随州市，第24题10分）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　∠BAD=2∠EAF　关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
跟踪检测参考答案
1. （2015?温州第14题5分）方程的根为　x=2　．
考点： 解分式方程．.
分析： 观察可得最简公分母是x（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答： 解：去分母得：2（x+1）=3x
即2x+2=3x
解得：x=2
经检验：x=2是原方程的解．
故答案是：x=2
点评： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根
2. （2015?温州第22题10分）某农业观光园计划将一块面积为900m2的圆圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B区域面积是A区域面积的2倍．设A区域面积为x（m2）．
（1）求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式．
（2）若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？
（3）若三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的前提下，全部栽种共需84000元．请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．
考点： 一次函数的应用．.
分析： （1）设A区域面积为x，则B区域面积是2x，C区域面积是900﹣3x，根据每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，即可解答；
（2）当y=6600时，即﹣21x+10800=6600，解得：x=200，则2x=400，900﹣3x=300，即可解答；
（3）设三种花卉的单价分别为a元、b元、c，根据根据题意得：，整理得：3b+5c=95，根据三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，所以b=15，c=10，a=20，即可解答．
解答： 解：（1）y=3x+12x+12（900﹣3x）=﹣21x+10800．
（2）当y=6600时，即﹣21x+10800=6600，
解得：x=200，
∴2x=400，900﹣3x=300，
答：A，B，C三个区域的面积分别是200m2，400m2，300m2．
（3）设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，在（2）的前提下，分别种植甲、乙、丙三种花卉的株数为600株，2400株，3600株，
根据题意得：，
整理得：3b+5c=95，
∵三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，
∴b=15，c=10，
∴a=20，
∴种植面积最大的花卉总价为：2400×15=36000（元），
答：种植面积最大的花卉总价为36000元．
点评： 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是关键题意，列出函数关系式和方程组．
3. （2015?四川省内江市，第21题，10分）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
考点：一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．.
分析：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据“商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：，得到，根据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）当电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元时，则利润y=（k﹣50）x+15000，分两种情况讨论：当k﹣50＞0；当k﹣50＜0；利用一次函数的性质，即可解答．
解答：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，
根据题意得：，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，
x+400=1600+400=2000，
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，
则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，
根据题意得：，
解得：，
∵x为正整数，
∴x=34，35，36，37，38，39，40，
∴合理的方案共有7种，
即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；
∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，
则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，
当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；
当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；
答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；
当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．
点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答时根据总利润═冰箱的利润+空调的利润建立解析式是关键．
4. （2015?四川攀枝花第22题12分）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；
（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．
考点： 四边形综合题．.
分析： （1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，由矩形的性质得出和勾股定理求出BD，BO=15，由平行线得出△ABD∽△NBO，得出比例式，求出BN、NO，得出OM、DN、PN，即可得出点D、P的坐标；
（2）当点P在边AB上时，BP=6﹣t，由三角形的面积公式得出S=BP?AD；②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，同理得出S=BP?AB；即可得出结果；
（3）设点D（﹣t， t）；分两种情况：①当点P在边AB上时，P（﹣t﹣8， t），由和时；分别求出t的值；
②当点P在边BC上时，P（﹣14+t， t+6）；由和时，分别求出t的值即可．
解答： 解：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：
则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，
∴BD==10，
当t=5时，OD=5，
∴BO=15，
∵AD∥NO，
∴△ABD∽△NBO，
∴，
即，
∴BN=9，NO=12，
∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，
∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）；
（2）如图2所示：当点P在边AB上时，BP=6﹣t，
∴S=BP?AD=（6﹣t）×8=﹣4t+24；
②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，
∴S=BP?AB=（t﹣6）×6=3t﹣18；
综上所述：S=；
（3）设点D（﹣t， t）；
①当点P在边AB上时，P（﹣t﹣8， t），
若时，，
解得：t=6；
若时，，
解得：t=20（不合题意，舍去）；
②当点P在边BC上时，P（﹣14+t， t+6），
若时，，
解得：t=6；
若时，，
解得：t=（不合题意，舍去）；
综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．
点评： 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，由三角形相似得出比例式才能得出结果．
5. （2015·湖北省随州市，第24题10分）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　∠BAD=2∠EAF　关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
考点：四边形综合题．.
分析：【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．
【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD．
解答：【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAG=∠BAD=150°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米．
点评：此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．