初中数学2016年中考八大题型典中典：初中数学2016年中考八大题型典中典专题复习（五）阅读理解问题

专题复习（五）——阅读理解问题
题型概述
阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路 ( http: / / www.21cnjy.com )，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容，思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题，对于这类题求解步骤是“阅读—分析—理解—创新应用”，其关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材，因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力。
题型例析
类型1：新定义运算型
对于这种新定义型问题解答需要深刻理解新定义运算法则和运算过程，将新定义运算转化为熟悉的加减乘除等运算。
【例题】．（2015·湖北省武汉市，第15 ( http: / / www.21cnjy.com )题3分）定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝_________
10
【解析】由题意知，，所以，所以x※y=x2+2y,所以2※3=22+2×3=10.
新定义翻译：新定义的实质是解二元一次方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )，从而确定常数值，最后转化为求代数式的值.本题以新定义的形式出现，使简单问题新颖化，能很好的考查同学们的阅读理解能力.
【变式练习】
（2015 甘肃天水，第1 ( http: / / www.21cnjy.com )0题，4分）定义运算：a b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2 （﹣2）=6，②a b=b a，③若a+b=0，则（a a）+（b b）=2ab，④若a b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（　　）
　 A． ①④ B． ①③ C． ②③④ D． ①②④
考点： 整式的混合运算；有理数的混合运算．
专题： 新定义．
分析： 各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断．
解答： 解：根据题意得：2 （﹣2）=2×（1+2）=6，选项①正确；
a b=a（1﹣b）=a﹣ab，b a=b（1﹣a）=b﹣ab，不一定相等，选项②错误；
（a a）+（b b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a+b﹣a2﹣b2≠2ab，选项③错误；
若a b=a（1﹣b）=0，则a=0或b=1，选项④正确，
故选A
点评： 此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
类型2：学习应用型
解决此类问题时要注意以下两点：一要理解阅读材料中解题方法及其存在的规律性；二是熟练把握相关的知识。
【例题】．(2015 江苏南昌,第24题12分)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF,BE是△ABC的中线, AF⊥BE , 垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设,,.
特例探索
(1)如图1，当∠=45°，时，= ， ；
如图2，当∠=30°，时， = ， ；
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归纳证明
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
(3)如图4，在□ABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，BE⊥EG, AD= ,AB=3.
求AF的长.
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答案：解析：(1)如图1，连接EF,则EF是△ABC的中位线，
∴EF==,
∵∠ABE=45°,AE⊥EF ∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB ，∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP=BP=2 ，EP=FP=1, ∴AE=BF=,
∴.
如图2，连接EF,则EF是△ABC的中位线.
∵∠ABE=30°,AE⊥BF,AB=4,
∴AP=2, BP=,
∵EF, ∴PE=,PF=1,
∴AE=, BF=
∴ , .
(2)
如图3，连接EF， 设AP=m ,BP=n.,则
∵EF, ∴PE=BP=n , PF=AP=m,
∴ , ,
∴,
∴
(3)
( http: / / www.21cnjy.com )
如上图，延长EG,BC交于点Q, 延长QD,BA交于点P,延长QE,BE分别交PB，PQ于点M,N,连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC, ABCD,
∵E,G是分别是AD,CD的中点，∴△EDG≌△QCG≌△EAM, ∴CQ=DE=, DG=AM=1.5，∴BM=4.5.
∵，∴，∴BP=9, ∴M是BP的中点；
∵ADFQ, ∴四边形ADQF是平行四边形，∴AF∥PQ,
∵E,F分别是AD，BC的中点，∴AEBF, ∴四边形ABFE是平行四边形，∴OA=OF,
由AF∥PQ得：
, ∴, ∴PN=QN, ∴N是PQ的中点；
∴△BQP是“中垂三角形”， ∴,
∴, ∴
【变式练习】
（2015 四川成都,第25题4分）如 ( http: / / www.21cnjy.com )果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　②③　（写出所有正确说法的序号）
①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．
②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；
③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；
④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．
考点： 根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．.
专题： 新定义．
分析： ①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，得到方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②由（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，得到=﹣1，或=﹣4，∴m+n=0于是得到4m2+5mn+n2=（4m+1）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，q）在反比例函数y=的图象上，得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，故∴③正确；④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴
得到抛物线的对称轴x===，于是求出x1=，故④错误．
解答：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，
∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；
②∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，
∴=﹣1，或=﹣4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；
③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上，
∴pq=2，
解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，
∴x2=2x1，故③正确；
④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，
∴设x1=2x2，
∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴抛物线的对称轴x===，
∴x1+x2=5，
∴x1+2x1=5，
∴x1=，故④错误．
故答案为：②③．
点评： 本题考查了根与系数的关系， ( http: / / www.21cnjy.com )根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
类型3：新概念阅读型
首先要先读懂题中情形，从而根据相关的知识解决问题，再灵活运用所学过的有关知识点进行点拨解题。
【例题】(2015·南宁，第12题3分)对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程的解为（ ）.
（A） （B）　 （C） （D）
考点：解分式方程．.
专题：新定义．
分析：根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即可．
解答：当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x=，
去分母得：x2+2x+1=0，即x=﹣1；
当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x=，即x2﹣2x=1，
解得：x=1+或x=1﹣（舍去），
经检验x=﹣1与x=1+都为分式方程的解．
故选D．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【变式练习】
（2015 浙江嘉兴，第24题14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
（1）概念理解
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.
（2）问题探究
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿
∠ABC的平分线BB＇方向平移得到 ( http: / / www.21cnjy.com )△A＇B＇C＇，连结AA＇，BC＇.小红要是平移后的四边形ABC＇A＇是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB＇的长）？
（3）应用拓展
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD为对角线，AC=AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.
( http: / / www.21cnjy.com )考点：四边形综合题．.
分析：（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；
（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；
②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；
（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由 ( http: / / www.21cnjy.com )全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．
解答：解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；
（2）①正确，理由为：[来^源&#:中教%~网]
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，
∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边形”是菱形；
②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，
（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；
（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；
（III）当A′C′=BC′=时，
如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，
∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′=∠ABC=45°，
∴∠BB′D=′∠ABB′=45°，
∴B′D=B，
设B′D=BD=x，
则C′D=x+1，BB′=x，
∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2
∴x2+（x+1）2=（）2，
解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），
∴BB′=x=，
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，
与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，
设B′D=BD=x，
则x2+（x+1）2=22，
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴BB′=x=；
（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，
∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，
∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，==1，
∴△ACF∽△ABD，
∴==，∴BD，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC2+FB2﹣CF2=（BD）2=2BD2，
∴BC2+CD2=2BD2．
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点评：本题主要考查了对新定义的理解，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的性质等，理解新定义，分类讨论是解答此题的关键．
类型4：纠错补全型
对解题过程的阅读，一定要带有批判型的眼光去审查每一步，并且一定要克服自己的思维定势，应把问题想的更宽更深些，这样存在的问题才能被挖掘出来。
【例题】（2015 四川凉山州第24题8分）阅读理解
材料一：一组对边平行，另一 ( http: / / www.21cnjy.com )组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：
梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半．
如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中点
∴EF∥AD∥BC
EF=（AD+BC）
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
如图（2）：在△ABC中：
∵E是AB的中点，EF∥BC
∴F是AC的中点
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．
如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°
（1）求证：EF=AC；
（2）若OD=3，OC=5，求MN的长．
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考点： 四边形综合题．.
分析： （1）由直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得OA=AD，OC=BC，即可证明；
（2）直角三角形中30° ( http: / / www.21cnjy.com )的锐角所对的直角边是斜边的一半，得出OA=3，利用平行线得出ON=MN，再根据AN=AC=4，得出ON=4﹣3=1，进而得出MN的值．
解答： （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，
∴AC=OA+OC=（AD+BC），
∵EF=（AD+BC），
∴AC=EF；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，
∵OD=3，OC=5，
∴OA=3，
∵AD∥EF，
∴∠ADO=∠OMN=30°，
∴ON=MN，
∵AN=AC=（OA+OC）=4，
∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1，
∴MN=2ON=2．
点评： 此题主要考查四边形的综合题，关键是根据梯形中位线的性质和直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半进行分析．
【变式练习】
（2015 永州，第27题10分）问题探究：
（一）新知学习：
圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角 ( http: / / www.21cnjy.com )互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．
（二）问题解决：
已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．
（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；
（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；
（3）若直径AB与CD相交成120°角．
①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；
②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．
（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．
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考点：圆的阅读解题．
专题：探究型．
分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；
（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；
（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相 ( http: / / www.21cnjy.com )等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN sin∠MQN，从而可得MN=OP sin∠MQN，由此即可解决问题；
（4）由（3）②中已得结论MN=OP sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．
解答：（1）如图一，
∵PM⊥OC，PN⊥OB，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠PMO+∠PNO=180°，
∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；
（2）如图一，
∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，
∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴MN=OP=2，
∴MN的长为定值，该定值为2；
（3）①如图二，
∵P1是的中点，∠BOC=120°
∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°．
∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，
∴P1M=P1N，
∴△P1MN是等边三角形，
∴MN=P1M．
∵P1M=OP1 sin∠MOP1=2×sin60°=，
∴MN=；
②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，
交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，
则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，
在Rt△QMN中，sin∠MQN=，
∴MN=QN sin∠MQN，
∴MN=OP sin∠MQN=2×sin60°=2×=，
∴MN是定值．
（4）由（3）②得MN=OP sin∠MQN=2sin∠MQN．
当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．
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点评：本题主要考查了圆内接四边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定定理、圆周角定理、在同圆中弧与圆心角的关系、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质等知识，推出MN=OP sin∠MQN是解决本题的关键．
跟踪检测：
1. （2015 永州，第10题3分）定 ( http: / / www.21cnjy.com )义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　）
A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]=n+[x]（n为整数）
2. （2015 四川遂宁第21题9分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣-）×（++）．
令++=t，则
原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t
=t+﹣t2﹣t﹣t+t2
=
问题：
（1）计算
（1﹣﹣﹣…﹣）×（+++…++）﹣（1﹣﹣﹣-…﹣﹣）×（++…+）；
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
3. (2015·黑龙江绥化，第26题 分)自学下面材料后，解答问题。
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：等 。那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为：
（1）若a＞0 ，b＞0 ，则＞0；若a＜0 ，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0 ，b＜0 ，则＜0 ；若a＜0，b＞0 ，则＜0。
反之：（1）若＞0则
（2）若＜0 ，则__________或_____________．
根据上述规律，求不等式 的解集。
4. （2015 山东日照 ，第21题12分）阅读资料：
如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=．
我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半 ( http: / / www.21cnjy.com )径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．
问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为　 　．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切点；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．
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5. （2015 浙江宁波，第25题12分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.
（1）如图2，已知∠MON=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°. 求证：∠APB是∠MON的智慧角；
（2）如图1，已知∠MON=（0°<<90°），OP=2，若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积；
（3）如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交轴和轴于点A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.
( http: / / www.21cnjy.com )
6. （2015 湘潭，第24题8分）阅读材料：用配方法求最值．
已知x，y为非负实数，
∵x+y﹣2≥0
∴x+y≥2，当且仅当“x=y”时，等号成立．
示例：当x＞0时，求y=x++4的最小值．
解：+4=6，当x=，即x=1时，y的最小值为6．
（1）尝试：当x＞0时，求y=的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？
7. （2014 福建漳州，第24题1 ( http: / / www.21cnjy.com )2分）读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）
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（1）【理解与应用】
如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为　　．
（2）【类比与推理】
如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；
（3）【拓展与延伸】
如图4，⊙O的半径为4，A， ( http: / / www.21cnjy.com )B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
跟踪检测参考答案：
1. （2015 永州，第10题3分） ( http: / / www.21cnjy.com )定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　）
A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]=n+[x]（n为整数）
考点：一元一次不等式组的应用．
专题：新定义．
分析：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算．
解答：A、∵[x]为不超过x的最大整数，
∴当x是整数时，[x]=x，成立；
B、∵[x]为不超过x的最大整数，
∴0≤x﹣[x]＜1，成立；
C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，
∵﹣9＞﹣10，
∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，
∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，
D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；
故选：C．
点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．
2. （2015 四川遂宁第21题9分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣-）×（++）．
令++=t，则
原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t
=t+﹣t2﹣t﹣t+t2
=
问题：
（1）计算
（1﹣﹣﹣…﹣）×（+++…++）﹣（1﹣﹣﹣-…﹣﹣）×（++…+）；
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
考点： 换元法解一元二次方程；有理数的混合运算．
专题： 换元法．
分析： （1）设++…+=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t，进行计算即可；
（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，求出t的值，再解一元二次方程即可．
解答： 解：（1）设++…+=t，
则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t
=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t=0；
（2）设x2+5x+1=t，
则原方程化为：t（t+6）=7，
t2+6t﹣7=0，
解得：t=﹣7或1，
当t=1时，x2+5x+1=1，
x2+5x=0，
x（x+5）=0，
x=0，x+5=0，
x1=0，x2=﹣5；
当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，
x2+5x+8=0，
b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，
此时方程无解；
即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5．
点评： 本题考查了有理数的混合运算和解高次方程的应用，能正确换元是解此题的关键，题目比较典型．
3. (2015·黑龙江绥化，第26题 分)自学下面材料后，解答问题。
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：等 。那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为：
（1）若a＞0 ，b＞0 ，则＞0；若a＜0 ，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0 ，b＜0 ，则＜0 ；若a＜0，b＞0 ，则＜0。
反之：（1）若＞0则
（2）若＜0 ，则__________或_____________．
根据上述规律，求不等式 的解集。
考点：一元一次不等式组的应用．．
专题：阅读型．
分析：根据两数相除，异号得负解答；
先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．
解答：解：（2）若＜0，则或；
故答案为：或
由上述规律可知，不等式转化为或，
所以，x＞2或x＜﹣1．
点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解不等式转化为不等式组的方法是解题的关键．
4. （2015 山东日照 ，第21题12分）阅读资料：
如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=．
我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径 ( http: / / www.21cnjy.com )的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．
问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为　（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2　．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切点；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．
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考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
专题：阅读型．
分析：问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程；
综合应用：①由PO=PA，PD⊥OA ( http: / / www.21cnjy.com )可得∠OPD=∠APD，从而可证到△POB≌△PAB，则有∠POB=∠PAB．由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切线；
②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易证∠OBP=∠POA，则有tan∠OBP==．由P点坐标可求出OP、OB．过点Q作QH⊥OB于H，易证△BHQ∽△BOP，根据相似三角形的性质可求出QH、BH，进而求出OH，就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题．
解答：问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，
∵P（a，b），半径为r，
∴AP2=（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．
故答案为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；
综合应用：
①∵PO=PA，PD⊥OA，
∴∠OPD=∠APD．
在△POB和△PAB中，
，
∴△POB≌△PAB，
∴∠POB=∠PAB．
∵⊙P与x轴相切于原点O，
∴∠POB=90°，
∴∠PAB=90°，
∴AB是⊙P的切线；
②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．
当点Q在线段BP中点时，
∵∠POB=∠PAB=90°，
∴QO=QP=BQ=AQ．
此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．
∵∠POB=90°，OA⊥PB，
∴∠OBP=90°﹣∠DOB=∠POA，
∴tan∠OBP==tan∠POA=．
∵P点坐标为（0，6），
∴OP=6，OB=OP=8．
过点Q作QH⊥OB于H，如图3，
则有∠QHB=∠POB=90°，
∴QH∥PO，
∴△BHQ∽△BOP，
∴===，
∴QH=OP=3，BH=OB=4，
∴OH=8﹣4=4，
∴点Q的坐标为（4，3），
∴OQ==5，
∴以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．
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点评：本题是一道阅读题，以考查阅读理解 ( http: / / www.21cnjy.com )能力为主，在解决问题的过程中，用到了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义等知识，有一定的综合性．
5. （2015 浙江宁波，第25题12分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.
（1）如图2，已知∠MON=90°，点P ( http: / / www.21cnjy.com )为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°. 求证：∠APB是∠MON的智慧角；
（2）如图1，已知∠MON=（0°<<90°），OP=2，若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积；
（3）如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交轴和轴于点A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.
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【考点】新定义和阅读理解型问题；单 ( http: / / www.21cnjy.com )动点和旋转问题；相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用.
【分析】（1）通过证明，即可得到，从而证得∠APB是∠MON的智慧角.
（2）根据得出结果.
（3）分点B在轴的正半轴，点B在轴的负半轴两种情况讨论.
【答案】解：（1）证明：∵∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，
∴.
∵，∴.
∵，∴.∴.
∴.∴，即.
∴∠APB是∠MON的智慧角.
（2）∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴，即.
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴.
∴.
∴.
∴.
如答图1，过点A作AH⊥OB于点H，
∴.
∵，∴.
（3）设点，则.如答图，过C点作CH⊥OA于点H.
i）当点B在轴的正半轴时，
如答图2，当点A在轴的负半轴时，不可能.
如答图3，当点A在轴的正半轴时，
∵，∴.
∵∥，
∴.∴.∴.
∴.
∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为.
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ii）当点B在轴的负半轴时，如答图4
∵，∴.
∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，∴.
∴.∴.
∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴.
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为.
综上所述，点P的坐标为或.
6. （2015 湘潭，第24题8分）阅读材料：用配方法求最值．
已知x，y为非负实数，
∵x+y﹣2≥0
∴x+y≥2，当且仅当“x=y”时，等号成立．
示例：当x＞0时，求y=x++4的最小值．
解：+4=6，当x=，即x=1时，y的最小值为6．
（1）尝试：当x＞0时，求y=的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？
考点：配方法的应用．.
分析：（1）首先根据y=，可得y=x++1，然后应用配方法，求出当x＞0时，y=的最小值是多少即可．
（2）首先根据题意，求出年平均费用=（+0.4n+10）÷n=，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．
解答：（1）y==x++1+1=3，
∴当x=，即x=1时，y的最小值为3．
（2）年平均费用=（+0.4n+10）÷n==2+0.5=2.5，
∴当，
即n=10时，最少年平均费用为2.5万元．
点评：此题主要考查了配方法的应用，要 ( http: / / www.21cnjy.com )熟练掌握，解答此题的关键是要明确配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
7. （2014 福建漳州，第24题1 ( http: / / www.21cnjy.com )2分）读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）
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（1）【理解与应用】
如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为　　．
（2）【类比与推理】
如图3，矩形ABCD的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；
（3）【拓展与延伸】
如图4，⊙O的半径为4，A ( http: / / www.21cnjy.com )，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
考点：圆的综合题；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；弦切角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：压轴题；探究型．
分析：（1）易证：OA=OB，∠AOB=90°，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题．
（2）易证：OA=OB=OC=0D=，然后由条件PE∥OB，PF∥AO可证△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA，从而可得==1，进而求出EP+FP=．
（3）易证：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值
解答：（1）如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．
∵AB=BC=2，
∴AC=2．
∴OA=．
∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE+PF=OA=．
（2）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴BD=5．
∴OA=OB=OC=OD=．
∵PE∥OB，PF∥AO，
∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．
∴，．
∴==1．
∴+=1．
∴EP+FP=．
∴PE+PF的值为．
（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．
理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4．
∵DG与⊙O相切，
∴∠GDA=∠ABD．
∵∠ADG=30°，
∴∠ABD=30°．
∴∠AOD=2∠ABD=60°．
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形．
∴AD=OA=4．
同理可得：BC=4．
∵PE∥BC，PF∥AD，
∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．
∴，．
∴==1．
∴=1．
∴PE+PF=4．
∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
点评：本题考查了正方形的性质、矩形的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )弦切角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了类比联想的能力，由一定的综合性．要求PE+PF的值，想到将相似所得的比式相加是解决本题的关键．