初中数学2016年中考八大题型典中典：初中数学2016年中考八大题型典中典专题复习（六）图形操作问题

专题复习（六）——图形操作问题
题型概述
操作题是当今中考命题的热点，在今后仍是大 ( http: / / www.21cnjy.com )趋势，是数形结合的拓展和深化，它有助于学生发展空间观念和创新能力的培养，对于这类问题的解答，首先要求大家积极的参与操作、实验、观察、猜想、探索、发现结论全过程，有效提高解答操作试题的能力。
题型例析
类型1：网格与画图
结合图形找准关键性格点，需要对网格有深刻理解，同时结合相关几何知识画出图形。
【例题】（2015 浙江丽水，第19题6分）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.
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【答案】解：（1）作图如下：
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（2）∵△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=37°，∴∠BAC=53°.
∵AD=BD，∴，∠B=∠BAD=37°
∴∠CAD=∠BAC∠BAD=16°.
【考点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的性质.
【分析】（1）因为到A，B两点的距离相等在线段AB的垂直平分线上，因此，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，据此作图即可.
（2）根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC，根据等腰三角形等边对等角的性质，求出∠BAD，从而作差求得∠CAD的度数.
【变式练习】
（2015·山东潍坊第9 题3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（　　）
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A．2 B．4 C．6 D．8
考点：平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.
分析：根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．
解答：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴=，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴=，
∴BE=8，
故选D．
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例.
类型2：折叠与翻转问题
折叠问题是一种常见题型，折叠前后的两个图形对应边、对应角相等，也就是说折叠变换就是全等变换，把握住这些常识性的知识点再来解题就很容易了。
【例题】（2015 江苏泰州,第16题3分）如图， 矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一点， 将△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________.
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【答案】4.8.
【解析】
试题分析：由折叠的性质得出EP=AP, ∠ ( http: / / www.21cnjy.com )E=∠A=90°,BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可.
试题解析：如图所示：
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∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°,BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中
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∴△ODP≌△OEG
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP
设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，
∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x
根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2
即：62+（8-x）2=（x+2）2
解得：x=4.8
∴AP=4.8.
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.矩形的性质.
【变式练习】
（2015 四川省内江市， ( http: / / www.21cnjy.com )第14题，5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为　　．
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考点：翻折变换（折叠问题）
分析：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．
解答：∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，
∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，
∴DC=2EF，AB=5，
作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ADCH为矩形，
∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，
在Rt△ABH中，AH==2，
∴EF=．
故答案为：．
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点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种 ( http: / / www.21cnjy.com )对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
类型3：分割与拼接
解决此类问题时要关注分割和拼接过程中所产生的结果，再灵活运用相关的几何知识解决问题。
【例题】（2015 江苏镇江，第23题，6分）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
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（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于　　．
考点： 正多边形和圆；圆锥的计算；作图—复杂作图．
分析： （1）作AE的垂直平分线交 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；
（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．
解答： （1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，
（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOD=3=135°，
∵OA=5，
∴的长=，
设这个圆锥底面圆的半径为R，
∴2πR=，
∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．
故答案为：．
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点评： 本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．
　
【变式练习】
（2015 浙江杭州,第16题4分 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=_______________________________
【答案】或.
【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.
【分析】∵四边形纸片ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠C=30°.
如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形：
如答图1，剪痕BM、BN，过点N作NH⊥BM于点H，
易证四边形BMDN是菱形，且∠MBN=∠C=30°.
设BN=DN=，则NH=.
根据题意，得，∴BN=DN=2， NH=1.
易证四边形BHNC是矩形，∴BC=NH=1. ∴在中，CN=.
∴CD=.
如答图2，剪痕AE、CE，过点B作BH⊥CE于点H，
易证四边形BAEC是菱形，且∠BCH =30°.
设BC=CE =，则BH=.
根据题意，得，∴BC=CE =2， BH=1.
在中，CH=，∴EH=.
易证，∴，即.
∴.
综上所述，CD=或.
类型4：“学具”操作型
这属于实际学习用具操作问题，解题的重要方式是实际操作，即在解题的时候用三角板或其它学具进行了实际操作。这种试题考查了学生的实际动手能力。
【例题】（2015 宜昌， ( http: / / www.21cnjy.com )第11题3分）如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（　　）
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A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2
考点：切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算
专题：应用题
分析：由BC，AC分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O的切线，B，A为切点，得到OA⊥CA，OB⊥BC，又∠C=90°，OA=OB，推出四边形AOBC是正方形，得到OA=AC=4，故A，B正确；根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可进行判断．
解答：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，
∴OA⊥CA，OB⊥BC，
又∵∠C=90°，OA=OB，
∴四边形AOBC是正方形，
∴OA=AC=4，故A，B正确；
∴的长度为：=2π，故C错误；
S扇形OAB==4π，故D正确．
故选C．
点评：本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，扇形的弧长、面积的计算，熟记计算公式是解题的关键．
【变式练习】
（2015 浙江省绍兴市，第13题，5 ( http: / / www.21cnjy.com )分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm
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考点：等边三角形的判定与性质．.
专题：应用题．
分析：根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
解答：解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=18cm，
故答案为：18
点评：此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析．
跟踪检测：
1. （2015 怀化，第19题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2
（1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧的长l．
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2. （2015 昆明第17题，6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．
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3. （2015·湖北省随州市，第22题8分）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．
（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．
4. （2015 广东东莞21，7分） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
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5. （2015·湖北省咸宁市，第 ( http: / / www.21cnjy.com )23题10分）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；
（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；
（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．
6. （2015福建龙岩22，12分）下 ( http: / / www.21cnjy.com )列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．
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（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；
（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿 ( http: / / www.21cnjy.com )EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换；
（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形．
跟踪检测参考答案
1. （2015 怀化，第19题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2
（1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧的长l．
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考点： 作图—复杂作图；弧长的计算．
分析： （1）使以O为圆心的圆经过A、B、C三点，即做三角形的外接圆，即是三条边的垂直平分线的交点；
（2）由，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，易得∠B=30°，∠A=60°，∠BOC=120°，由弧长计算公式得出结论．
解答： 解：（1）如图所示：
（2）∵AC=1，AB=2，
∴∠B=30°，∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴l==
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点评： 本题主要考查了三角形外接圆的做法，含30°直角三角形的性质及弧长的计算，数形结合，掌握直角三角形的性质是解答此题的关键．
2. （2015 昆明第17题，6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．
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考点： 作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换．
分析： （1）利用关于x轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点A1、B1、C1的坐标，然后画出图形即可；
（2）利用旋转的性质可确定出点A2、C2的坐标；
（3）利用弧长公式进行计算即可．
解答： 解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（4，﹣3），
如图下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．
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（2）如图：
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（3）由两点间的距离公式可知：BC=，
∴点C旋转到C2点的路径长=．
点评： 本题主要考查的是图形的对称、图形的旋转以及扇形的弧长公式，掌握相关性质是解题的关键．
3. （2015·湖北省随州市，第22题8分）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．
（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．
考点：切线的判定与性质；弧长的计算；作图—基本作图．
分析：（1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，根据角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；
（2）首先证明△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．
解答：（1）作图如右图，
连接OA，过O作OB⊥PC，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，
∴OA=OB，即d=r，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵PA、PC是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵AB=AP=4，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠AOB=120°，∠POA=60°，
在Rt△AOP中，tan60°=
∴OA=
∴==．
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点评：本题考查了尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及弧长的计算，求出圆心角和半径长是解决问题的关键．
4. （2015 广东东莞21，7分） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
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考点： 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析： （1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；
（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；
解答： 解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
（2）∵∴△ABG≌△AFG，
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则GC=6﹣x，
∵E为CD的中点，
∴CE=EF=DE=3，
∴EG=3+x，
∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，
∴BG=2．
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点评： 此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．
5. （2015·湖北省咸宁市 ( http: / / www.21cnjy.com )，第23题10分）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；
（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；
（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．
考点：四边形综合题．
分析：（1）根据对等四边形的定义，进行画图即可；
（2）连接AC，BD，证明Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=BC，又AB是⊙O的直径，所以AB≠CD，即可解答；
（3）根据对等四边形的定义，分两种情况 ( http: / / www.21cnjy.com )：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．
解答：（1）如图1所示（画2个即可）．
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（2）如图2，连接AC，BD，
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∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ADB和Rt△ACB中，
∴Rt△ADB≌Rt△ACB，
∴AD=BC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴AB≠CD，
∴四边形ABCD是对等四边形．
（3）如图3，点D的位置如图所示：
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①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；
②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，
过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，
设BE=x，
∵tan∠PBC=，
∴AE=，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
即，
解得：x1=5，x2﹣5（舍去），
∴BE=5，AE=12，
∴CE=BC﹣BE=6，
由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，
在Rt△AFD2中，，
∴，，
综上所述，CD的长度为13、12﹣或12+．
点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．在（3）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用
6. （2015福建龙岩22，12分）下列 ( http: / / www.21cnjy.com )网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．
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（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；
（2）如图甲，把六边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )DEF沿EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换；
（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形．
考点： 图形的剪拼．
分析： （1）利用剪拼前后图形的面积相等，得出拼成的正方形的边长；
（2）利用平移拼出正方形；
（3）在六边形图形上剪拼成的正方形即可．
解答： 解：（1）根据剪拼前后图形的面积相等，得出拼成的正方形的边长==4，
（2）如图，②③都属于平移，
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（3）如图乙：
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点评： 本题主要考查了图形的剪拼，解题的关键是理解旋转、平移和轴对称的图形变换．