6.2.3 向量的数乘运算——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

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6.2.3 向量的数乘运算——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练
一、选择题
1．在中,,,M,N为线段上（不包含端点）不同的两个动点.若,则( )
A.3 B.4 C.6 D.7
2．如图所示的中，点D是线段上靠近B的三等分点，点E是线段的中点，则( )
A. B.
C. D.
3．在平行四边形中,,,则( )
A. B. C. D.
4．如图,在中,点D,E满足,.若,则( )
A. B. C. D.
5．已知O是所在平面内一点，且，若，则( )
A. B. C. D.
6．在中，若，则的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7．在中，，，则( )
A. B. C. D.
8．如图,在中,,若,,则( )
A. B. C. D.
9．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，点P满足，则与的面积比为( )
A. B. C. D.
10．如图,在中,,则( )
A. B. C. D.
二、填空题
11．已知O是的外心，，，若，且，，则的值为___________.
12．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E在上，且，连接交于点G，若，则________.
13．已知两个单位向量，的夹角为，则与的夹角为______.
14．已知,,若A,B,C三点共线,则________.
三、解答题
15．欧拉是伟大的数学家,也是最多产的数学家,他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年,欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出,任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线）,此外,外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半.为证明以上结论,我们作以下探究:
如图,点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心.
（1）求证:;
（2）求证:;
（3）求证:.
注:①重心:三边中线的交点,重心将中线长度分成2:1;
②垂心:三条高线的交点,高线与对应边垂直;
③外心:三条中垂线的交点（外接圆的圆心）,外心到三角形各顶点的距离相等.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,,所以,,
设,,
则
,
又,且,不共线,
则,
所以.
2．答案：B
解析：
.
故选：B.
3．答案：C
解析：由图可得:,又,.
则,即.
故选:C
4．答案：B
解析：因为
,
又,
所以,,
所以.
故选：B.
5．答案：C
解析：因为，所以，
即，即，
又，、不共线，所以，所以.
故选：C
6．答案：B
解析：因为，，
所以，
所以为等边三角形.
故选B.
7．答案：C
解析：.
8．答案：C
解析：因为,所以,
所以.
故选:C.
9．答案：B
解析：如图所示，是的重心，，.，，，即，点P为的中点，即点P，O为BC边中线AD的两个三等分点，，，.故选B.
10．答案：A
解析：在中,,
.
故选：A.
11．答案：
解析：如图所示，
因为，，，
所以，即，
于是有，
取的中点为D，则，所以.
又点O是的外心，所以.
在中，.
所以的值为.
故答案为：.
12．答案：
解析：在平行四边形中，，，
根据初中知识知道，则，则，
又，则，则.
故答案为：.
13．答案：
解析：设，，，因为，均为单位向量，
所以四边形为菱形，且平分，
所以与的夹角为，则与的夹角为.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,,且A,B,C三点共线,
所以,所以,解得.
故答案为:
15．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）为的重心,连接CG并延长交AB于M,
则M为AB中点,且.
在中,为AB中点,,
得证.
（2）在中,.为AB中点,
.
为的重心,,
则在中,有,
得证.
（3）连结并延长AH和CH,取AB、BC的中点M、N,
连结OM和ON,因为点O为的外心,所以有,,
因为点H为的垂心,所以有,,
所以,,
而又,,,,
从而,,
而,,
同理,,,
因为,
所以
所以.
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