昆明市五华区 2025 届高三上学期期中教学质量检测
数学参考答案及评分标准
一、 二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B D D D C A C ABC ACD BD
三、填空题
3
12． 13． e2n 1 14．26
5
四、解答题
15．解：（1）由正弦定理得 sin Acos B sin Bcos A sinC sin B，
因为 sinC sin(A B) sin Acos B cos Asin B ，
所以 sin Acos B sin Bcos A sin Acos B sin Bcos A sin B，
1
化简得 2sin Bcos A sin B ，由 sin B 0得 cos A ，
2
π
又 A (0 , π) ，所以 A ． ····················································································· 6 分
3
π
（2）由 4 AB AC bccos 得b 4 ，
3
1 1 A 1 A
由 S△ABC S△ABD S△ACD 得 bcsin A AD csin AD bsin ，
2 2 2 2 2
4 3
解得 AD ． ··································································································· 13 分
3
16．解：（1）由题，结合勾股定理可得 AB A ， ，1 1B1 2 2 AC1 13 B1C 5 ， 1
所以 AB 2 A 2 2 ，故1 1B1 8 AA1 AB A B ，同理可得1 1 1 AB1 B ， 1C1
又 AB B C C ，所以 AB 平面A B C ． ·································································· 7 分 1 1 1 1 1 1 1 1
（2）取 AC 中点O， AC 中点 D ，从而有1 1 OD∥AA ， 1
又 BA BC ，所以OB OC，
又 AA1 平面ABC ，所以OD 平面ABC ．
综上可得，OD , OB , OC 两两垂直，如图建系O xyz．
数学参考答案及评分标准·第 1 页（共 4 页）
A(0 , 3 , 0) ， B (1, 0 , 2)，C (0 , 3 ,1)，1 C(0 , 3 , 0)， 1
AB1 (1 , 3 , 2)， B1C1 ( 1, 3 , 1)，CC1 (0 , 0 ,1) ．
设平面 AB C 法向量n (x , y , z ) ， 1 1 1 1 1 1
n1 AB由 1
0 ,
得平面 AB C 的一个法向量n1 (3 3 ,1 , 2 3) ， 1 1
n1 B1C1 0
同理可得平面 B 的一个法向量 n ( 3 ,1 , 0)， 1C1C 2
n n 10
设二面角 A B C C 的平面角为 ，则 1 2cos cos n ，
1 1 1,n2
n1 n2 4
6
所以二面角 A B C C 的正弦值为 ． ····································································· 15 分
1 1
4
17．解：
（1）设甲在第一阶段比赛中得 i 分的事件为 A ，在第二阶段比赛中得i j 分的事件为 B j ，
则甲参赛总分为 2 分的事件为 A1B1 A2B ， 0
其中 P(A ) C1
1 8 1 1 4
p(1 p) 2p(1 p)， P(A ) p2 ， P(B ) (1 )30 ， P(B1) C
1
3 ( )(1 )
2 ，
1 2 2
3 27 3 3 9
8 8
由独立性假设得 P(A1B1) P(A1) P(B1) p(1 p)， P(A
2
2B0 ) P(A2 ) P(B0 ) p ，
9 27
易知事件 A B 与 A B 互斥， 1 1 2 0
8 8 8
所以 P(A1B1 A2B0 ) P(A1B1) P(A2B0 ) p(1 p) p
2 (3p 2p2 ) ，
9 27 27
8 8 1
由已知得 (3p 2 p2 ) ，即 2p2 3p 1 0，解得 p 或 p 1（舍），
27 27 2
1
所以 p ． ·········································································································· 6 分
2
（2）总分 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，
1 1
第一阶段得分Y 服从二项分布 B(2, ) ，第二阶段得分 Z 服从二项分布 B(3, ) ， X Y Z ，
2 3
1 2 1 1 1 1 1 4 8P(X 0) (1 ) ， P(X 1) C2 (1 ) (1 )
3 ， P(X 2) ，
2 4 2 2 3 27 27
P(X 3) C1
1 1 1 1 1
(1 ) C2 ( )2 (1 ) ( )2 1
1 1 2
2 3 C3 (1 )
2 ，
2 2 3 3 2 3 3 9
1 1 1 1 1 1 1 2P(X 4) C2 (1 ) ( )
3 ( )2 C23 ( )
2 (1 ) ，
2 2 3 2 3 3 27
1 1 1
P(X 5) ( )2 ( )3 ， ······················································································ 12 分
2 3 108
数学参考答案及评分标准·第 2 页（共 4 页）
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
1 4 8 2 2 1
P
4 27 27 9 27 108
1 4 8 2 2 1 189 7
X 的数学期望 E(X ) 0 1 2 3 4 5 ． ···················· 15 分
4 27 27 9 27 108 108 4
1 1 c
18．解：（1）由已知得 ，因为 a 0，化简得 a2 2c2 ，
c a a(a c)
又因为 a2 b2 c2 1 c2 ，所以 a2 2 ， c2 1，
x2
所以C 的方程为 y2 1． ····················································································· 5 分
2
（2）（i）设 l 方程为 y kx m ， P(x1 , y1)，T (x2 , y ， 2 )
y kx m ,
联立方程 消去 y 并化简得 (1 2k
2 )x2 4kmx 2m2 2 0，
x2 2y
2 2 ,
16k 2m2 4(1 2k 2 )(2m2 2) 8(2k 2 1 m2 ) 0 ，
4km 2m
x1 x2 ， y1 y2 k(x1 x2 ) 2m ，
1 2k 2 1 2k 2
x x
由 E 为 PT 中点得 E( 1 2
y1 y2 2km m 1, )，即 E( , )，所以 k0 ，
2 2 1 2k 2 1 2k 2 2k
1
所以 k k0 ． ··································································································· 11 分
2
（ii）假设以 PQ为直径的圆恒过定点M ，则MP MQ 0 ，
由图形对称性知M 必在 x 轴上，设M (x , 0)， 0
因为直线 l 与C 相切，由（i）得 0，所以m2 1 2k 2，
2k 1 2k 1
故 xp ， yp kxp m ，所以 P( , ) ，Q(2 , 2k m) ，
m m m m
2k 2k 2k
由MP MQ x20 ( 2)x0 1 0 得 (x0 1)(x0 1) 0，
m m m
所以 x 1，即存在定点M (1, 0)，使得以 PQ为直径的圆恒过点M ． ······························· 17 分 0
x 0 3x
19． 解：（1）由题意可得 f (x) 3 x 0 x3 3x2 9x ． ················································ 4 分
1 1 x
（2）设切点 A (x , f (x ))， f (x) 3x2 6x 9，则切线斜率 k 3x 2 6x 9， n n n n n
故切线方程为 y (x3n 3x
2
n 9xn ) (3x
2 ，
n 6xn 9)(x xn )
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与 f (x) x3 3x2 9x联立可得 x3 3x2 9x (x3n 3x
2
n 9xn ) (3x
2
n 6xn 9)(x x ， n )
整理、因式分解可得 (x x )2 (x 2x ，所以 （舍）或n n 3) 0 x xn x 2x 3， n
故 x *n 1 2x 3（ n N），则 a 2a 3（ n N ），由 ，得n n 1 n x0 0 x1 3，则 a1 3，
又 a 1 2(a 1) ，则{a 1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， n 1 n n
故 a 1 ( 2)n ， a ( 2)n 1（ n *N ）． ········································································ 12 分 n n
1 x
（3）设 g(x) ln(x 1) x （ x 0），则 g (x) 1 0，
1 x 1 x
从而 g(x)在 (0, )单调递减，故 g(x) g(0) 0，即当 x 0时， ln(1 x) x ，
1 1 1
从而 ln(1 ) ，
a 1 a 1 2nn n
1 1 1 1 1 1 1
故 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 1 1． ························ 17 分
a1 1 a
1 2 n n
2 1 an 1 2 2 2 2
数学参考答案及评分标准·第 4 页（共 4 页）秘密★启用前
【考试时间：0月29日14：30一16：30】
6.己知圆台的母线长为4，高为、行，体积为77π，则圆的侧而积为
昆明市五华区2025屈高三1：学期期中教学质量检测
A.48元
B.24π
C.20π
D.10π
7.巴知4，B为直线1上的两个定点：月别=2，P为1上的动点.布平而直州坐标系中，F-3,),(3,0),
数学
以万为圆心，PA为半径作圆r；：以F为圆心，B:为米径作圆F2,则两园公共点的执迹乃程为
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自已的姓名、准考证号，考场号、座位号填写在答题卡上，并
82=1
线、2-。=1B.x.
认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号，座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
8.日知函数f(x)一nx和两点Al,0),(e.m),设山线V=f(x)过乐点的切线为1，F.lAB，则r所
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上
在的人致区间为
无效。
A.(-1,0)
B.0,1)
C.1.2)
D.2.3)
3.考试结束后，将答题卡交回。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题国要求。全
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
要求的。
9.己知函数f代x)=sinx+aco3r(>0)的最大值为N2,其部分图象1所示，则
1.设复数z在复平面内对应的点为Z(x,),共z-=,则
A.=月
4.(x--52-1
B.(x+1)2+y2=1
B。函数y=fx-开为偶附数
C.x2+(y-]2-I
TD.x2+(y+1)2=上
C.y=)0,刚上有4个零点，则13≤m<17
5n
2。已知4，名都为单位向虽，若e在6，上的投影向单为：，则e+e
D.当=0，孕时，函数y=巴的俏域为-1，网
coSx
A.√2
B.3
C.2
D.3
10.己知函数f(x)=x3-x+2〔：ER),则
3.在止方体ABCD-AB,C,D中，下列说法错误的是
A.f(2)1f2)=4·
B.若a>0,则网的极大值点为x-得
A.⊥4C
B.AD与BD所成角为
,若x)至少行两个零点，则之3
D.f(x作区刊〔-w,-4-1)上单调递增
11.啦物线C:2=4x的准线为，过焦点F的广线与C交丁A,B两点，分别过A,书作？的垂线，年足
C.D#平面BDC
D.机'而dCC所成角为号
分别为A”,B,讯△AF,△BF,入BF的面分别为S,3,S,则
4.在武行“乡村振兴”略的过程中，苯地大力发楼特色花卉
种业.某农户种柏种观资花卉，为了解花卉的长势，随
↑频率担
A.心A'BF为筑角三角形
B.S,的最小位为4
机测量了100枝花的肩度（单位：cm),得到花枝高度的频
88
C.,,成等差数列
少.8，心成等比数列
举分布自方图，图所示，则
A.样本花卉高度的极差不超过20cm
0.035
B.样本花并高度的中位数不小于众数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
C.样本化卉高度的平均致不小于巾位数
0
40455055606570高度/cm
卫.已知2号对aa学
D.样本花卉高发小于60cn的占比不通过70%
5,设等比数列{a}公比为g,则“g>1”是“{a}为递增数列”的
13.:正项数列{，}屮，ha1=血a。i2,且%4=e，则a.=
A.充要条件
乃、充分不必要条什
14.川川袋有标为1,2,3三张卡片，乙口袋中有际号为4,5,6,7的四业卡片、从两个1袋中
C.必要不充分条相
D.慨不允分不必哭条件
不放回地随机抽！张卡片，每个口袋至少抽一张，则扣到的三张片少有张标号为郸数的不
同抽法行却（用数字作答）.
数学试卷·第了页〔共4页)
数学试卷·第2《共4以)
