第三章 圆锥曲线的方程章末检测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程章末检测试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 294.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-04 08:43:22 | ||
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文档简介
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第三章 圆锥曲线的方程章末检测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（ ）
A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1
2.双曲线C:的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则
△PFO的面积为( )
A. B. C. D.
3.过抛物线y2=2px((p>0)的焦点F作直线交抛物线于M，N两点（M，N的横坐标不相等），弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=40，则|HF|=（ ）
A．18 B．20 C．16 D．14
4.如图,椭圆上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1
的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A.8 B.4 C.2 D.
如图，“天宫五号”的运行轨道是以地心（地球的中心）F为其中一个焦
点的椭圆．已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点
B（离地面最远的距离）距离地面n千米，并且F，A，B在同一条直线上，
地球的半径为R千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A．2mn B．
C．mn D．2
6.设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线C：(m>0)，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．(1,) B．(1,2) C．(,+∞) D．(2,+∞)
8.已知抛物线y2=4x的焦点为F，A(-1,0)，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，|PF|=（ ）
A．2 B．4 C． D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为(0,2) B．开口向上，焦点为(0,)
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y=-4
10.已知P是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为F1,F2，且cos∠F1PF2=，则（ ）
A．△F1PF2的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为 D．
11.设F1,F2同时为椭圆C1:(a>b>0)与双曲线C2:(a1>0,b1>0)的左右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,O为坐标原点，若（ ）
A．|F1F2|=2|MO|，则 B．|F1F2|=2|MO|，则
C．|F1F2|=4|MF2|，则e1e2的取值范围是().
D．|F1F2|=4|MF2|，则e1e2的取值范围是(,2).
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.与双曲线有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 .
13.抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为________米.
14.设B是椭圆C：(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是 .
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点.
⑴若|AB|＝10，求实数m的值；
⑵若OA⊥OB，求实数m的值．
16.（本题满分15分）
已知椭圆椭圆C:(a>b>0)的焦距为，离心率为.
⑴求椭圆C的标准方程；
⑵若点A(0,1)，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值．
17.（本题满分15分）
乡村振兴亮化工程，某村在街道统一安装了一种节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成.在如图所示的平面直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过焦点F且与路面垂直，其中B为抛物线的顶点,DH表示道路路面，BF∥DH,A为锥形灯罩的顶，
灯罩的轴线与抛物线在A处的切线垂直.安装时，要求锥形灯罩的顶
到灯柱所在直线的距离是1.5m，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线.
⑴求灯罩轴线所在直线的方程；
⑵若路宽为10m，求灯柱的高.
18.（本题满分17分）
已知椭圆C:的右顶点为A，上、下顶点分别是B1，B2.
⑴求△AB1B2外接圆的标准方程；
⑵若点P是椭圆C第一象限上的点，直线B1P与x轴的交点为Q，直线B2A与直线B1P的交点为R.若△APR与△APQ的面积的比值为，求直线B1P的方程.
19.（本题满分17分）
已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
⑴求C的方程；
⑵记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（ ）
A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1
【答案】A
【解析】由题意，长轴2a=18,a=9，长轴三等分后2c=6,c=3，
∴b2=a2-c2=81-3=72，
则该椭圆的标准方程是＝1,故选A.
2.双曲线C:的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则
△PFO的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线的方程:,可得一条渐近线方程为y=x;
在△PFO中|PO|=|PF|,过点P作PH⊥OF.
∵tan∠POF=， OF=,OH=OF,∴PH=.
∴S△PFO= ， 故选D．
3.过抛物线y2=2px((p>0)的焦点F作直线交抛物线于M，N两点（M，N的横坐标不相等），弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=40，则|HF|=（ ）
A．18 B．20 C．16 D．14
【答案】B
【解析】设，，弦的中点为，，
则，∴，
∴，
则，
∴弦的垂直平分线为．
令，则，所以．
又，
∴．故选B.
4.如图,椭圆上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1
的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A.8 B.4 C.2 D.
【答案】B
【解析】∵O为F1F2的中点,N为MF1的中点, ∴ON∥MF2且|ON|=|MF2|.
∵|MF1|+|MF2|=2a=10,∴|MF2|=10-|MF1|=10-2=8,∴|ON|=4.
故选B.
5.如图，“天宫五号”的运行轨道是以地心（地球的中心）F为其中一个焦
点的椭圆．已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点
B（离地面最远的距离）距离地面n千米，并且F，A，B在同一条直线上，
地球的半径为R千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A．2mn B．
C．mn D．2
【答案】D
【解析】由题设条件可得，，
设椭圆的半长轴长为，半焦距为，则，，
∴短半轴长为，
∴短轴长为.故选D．
6.设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a.
又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a,
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角,等于30°,
∴|PF2|2=|PF1|2+|F2F1|2-2|PF1||F2F1|cos 30°,
∴(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a×2c×, 化为e2-2e+3=0,
解得e=.故选C.
7.已知双曲线C：(m>0)，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．(1,) B．(1,2) C．(,+∞) D．(2,+∞)
【答案】C
【解析】双曲线(m>0)的离心率为，
∵m>0，∴，
即C的离心率的取值范围为(,+∞).故选C.
8.已知抛物线y2=4x的焦点为F，A(-1,0)，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，|PF|=（ ）
A．2 B．4 C． D．1
【答案】A
【解析】由题知，抛物线的准线方程为x=-1，A(-1,0)，过P作PQ垂直于准线于Q，连接PA，由抛物线定义知|PQ|=|PF|.
∴,
由正弦函数知，要使最小值，即∠PAQ最小，即∠PAF最大，即直线PA斜率最大，即直线PA与抛物线相切.
设PA所在的直线方程为y=k(x+1)，联立抛物线方程
，整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
则 =(2k2-4)2-4k4=0，解得k=±1,
即x2-2x+1=0，解得x=1，代入y2=4x得y=±2,
∴P(1,2)或P(1,-2)，再利用焦半径公式得|PF|=2.
故选A.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为(0,2) B．开口向上，焦点为(0,)
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y=-4
【答案】AC
【解析】由抛物线，即x2=8y，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为(0,2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y=-2．故选AC.
10.已知P是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为F1,F2，且cos∠F1PF2=，则（ ）
A．△F1PF2的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为 D．
【答案】BCD
【解析】∵|PF1|+|PF2|=2a=6,c=, ∴=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6+2,选项A错误；
∵|PF1|+|PF2|=6, ,
∴36-20=2|PF1|·|PF2|+|PF1|·|PF2|,∴|PF1|·|PF2|=6.
而,
∴|PF1|·|PF2|=,选项B正确；
设点P到x轴的距离为d，则,,选项C正确；
∵,选项D正确.
故选BCD.
11.设F1,F2同时为椭圆C1:(a>b>0)与双曲线C2:(a1>0,b1>0)的左右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,O为坐标原点，若（ ）
A．|F1F2|=2|MO|，则 B．|F1F2|=2|MO|，则
C．|F1F2|=4|MF2|，则e1e2的取值范围是().
D．|F1F2|=4|MF2|，则e1e2的取值范围是(,2).
【答案】BD
【解析】如图，设|MF1|=m,|MF2|=n，焦距为2c，由椭圆定义可得m+n=2a，由双曲线定义可得m-n=2a1，解得m=a+a1，n=a-a1，
当|F1F2|=2|MO|时，则∠F1MF2=90°，所以m2+n2=4c2，
即，由离心率的公式可得，故正确.
当|F1F2|=4|MF2|时，可得n=，即a-a1=，可得，
由0可设2+e2=t(3由在(3,4)上单调递增，可得f(t)∈(,1)，则e1e2∈(,2)，故正确.
故选BD.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.与双曲线有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 .
【答案】.
【解析】依题意设双曲线的方程为λ(λ≠0),
将点(2,2)代入求得λ=3,
所以所求双曲线的标准方程为.
13.抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为________米.
【答案】.
【解析】根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为x2=-2py((p>0)，
∵顶点距水面2米时，水面宽8米，所以D(4,-2)，
代入方程得p=4，∴x2=-8y
当水面上升1米后，即y=-1，
代入方程得x2=8,x=,
所以水面的宽是米
14.设B是椭圆C：(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率e的取值范围是 .
【答案】(0,]
【解析】方法1：依题意，B(0，b)，设P(a cos θ，b sin θ)，θ∈[0，2π)，∵PB|≤2b，∴对任意θ∈[0，2π)，(a cos θ)2＋(b sin θ－b)2≤4b2恒成立，即( a2－b2)sin2θ＋2b2sinθ＋3b2－a2≥0对任意θ∈[0，2π)恒成立．令sin θ＝t，t∈[－1，1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，则原问题转化为对任意t∈[－1，1]，恒有f(t)≥0成立．因为f(－1)＝0，所以只需－≤－1即可，所以2b2≥a2，则离心率e＝ ≤，则C的离心率e的取值范围是(0,].
方法2：依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得x＝a2－y，则|PB|2＝x＋(y0－b)2＝x＋y－2by0＋b2＝－y－2by0＋a2＋b2≤4b2.
∵当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，∴－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤，
则C的离心率e的取值范围是(0,].
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点.
⑴若|AB|＝10，求实数m的值；
⑵若OA⊥OB，求实数m的值．
【答案】⑴; ⑵-8.
【解析】由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
⑴∵|AB|＝＝·＝10，
∴m＝，经检验符合题意.
⑵∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去)．
∴m＝－8，经检验符合题意．
16.已知椭圆椭圆C:(a>b>0)的焦距为，离心率为.
⑴求椭圆C的标准方程；
⑵若点A(0,1)，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值．
【答案】⑴; ⑵.
【解析】⑴依题意，得2c=,c=，离心率,a=2，
∴，
∴椭圆C的标准方程为.
⑵设B(x0,y0），则，则有.
∴，
由两点间的距离公式，得
，
∵，
∴当时，线段AB的长度最大，最大长度为.
17.乡村振兴亮化工程，某村在街道统一安装了一种节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成.在如图所示的平面直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过焦点F且与路面垂直，其中B为抛物线的顶点,DH表示道路路面，BF∥DH,A为锥形灯罩的顶，
灯罩的轴线与抛物线在A处的切线垂直.安装时，要求锥形灯罩的顶
到灯柱所在直线的距离是1.5m，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线.
⑴求灯罩轴线所在直线的方程；
⑵若路宽为10m，求灯柱的高.
【答案】⑴y=-2x+6；⑵6m.
【解析】⑴由题意知，|BF|=，|CF|=1,，
把xA=2代入y2=2x，得yA=2,则A(2,2),
设抛物线在点A处的切线方程为y-2=k(x-2),
与抛物线y2=2x联立并消去x，得ky2-2y+4-4k=0,
则Δ＝4-4k(4-4k)=0,解得k=,
∴灯罩轴线所在直线的斜率为-2，其方程为y-2=-2(x-2),即y=-2x+6.
⑵由|DH|=10，∵灯罩的轴线正好通过道路路面的中线，
∴灯罩的轴线与道路路面的交点到y轴的距离为+5=，
则对于y=-2x+6，当x=时，y=-5,从而|FD|=5,
∴|CD|=|FD|+|CF|=5+1=6,
则灯柱的高为6m.
18.已知椭圆C:的右顶点为A，上，下顶点分别是B1，B2.
⑴求△AB1B2外接圆的标准方程；
⑵若点P是椭圆C第一象限上的点，直线B1P与x轴的交点为Q，直线B2A与直线B1P的交点为R.若△APR与△APQ的面积的比值为，求直线B1P的方程.
【答案】⑴; ⑵x+4y-4=0.
【解析】⑴易知A(2,0)，B1(0,1)，B2(0,-1).
根据对称性可知△AB1B2外接圆的圆心在x轴上，设为D(m,0)，连接DB1，
则有|DA|=|DB1|，即，
解得，
设△AB1B2外接圆的半径为R，则R2=m2+1=，
∴△AB1B2外接圆的标准方程是.
⑵设P，R的纵坐标分别为y1，y2，Q(t,0)，t>2，
则直线B1Q的方程为，①
与联立，消去x，整理得(t2+4)y2-2t2y+t2-4=0，
∴.
易知直线B2A的方程为，②
①②联立可得.
由题意知，∴，从而，
∴，解得或(舍去).
此时直线B1P的方程为，即x+4y-4=0.
19.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
⑴求C的方程；
⑵记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．
【答案】⑴； ⑵证明详见解析，点P在定直线x＝－1上．
【解析】⑴设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得，解得.
∴双曲线C的方程为.
⑵方法1: 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4.
联立得，得(4m2－1)y2－32my＋48＝0.
∵直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0.
由根与系数的关系得，∴y1＋y2＝y1y2.
∵A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
∴A1(－2，0)，A2(2，0).
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，
∴＝，得＝，＝＝.
∵＝
＝
＝＝－3，
∴＝－3，解得x＝－1，
∴点P在定直线x＝－1上．
方法2: 由题意得A1(－2，0)，A2(2，0).
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则－＝1，即4x－y＝16.
如图，连接MA2，
kMA1·kMA2＝·＝＝＝4 ①.
由－＝1，得4x2－y2＝16，4[(x－2)＋2]2－y2＝16，
4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.
由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6，[my－(x－2)]＝1.
4(x－2)2＋16(x－2)·[my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋(x－2)my－(x－2)2－y2＝0，
两边同时除以(x－2)2，得，
即.
kMA2＝，kNA2＝，
由根与系数的关系得kMA2·kNA2＝－ ②.
由①②可得kMA1＝－3kNA2.
lMA1：y＝kMA1(x＋2)＝－3kNA2(x＋2)，lNA2：y＝kNA2(x－2).
由，解得x＝－1.
∴点P在定直线x＝－1上．
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第三章 圆锥曲线的方程章末检测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（ ）
A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1
2.双曲线C:的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则
△PFO的面积为( )
A. B. C. D.
3.过抛物线y2=2px((p>0)的焦点F作直线交抛物线于M，N两点（M，N的横坐标不相等），弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=40，则|HF|=（ ）
A．18 B．20 C．16 D．14
4.如图,椭圆上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1
的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A.8 B.4 C.2 D.
如图，“天宫五号”的运行轨道是以地心（地球的中心）F为其中一个焦
点的椭圆．已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点
B（离地面最远的距离）距离地面n千米，并且F，A，B在同一条直线上，
地球的半径为R千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A．2mn B．
C．mn D．2
6.设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线C：(m>0)，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．(1,) B．(1,2) C．(,+∞) D．(2,+∞)
8.已知抛物线y2=4x的焦点为F，A(-1,0)，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，|PF|=（ ）
A．2 B．4 C． D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为(0,2) B．开口向上，焦点为(0,)
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y=-4
10.已知P是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为F1,F2，且cos∠F1PF2=，则（ ）
A．△F1PF2的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为 D．
11.设F1,F2同时为椭圆C1:(a>b>0)与双曲线C2:(a1>0,b1>0)的左右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,O为坐标原点，若（ ）
A．|F1F2|=2|MO|，则 B．|F1F2|=2|MO|，则
C．|F1F2|=4|MF2|，则e1e2的取值范围是().
D．|F1F2|=4|MF2|，则e1e2的取值范围是(,2).
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.与双曲线有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 .
13.抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为________米.
14.设B是椭圆C：(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是 .
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点.
⑴若|AB|＝10，求实数m的值；
⑵若OA⊥OB，求实数m的值．
16.（本题满分15分）
已知椭圆椭圆C:(a>b>0)的焦距为，离心率为.
⑴求椭圆C的标准方程；
⑵若点A(0,1)，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值．
17.（本题满分15分）
乡村振兴亮化工程，某村在街道统一安装了一种节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成.在如图所示的平面直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过焦点F且与路面垂直，其中B为抛物线的顶点,DH表示道路路面，BF∥DH,A为锥形灯罩的顶，
灯罩的轴线与抛物线在A处的切线垂直.安装时，要求锥形灯罩的顶
到灯柱所在直线的距离是1.5m，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线.
⑴求灯罩轴线所在直线的方程；
⑵若路宽为10m，求灯柱的高.
18.（本题满分17分）
已知椭圆C:的右顶点为A，上、下顶点分别是B1，B2.
⑴求△AB1B2外接圆的标准方程；
⑵若点P是椭圆C第一象限上的点，直线B1P与x轴的交点为Q，直线B2A与直线B1P的交点为R.若△APR与△APQ的面积的比值为，求直线B1P的方程.
19.（本题满分17分）
已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
⑴求C的方程；
⑵记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（ ）
A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1
【答案】A
【解析】由题意，长轴2a=18,a=9，长轴三等分后2c=6,c=3，
∴b2=a2-c2=81-3=72，
则该椭圆的标准方程是＝1,故选A.
2.双曲线C:的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则
△PFO的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线的方程:,可得一条渐近线方程为y=x;
在△PFO中|PO|=|PF|,过点P作PH⊥OF.
∵tan∠POF=， OF=,OH=OF,∴PH=.
∴S△PFO= ， 故选D．
3.过抛物线y2=2px((p>0)的焦点F作直线交抛物线于M，N两点（M，N的横坐标不相等），弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=40，则|HF|=（ ）
A．18 B．20 C．16 D．14
【答案】B
【解析】设，，弦的中点为，，
则，∴，
∴，
则，
∴弦的垂直平分线为．
令，则，所以．
又，
∴．故选B.
4.如图,椭圆上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1
的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A.8 B.4 C.2 D.
【答案】B
【解析】∵O为F1F2的中点,N为MF1的中点, ∴ON∥MF2且|ON|=|MF2|.
∵|MF1|+|MF2|=2a=10,∴|MF2|=10-|MF1|=10-2=8,∴|ON|=4.
故选B.
5.如图，“天宫五号”的运行轨道是以地心（地球的中心）F为其中一个焦
点的椭圆．已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点
B（离地面最远的距离）距离地面n千米，并且F，A，B在同一条直线上，
地球的半径为R千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A．2mn B．
C．mn D．2
【答案】D
【解析】由题设条件可得，，
设椭圆的半长轴长为，半焦距为，则，，
∴短半轴长为，
∴短轴长为.故选D．
6.设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a.
又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a,
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角,等于30°,
∴|PF2|2=|PF1|2+|F2F1|2-2|PF1||F2F1|cos 30°,
∴(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a×2c×, 化为e2-2e+3=0,
解得e=.故选C.
7.已知双曲线C：(m>0)，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．(1,) B．(1,2) C．(,+∞) D．(2,+∞)
【答案】C
【解析】双曲线(m>0)的离心率为，
∵m>0，∴，
即C的离心率的取值范围为(,+∞).故选C.
8.已知抛物线y2=4x的焦点为F，A(-1,0)，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，|PF|=（ ）
A．2 B．4 C． D．1
【答案】A
【解析】由题知，抛物线的准线方程为x=-1，A(-1,0)，过P作PQ垂直于准线于Q，连接PA，由抛物线定义知|PQ|=|PF|.
∴,
由正弦函数知，要使最小值，即∠PAQ最小，即∠PAF最大，即直线PA斜率最大，即直线PA与抛物线相切.
设PA所在的直线方程为y=k(x+1)，联立抛物线方程
，整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
则 =(2k2-4)2-4k4=0，解得k=±1,
即x2-2x+1=0，解得x=1，代入y2=4x得y=±2,
∴P(1,2)或P(1,-2)，再利用焦半径公式得|PF|=2.
故选A.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为(0,2) B．开口向上，焦点为(0,)
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y=-4
【答案】AC
【解析】由抛物线，即x2=8y，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为(0,2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y=-2．故选AC.
10.已知P是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为F1,F2，且cos∠F1PF2=，则（ ）
A．△F1PF2的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为 D．
【答案】BCD
【解析】∵|PF1|+|PF2|=2a=6,c=, ∴=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6+2,选项A错误；
∵|PF1|+|PF2|=6, ,
∴36-20=2|PF1|·|PF2|+|PF1|·|PF2|,∴|PF1|·|PF2|=6.
而,
∴|PF1|·|PF2|=,选项B正确；
设点P到x轴的距离为d，则,,选项C正确；
∵,选项D正确.
故选BCD.
11.设F1,F2同时为椭圆C1:(a>b>0)与双曲线C2:(a1>0,b1>0)的左右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,O为坐标原点，若（ ）
A．|F1F2|=2|MO|，则 B．|F1F2|=2|MO|，则
C．|F1F2|=4|MF2|，则e1e2的取值范围是().
D．|F1F2|=4|MF2|，则e1e2的取值范围是(,2).
【答案】BD
【解析】如图，设|MF1|=m,|MF2|=n，焦距为2c，由椭圆定义可得m+n=2a，由双曲线定义可得m-n=2a1，解得m=a+a1，n=a-a1，
当|F1F2|=2|MO|时，则∠F1MF2=90°，所以m2+n2=4c2，
即，由离心率的公式可得，故正确.
当|F1F2|=4|MF2|时，可得n=，即a-a1=，可得，
由0
故选BD.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.与双曲线有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 .
【答案】.
【解析】依题意设双曲线的方程为λ(λ≠0),
将点(2,2)代入求得λ=3,
所以所求双曲线的标准方程为.
13.抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为________米.
【答案】.
【解析】根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为x2=-2py((p>0)，
∵顶点距水面2米时，水面宽8米，所以D(4,-2)，
代入方程得p=4，∴x2=-8y
当水面上升1米后，即y=-1，
代入方程得x2=8,x=,
所以水面的宽是米
14.设B是椭圆C：(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率e的取值范围是 .
【答案】(0,]
【解析】方法1：依题意，B(0，b)，设P(a cos θ，b sin θ)，θ∈[0，2π)，∵PB|≤2b，∴对任意θ∈[0，2π)，(a cos θ)2＋(b sin θ－b)2≤4b2恒成立，即( a2－b2)sin2θ＋2b2sinθ＋3b2－a2≥0对任意θ∈[0，2π)恒成立．令sin θ＝t，t∈[－1，1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，则原问题转化为对任意t∈[－1，1]，恒有f(t)≥0成立．因为f(－1)＝0，所以只需－≤－1即可，所以2b2≥a2，则离心率e＝ ≤，则C的离心率e的取值范围是(0,].
方法2：依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得x＝a2－y，则|PB|2＝x＋(y0－b)2＝x＋y－2by0＋b2＝－y－2by0＋a2＋b2≤4b2.
∵当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，∴－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤，
则C的离心率e的取值范围是(0,].
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点.
⑴若|AB|＝10，求实数m的值；
⑵若OA⊥OB，求实数m的值．
【答案】⑴; ⑵-8.
【解析】由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
⑴∵|AB|＝＝·＝10，
∴m＝，经检验符合题意.
⑵∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去)．
∴m＝－8，经检验符合题意．
16.已知椭圆椭圆C:(a>b>0)的焦距为，离心率为.
⑴求椭圆C的标准方程；
⑵若点A(0,1)，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值．
【答案】⑴; ⑵.
【解析】⑴依题意，得2c=,c=，离心率,a=2，
∴，
∴椭圆C的标准方程为.
⑵设B(x0,y0），则，则有.
∴，
由两点间的距离公式，得
，
∵，
∴当时，线段AB的长度最大，最大长度为.
17.乡村振兴亮化工程，某村在街道统一安装了一种节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成.在如图所示的平面直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过焦点F且与路面垂直，其中B为抛物线的顶点,DH表示道路路面，BF∥DH,A为锥形灯罩的顶，
灯罩的轴线与抛物线在A处的切线垂直.安装时，要求锥形灯罩的顶
到灯柱所在直线的距离是1.5m，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线.
⑴求灯罩轴线所在直线的方程；
⑵若路宽为10m，求灯柱的高.
【答案】⑴y=-2x+6；⑵6m.
【解析】⑴由题意知，|BF|=，|CF|=1,，
把xA=2代入y2=2x，得yA=2,则A(2,2),
设抛物线在点A处的切线方程为y-2=k(x-2),
与抛物线y2=2x联立并消去x，得ky2-2y+4-4k=0,
则Δ＝4-4k(4-4k)=0,解得k=,
∴灯罩轴线所在直线的斜率为-2，其方程为y-2=-2(x-2),即y=-2x+6.
⑵由|DH|=10，∵灯罩的轴线正好通过道路路面的中线，
∴灯罩的轴线与道路路面的交点到y轴的距离为+5=，
则对于y=-2x+6，当x=时，y=-5,从而|FD|=5,
∴|CD|=|FD|+|CF|=5+1=6,
则灯柱的高为6m.
18.已知椭圆C:的右顶点为A，上，下顶点分别是B1，B2.
⑴求△AB1B2外接圆的标准方程；
⑵若点P是椭圆C第一象限上的点，直线B1P与x轴的交点为Q，直线B2A与直线B1P的交点为R.若△APR与△APQ的面积的比值为，求直线B1P的方程.
【答案】⑴; ⑵x+4y-4=0.
【解析】⑴易知A(2,0)，B1(0,1)，B2(0,-1).
根据对称性可知△AB1B2外接圆的圆心在x轴上，设为D(m,0)，连接DB1，
则有|DA|=|DB1|，即，
解得，
设△AB1B2外接圆的半径为R，则R2=m2+1=，
∴△AB1B2外接圆的标准方程是.
⑵设P，R的纵坐标分别为y1，y2，Q(t,0)，t>2，
则直线B1Q的方程为，①
与联立，消去x，整理得(t2+4)y2-2t2y+t2-4=0，
∴.
易知直线B2A的方程为，②
①②联立可得.
由题意知，∴，从而，
∴，解得或(舍去).
此时直线B1P的方程为，即x+4y-4=0.
19.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
⑴求C的方程；
⑵记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．
【答案】⑴； ⑵证明详见解析，点P在定直线x＝－1上．
【解析】⑴设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得，解得.
∴双曲线C的方程为.
⑵方法1: 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4.
联立得，得(4m2－1)y2－32my＋48＝0.
∵直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0.
由根与系数的关系得，∴y1＋y2＝y1y2.
∵A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
∴A1(－2，0)，A2(2，0).
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，
∴＝，得＝，＝＝.
∵＝
＝
＝＝－3，
∴＝－3，解得x＝－1，
∴点P在定直线x＝－1上．
方法2: 由题意得A1(－2，0)，A2(2，0).
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则－＝1，即4x－y＝16.
如图，连接MA2，
kMA1·kMA2＝·＝＝＝4 ①.
由－＝1，得4x2－y2＝16，4[(x－2)＋2]2－y2＝16，
4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.
由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6，[my－(x－2)]＝1.
4(x－2)2＋16(x－2)·[my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋(x－2)my－(x－2)2－y2＝0，
两边同时除以(x－2)2，得，
即.
kMA2＝，kNA2＝，
由根与系数的关系得kMA2·kNA2＝－ ②.
由①②可得kMA1＝－3kNA2.
lMA1：y＝kMA1(x＋2)＝－3kNA2(x＋2)，lNA2：y＝kNA2(x－2).
由，解得x＝－1.
∴点P在定直线x＝－1上．
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