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《乘法公式》同步提升训练题
一．选择题（共20小题）
1．下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+1）（﹣a+1） B．（a+b）（b﹣a）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣b）
【思路点拔】根据平方差公式、完全平方公式分别计算判断即可．
【解答】解：A、（a+1）（﹣a+1）＝（1+a）（1﹣a）＝1﹣a2，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（a+b）（b﹣a）＝（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2＝﹣a2+2ab﹣b2，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，下列代数式中，表示图形面积错误的是（ ）
A．（x+1）2﹣12 B．（x+1）2﹣x2 C．x（x+2） D．x（x+1）+x
【思路点拔】利用完全平方公式，单项式乘多项式计算．
【解答】解：根据题意可得图形面积为：
（x+1）2﹣12＝x（x+2）＝x（x+1）+x，
所以选项ACD正确，不符合题意，只有B选项符合题意．
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3
B．2ab﹣3ba＝﹣ab
C．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝﹣a2+b2
D．（﹣a3）4＝﹣a12
【思路点拔】利用同底数幂除法法则，合并同类项法则，平方差公式，幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a6÷a＝a5，则A不符合题意；
2ab﹣3ba＝﹣ab，则B符合题意；
（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2，则C不符合题意；
（﹣a3）4＝﹣a12，则D不符合题意；
故选：B．
4．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部，得到图①，将A，B并列放置后构成新的正方形，得到图②．若图①阴影面积为3，正方形A，B的面积之和为11，则图②阴影面积是（ ）
A．8 B．9 C．12 D．15
【思路点拔】设正方形A、B的边长分别是a、b，则正方形A，B的面积之和是a2+b2．根据题意，图①中阴影部分的图形是正方形，边长为（a﹣b），图②中新正方形的边长为（a+b），根据完全平方公式求出2ab即可求解即可．
【解答】解：设正方形A、B的边长分别是a、b，则正方形A，B的面积之和是a2+b2．
根据题意，图①中阴影部分的图形是正方形，边长为（a﹣b），图②中新正方形的边长为（a+b），
∵图①阴影面积为3，正方形A，B的面积之和为11，
∴，
∴，
∴（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝8，
∴图②阴影面积是8．
故选：A．
5．若要使4x2+mx+16成为完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．﹣8 B．±8 C．﹣16 D．±16
【思路点拔】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵4x2+mx+16成为完全平方式，
∴m＝±16，
故选：D．
6．下列算式能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（4x+1）（﹣4x﹣1）
C．（2x﹣y）（y+2x） D．（﹣x+y）（﹣y﹣x）
【思路点拔】根据平方差公式、完全平方公式的特征，逐项判断即可求解．
【解答】解：（2a+b）（2b﹣a）中各项不相同，不能用完全平方公式计算，则A不符合题意；
（4x+1）（﹣4x﹣1）＝﹣（4x+1）2，能用完全平方公式计算，则B符合题意；
（2x﹣y）（y+2x）中既含有相同项，也含有相反项，不能用完全平方公式计算，则C不符合题意；
（﹣x+y）（﹣y﹣x）中既含有相同项，也含有相反项，不能用完全平方公式计算，则D不符合题意；
故选：B．
7．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝12，ab＝28，那么阴影部分的面积是（ ）
A．40 B．44 C．32 D．50
【思路点拔】从题干可知，求阴影部分面积，知道两正方形边长，由此可用两正方形的面积减去正两方形内白色部分的面积加上小正方形上面的阴影的面积，
即可求得阴影部分的面积，对所得结果利用完全平方公式进行化简，代入a+b＝12，ab＝28即可求解．
【解答】解：∵两个正方形面积为：a2+b2，
空白部分的面积为：a×a+b×aa2，
小正方形上阴影部分的面积：（a﹣b）×babb2
∴阴影部分面积为：a2+b2a2abb2
b2
（a+b）2﹣ab
∵a+b＝12，ab＝28，
∴（a+b）2﹣ab122﹣28＝72﹣28＝44．
故选：B．
8．若a、b是某长方形的长和宽，且有（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，则该长方形面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】将所给两个式子作差可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，即可求长方形面积．
【解答】解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，
∴ab＝3，
∴长方形的面积为3，
故选：A．
9．已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（ ）
A．8 B．20 C．4 D．16
【思路点拔】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
∴12﹣4×2＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝4，
故选：C．
10．如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（ ）
A．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2
C．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 D．（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn
【思路点拔】图乙中求边长为（m﹣n）的正方形的面积得到数学公式．
【解答】解：中间阴影部分正方形面积：（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2．
故选：C．
11．设 a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023．若 a2+b2＝16，则 c2 的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】由a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023，可得a﹣1＝c＝b+1，a﹣b＝2，根据完全平方公式求出ab的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023，
∴a﹣1＝x﹣2023＝c＝b+1，a﹣b＝2，
∵a2+b2＝16，
∴（a﹣b）2+2ab＝16，
∴ab＝6，
∴c2＝（a﹣1）（b+1）
＝ab+a﹣b﹣1
＝6+2﹣1
＝7，
故选：C．
12．王大爷改建一个边长为x（x＞3）米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（ ）
A．面积减少3m2 B．面积减少9m2
C．面积增加3m2 D．面积增加9m2
【思路点拔】求出变化前后面积差即可．
【解答】解：变化前正方形的面积为x2平方米，
变化后的长为（x+3）米，宽为（x﹣3）米，因此面积为（x+3）（x﹣3）＝（x2﹣9）平方米，
所以变化后面积减少9平方米，
故选：B．
13．如果x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣5或7 D．﹣5或5
【思路点拔】根据完全平方式的特点得出（m﹣1）x＝±2 x 3，再求出即可．
【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴（m﹣1）x＝±2 x 3，
∴m﹣1＝±6，
∴m＝﹣5或7，
故选：C．
14．若（2x+3y）2＝（2x﹣3y）2+（ ）成立，则括号内的式子等于（ ）
A．24xy B．12xy C．6xy D．4xy
【思路点拔】利用完全平方公式展开 （2x+3y）2﹣（2x﹣3y）2即可得到答案．
【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x﹣3y）2
＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣12xy+9y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+12xy﹣9y2
＝24xy．
故选：A．
15．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2
【思路点拔】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
16．用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（ ）
A．（2a）2＝4a2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．2a（2a+b）＝4a2+2ab
【思路点拔】用代数式表示整体长方形的面积，再用代数式表示4个组成部分的面积和即可．
【解答】解：整体是长为2a，宽为a+b的长方形，因此面积为2a（a+b），
这个长方形是由4个部分组成的，这4个部分的面积和为2a2+2ab，
所以有2a（a+b）＝2a2+2ab，
故选：C．
17．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1
【思路点拔】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴m﹣3＝±4，
解得：m＝7或﹣1，
故选：D．
18．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
【思路点拔】由图1可知剩余部分的面积，由图2可求长方形的面积，两部分面积相等即可求解．
【解答】解：由图1可知剩余部分的面积＝a2﹣b2，
由图2可求长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
19．多项式9x2+25y2加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，那么加上的单项式为（ ）
A．30xy B．﹣30xy C．±30xy D．±15xy
【思路点拔】本题主要根据完全平方式的特点解决．
【解答】解：∵多项式9x2+25y2加上一个单项式A后，使它成为一个整式的平方，
∴9x2+25y2+A是完全平方式．
∴A＝±2×3x 5y＝±30xy．
故选：C．
20．有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与30，则正方形B的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积，整体代入即可得出b2，即正方形B的面积．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得，a（a+b）﹣a2﹣b2＝12，（a+b）2﹣a2﹣b2＝30，
即ab﹣b2＝12，ab＝15，
∴b2＝15﹣12＝3，
即正方形B的面积为3，
故选：A．
二．填空题（共18小题）
21．若m+n＝8，mn＝15，则m2+mn+n2＝ 49 ．
【思路点拔】利用完全平方公式将m2+mn+n2整理成（m+n）2﹣mn，再把m+n＝8，mn＝15整体代入即可求解．
【解答】解：∵m2+mn+n2＝（m+n）2﹣mn，
∴当m+n＝8，mn＝15时，原式＝82﹣15＝49．
故答案为：49．
22．如果多项式x2﹣kx+16是完全平方式，则常数k的值为 ±8 ．
【思路点拔】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．
【解答】解：∵x2﹣kx+16是完全平方式，
∴x2﹣kx+16＝（x±4）2，
∴x2﹣kx+16＝x2±8x+16，
∴﹣k＝±8，
∴k＝±8，
故答案为：±8．
23．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为 （6a+15） cm2．
【思路点拔】分析题意，先求边长为（a+4）的大正方形的面积；再求边长为（a+1）的小正方形的面积；然后用大正方形的面积减去小正方形的面积计算即可．
【解答】解：根据题意得矩形的面积为：
（a+4）2﹣（a+1）2
＝（a2+8a+16）﹣（a2+2a+1）
＝a2+8a+16﹣a2﹣2a﹣1
＝（6a+15）cm2．
故答案为：（6a+15）．
24．已知x+y＝5，xy＝3，则x2+5xy+y2＝ 34 ．
【思路点拔】直接将原式配方变形，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵xy＝3，x+y＝5，
∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝25+9＝34，
故答案为：34．
25．设（1+x）2（2﹣x）＝a+bx+cx2+dx3，则b+d＝ 2 ．
【思路点拔】先根据完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2和多项式乘多项式的乘法法则求解，再根据题意，得出等号两边相同项的系数相等，由此得出b，d的值，最后代入b+d即可得到答案．
【解答】解：∵（1+x）2（2﹣x）
＝（1+2x+x2）（2﹣x）
＝2+4x+2x2﹣x﹣2x2﹣x3
＝﹣x3+3x+2，
（1+x）2（2﹣x）＝a+bx+cx2+dx3，
即﹣x3+3x+2＝a+bx+cx2+dx3，
∴a＝2，b＝3，c＝0，d＝﹣1，
∴b+d＝3+（﹣1）＝2，
故答案为：2．
26．如果关于x的整式x2﹣（m﹣2）x+9是某个整式的平方，那么m的值是 8或﹣4 ．
【思路点拔】利用完全平方公式的结构特征判断，即可求出m的值．
【解答】解：由题意可知：m﹣2＝±2×1×3，
∴m＝8或﹣4，即m的值是8或﹣4，
故答案为：8或﹣4．
27．若代数式x2﹣8x+m是关于x的完全平方式，则实数m＝ 16 ．
【思路点拔】先确定两平方项为x2和m，再根据一次项为﹣8x，根据m为一次项系数一半的平方，据此可得答案．
【解答】解：∵代数式x2﹣8x+m是关于x的完全平方式，x2﹣8x+m＝x2﹣2 4x+m，
∴m＝（±4）2＝16，
故答案为：16．
28．已知多项式4x2﹣2（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为 ﹣3或1 ．
【思路点拔】完全平方式有两个是a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2，根据以上得出﹣2（m+1）x＝±2 2x 1，求出即可．
【解答】解：∵4x2﹣2（m+1）x+1是完全平方式，
∴﹣2（m+1）x＝±2 2x 1，
解得：m＝﹣3或1．
故答案为：﹣3或1．
29．若m与n互为倒数，则（m+n）2﹣（m﹣n）2的值为 4 ．
【思路点拔】由题意可得mn＝1，再把所求的式子整理，从而可求解．
【解答】解：∵m与n互为倒数，
∴mn＝1，
∴（m+n）2﹣（m﹣n）2
＝m2+2mn+n2﹣m2+2mn﹣n2
＝4mn
＝4×1
＝4．
故答案为：4．
30．现有如图所示的A，B，C三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片 6 张．
【思路点拔】利用完全平方公式进行作答即可．
【解答】解：∵（3m+n）2＝9m2+6mn+n2，
∴取C纸片6张．
故答案为：6．
31．已知a2+a＝2，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为 0 ．
【思路点拔】本题考查的是整式的乘法运算，代数式的求值，先计算整式的乘法，合并同类项，再结合分配律整体代入求值即可．
【解答】解：由题意，∵（a+2）（a﹣2）+a（a+2）
＝a2﹣4+a2+2a
＝2a2+2a﹣4
＝2（a2+a）﹣4，
∴当a2+a＝2时，原式＝2×2﹣4
＝4﹣4
＝0．
故答案为：0．
32．已知a﹣b＝﹣5，ab＝8．则a2﹣3ab+b2的值为 17 ．
【思路点拔】利用完全平方公式将a﹣b＝﹣5变形为a2﹣2ab+b2＝25，得出a2+b2＝2ab+25，再代入求值即可．
【解答】解：∵a﹣b＝﹣5，
∴a2+b2＝2ab+25，
∵ab＝8，
∴a2﹣3ab+b2＝2ab+25﹣3ab＝25﹣8＝17，
故答案为：17．
33．若x2+（k+3）x+9是完全平方式，则k＝ 3或﹣9 ．
【思路点拔】a2±2ab+b2＝（a±b）2，据此即可求解．
【解答】解：∵x2±6+9＝（x±3）2，
∴k+3＝±6，
解得：k＝3或k＝﹣9，
故答案为：3或﹣9．
34．已知，x2+4x﹣4＝0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为 6 ．
【思路点拔】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后对式子x2+4x﹣4＝0变形，即可解答．
【解答】解：3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）
＝3x2﹣12x+12﹣6x2+6
＝﹣3x2﹣12x+18，
∵x2+4x﹣4＝0，
∴x2+4x＝4，
∴原式＝﹣3（x2+4x）+18＝﹣3×4+18＝6．
故答案为：6．
35．已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2021＝ 2024 ．
【思路点拔】将已知条件利用完全平方公式整理得（x﹣1）2＝3，将其代入（x﹣1）2+2021中计算即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x+1﹣3＝0，
∴（x﹣1）2＝3，
∴（x﹣1）2+2021＝3+2021＝2024，
故答案为：2024．
36．已知x与y互为相反数，且（x+1）2﹣（y﹣2）2＝3，则x的值为 ﹣3 ．
【思路点拔】根据相反数的定义可得y＝﹣x，然后利用完全平方公式将（x+1）2﹣（y﹣2）2＝3展开运算后解得x的值即可．
【解答】解：∵x与y互为相反数，
∴y＝﹣x，
∵（x+1）2﹣（y﹣2）2＝3，
∴（x+1）2﹣（﹣x﹣2）2＝3，
整理得：2x+1﹣4x﹣4＝3，
解得：x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
37．已知实数a，b满足a2+b2＝40，ab＝12，则a﹣b的值为 ±4 ．
【思路点拔】根据a2+b2＝40，ab＝12，由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，求出（a﹣b）2的值，进而求出a﹣b的值即可．
【解答】解：∵a2+b2＝40，ab＝12，
∴（a﹣b）2
＝a2+b2﹣2ab
＝40﹣2×12
＝40﹣24
＝16，
∴a﹣b＝±±4．
故答案为：±4．
38．边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a+b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为 14 ．
【思路点拔】用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入计算即可．
【解答】解：由S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形DEFG﹣S△ABC﹣S△AFG可得，
S阴影部分＝a2+b2a2b（a+b）
a2b2ab
（a2+b2﹣ab）
[（a+b）2﹣3ab]
（100﹣72）
＝14，
故答案为：14．
三．解答题（共22小题）
39．简便运算：
（1）1112﹣110×112；
（2）（﹣2）101×0.5100．
【思路点拔】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1112﹣（111﹣1）（111+1）
＝1112﹣1112+1
＝1；
（2）原式＝（﹣2）（﹣2）100×0.5100
＝（﹣2）（﹣2×0.5）100
＝（﹣2）（﹣1）100
＝（﹣2）×1
＝﹣2．
40．用简便算法计算．
（1）20242﹣2025×2023；
（2）4+4×196+982．
【思路点拔】（1）先把原式变形，再根据平方差公式进行计算即可；
（2）先把原式变形，再根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝20242﹣（2024+1）×（2024﹣1）
＝20242﹣（20242﹣12）
＝20242﹣20242+1
＝1；
（2）原式＝22+2×2×2×98+982
＝22+2×2×98+982+2×2×98
＝（2+98）2+2×2×98
＝1002+4×（100﹣2）
＝10000+400﹣8
＝10392．
41．已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求：
（1）a2+b2的值；
（2）ab的值．
【思路点拔】已知两等式利用完全平方公式展开，相加求出a2+b2的值；相减求出ab的值．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17①，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13②，
∴①+②得：2（a2+b2）＝30，即a2+b2＝15；
（2）①﹣②得：4ab＝4，即ab＝1．
42．若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x﹣y．
【思路点拔】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．
【解答】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x+y）2
＝x2+y2+2xy
＝8+2×2
＝12；
（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴x4+y4
＝（x2+y2）2﹣2x2y2
＝82﹣2×22
＝64﹣8
＝56；
（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，
∴x﹣y＝±2．
43．已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
【思路点拔】（1）由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab及已知条件可求得答案；
（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab及已知条件可求得a+b的值，进而得出a2﹣b2﹣8的值即可．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，
∴（a﹣b）2
＝a2+b2﹣2ab
＝1，
∵a2+b2＝13，
∴13﹣2ab＝1，
∴ab＝6；
（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝13+12
＝25，
∴a+b＝5或﹣5，
∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，
∴当a+b＝5时，（a+b）（a﹣b）﹣8＝﹣3；
当a+b＝﹣5时，（a+b）（a﹣b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．
44．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形．
（1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 a﹣b （用含a、b式子表示）；
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1： （a+b）2﹣4ab 方法2： （a﹣b）2 ；
（3）观察图2，尝试写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab三个式子之间的等量关系式是： （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ．
【思路点拔】（1）根据图示中图形的边长的关系即可求解；
（2）根据几何图形面积的计算方法即可求解；
（3）分别算出（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即可求解．
【解答】解：（1）图2中阴影部分的正方形的边长等于a﹣b，
故答案为：a﹣b．
（2）两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1：，
方法2：，
故答案为：（a+b）2﹣4ab；（a﹣b）2；
（3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
45．【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容．
【自主探究】
用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．
（1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题．
（i）图①中两个三角形的面积分别为 a2 和 b2 ，图②中长方形ABCD的面积为 ab .（用含a，b的字母表示）
（ii）当a≠b时，比较大小： ＞ ab．（填“＞”或“＜”）
（iii）当a和b满足什么条件时，与ab相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明．
【知识应用】
（2）已知m＞0，n＞1，且m（n﹣1）＝9，利用（1）发现的结论求m2+n2﹣2n+1的最小值．
【思路点拔】（1）（i）根据三角形、长方形面积的计算方法进行计算即可；
（ii）由a≠b可得（a﹣b）2＞0，进而得出结论；
（iii）通过计算可得结论；
（2）设x＝m，y＝n﹣1，由题意可得xy＝m（n﹣1）＝9，由m2+n2﹣2n+1＝x2+y2≥2xy可得答案．
【解答】解：（1）（i）图①中两个三角形的面积分别为a2，b2，图②中长方形的长为b，宽为a的长方形，因此面积为ab，
故答案为：a2，b2，ab；
（ii）∵a≠b，
∴（a﹣b）2＞0，
即a2﹣2ab+b2＞0，
∴a2+b2＞2ab，
∴ab，
故答案为：＞；
（iii）选择甲同学的方法，当a＝b时，a2，ab＝a a＝a2，
所以当a＝b时，ab，
（2）设x＝m，y＝n﹣1，xy＝m（n﹣1）＝9，
m2+n2﹣2n+1＝x2+y2≥2xy，
当x＝y时，最小值是2xy＝2m（n﹣1）＝2×9＝18，
答：m2+n2﹣2n+1的最小值是18．
46．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
（1）用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式 （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
（2）用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之间的等量关系式： （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；
（3）根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
①若m﹣n＝5，mn＝2，求（m+n）2；
②若2m﹣3n＝4，mn＝1，求（2m+3n）2．
【思路点拔】（1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为（a+b）正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；
（2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（3）①利用（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn代入求值即可，②利用（2m+3n）2＝（2m﹣3n）2+24mn代入求值即可．
【解答】解：（1）图1中，由图可知，，
由题意得，S大正方形＝S大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）图2中，由图可知，
由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）①∵m﹣n＝5，mn＝2，
∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝52+4×2＝25+8＝33，
②∵2m﹣3n＝4，mn＝1，
（2m+3n）2＝（2m﹣3n）2+24mn＝42+24×1＝40．
47．某同学化简（a+2b）2﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：
解：原式＝a2+4b2﹣（a2﹣b2）第一步
＝a2+4b2﹣a2+b2第二步
＝5b2第三步
（1）该同学的解答过程是从第 一 步开始出现错误的；
（2）写出此题的正确解答过程．
【思路点拔】（1）观察解答过程，利用完全平方公式和平方差公式进行判断，从而解答即可；
（2）用完全平方公式、平方差公式和合并同类项法则进行运算即可．
【解答】解：（1）该同学从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
（2）原式＝a2+4ab+4b2﹣（a2﹣b2）
＝a2+4ab+4b2﹣a2+b2
＝a2﹣a2+4ab+4b2+b2
＝4ab+5b2．
48．已知多项式M＝（x+2）2+（2﹣x）（2+x）﹣2．
（1）化简多项式M；
（2）若（x+1）2﹣x2＝5，求M的值．
【思路点拔】（1）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可得出结果；
（2）由（x+1）2﹣x2＝5，得出x＝2，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）M＝（x+2）2+（2﹣x）（2+x）﹣2
＝x2+4x+4+4﹣x2﹣2
＝4x+6；
（2）∵（x+1）2﹣x2＝5，
∴x2+2x+1﹣x2＝5，
∴2x+1＝5，
∴x＝2，
将x＝2代入M得：
M＝4×2+6
＝14．
49．计算：
（1）（2a+3b）（2a﹣3b）；
（2）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）；
（3）4（x﹣2）2+3（x+2）2﹣（7x2+30）．
【思路点拔】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）连续利用平方差公式即可得出答案；
（3）根据完全平方公式将原式化为4x2﹣16x+16+3x2+12x+12﹣7x2﹣30，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝（2a）2﹣（3b）2
＝4a2﹣9b2；
（2）原式＝（x2﹣y2）（x2+y2）
＝x4﹣y4；
（3）原式＝4x2﹣16x+16+3x2+12x+12﹣7x2﹣30
＝﹣4x﹣2．
50．已知a+b＝5，ab＝3．求下列各式的值：
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2；
（3）（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）．
【思路点拔】（1）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+b2+2ab可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，将a+b＝5，ab＝3代入即可得到答案；
（2）利用完全平方公式（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，结合（1）a2+b2＝19，ab＝3代入即可得到答案；
（3）根据平方差公式a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）可得（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝（a2﹣1）（b2﹣1），展开得（a2﹣1）（b2﹣1）＝（ab）2﹣（a2+b2）+1，将a2+b2＝19，ab＝3代入即可得到答案．
【解答】解：（1）∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝25﹣6
＝19；
（2）∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，ab＝3，
由（1）得a2+b2＝19，
∴（a﹣b）2
＝a2+b2﹣2ab
＝19﹣6
＝13；
（3）（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）
＝（a2﹣1）（b2﹣1）
＝（ab）2﹣（a2+b2）+1，
∵ab＝3，a2+b2＝19，
∴（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）
＝（ab）2﹣（a2+b2）+1
＝9﹣19+1
＝﹣9．
51．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，图（1）可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）图（2）中各个小长方形大小均相同，请用两种不同的方法表示图（2）中阴影部分的面积（不化简）．（答案直接填写到横线上）；
方法1： S阴＝4×ab＝4ab ；
方法2： ；
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到等式为 4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 请通过计算说明这个等式成立．
（3）已知（（m+2n）2＝20，（m﹣2n）2＝4，请利用（2）中的等式，直接写出mn的值为 48 ．
【思路点拔】（1）根据题意可得，方法一：阴影部分的面积等于4个长为a宽为b的长方形面积，即可得出S阴＝4×ab＝4ab；方法二阴影部分面积等于长为a+b的正方形面积减去长为a﹣b的正方形面积即可得出：；
（2）根据题意可得（1）中两次计算阴影部分的面积相等即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．再根据完全平方公式进行计算即可说明这个等式成立；
（3）由（2）中结论可得，然后代入计算即可解答．
【解答】解：（1）根据题意可得，
方法一：S阴＝4×ab＝4ab；
方法二：．
故答案为：4ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2；
（2）由（1）可得4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab，
∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2是成立的；
（3）∵（2m+n）2﹣（2m﹣n）2
＝4m2+4mn+n2﹣4m2+4mn﹣n2
＝8mn，
∴
（20﹣4）
16
＝2．
52．若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝6，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值．
解：设7﹣x＝a，x﹣2＝b，则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝6，a+b＝（7﹣x）+（x﹣2）＝5，
∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13．
请仿照上面的方法解答下列各题．
（1）已知（x﹣5）（x﹣8）＝10，求（x﹣5）2+（x﹣8）2的值；
（2）若y满足（y﹣2024）2+（y﹣2025）2＝99，求（y﹣2024）（y﹣2025）的值；
（3）如图所示，正方形ABCD的边长为m，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形DEMF的面积是24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）设x﹣5＝a，x﹣8＝b，则（x﹣5）（x﹣8）＝ab＝10，求得a﹣b，那么（x﹣5）2+（x﹣8）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab代入求解即可；
（2）设y﹣2024＝c，y﹣2025＝d，则（y﹣2024）2+（y﹣2025）2＝c2+d2＝99，求得c﹣d，那么，（y﹣2024）（y﹣2025）＝cd＝[c2+d2﹣（c﹣d）2]÷2代入求解即可；
（3）根据题意得（m﹣1）（m﹣3）＝24．设m﹣1＝p，m﹣3＝q，则（m﹣1）（m﹣3）＝pq＝24，可求得p﹣q，那么，（p+q）2＝（p﹣q）2+4pq，结合p＞0，q＞0，有p+q＝10，结合S阴影＝S正方形MFRN﹣S正方形GFDH＝（m﹣1）2﹣（m﹣3）2＝p2﹣q2＝（p+q）（p﹣q）即可求得答案．
【解答】解：（1）利用完全平方公式，根据题意，设x﹣5＝a，x﹣8＝b，
则（x﹣5）（x﹣8）＝ab＝10，
a﹣b＝（x﹣5）﹣（x﹣8）＝3，
∴（x﹣5）2+（x﹣8）2
＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝32+2×10
＝29；
故（x﹣5）2+（x﹣8）2的值为29；
（2）利用完全平方公式，根据题意，设y﹣2024＝c，y﹣2025＝d，
则（y﹣2024）2+（y﹣2025）2＝c2+d2＝99，
c﹣d＝（y﹣2024）﹣（y﹣2025）＝1，
∴（y﹣2024）（y﹣2025）
＝cd
＝[c2+d2﹣（c﹣d）2]÷2
＝（99﹣1）÷2
＝49；
故（y﹣2024）（y﹣2025）的值为49；
（3）根据正方形的面积公式，得（m﹣1）（m﹣3）＝24，
利用完全平方公式，设m﹣1＝p，m﹣3＝q，
则（m﹣1）（m﹣3）＝pq＝24，
p﹣q＝（m﹣1）﹣（m﹣3）＝2，
∴（p+q）2＝（p﹣q）2+4pq
＝22+4×24
＝100，
∵p＞0，q＞0，
∴p+q＝10，
∴S阴影＝S正方形MFRN﹣S正方形GFDH
＝（m﹣1）2﹣（m﹣3）2
＝p2﹣q2
＝（p+q）（p﹣q）
＝10×2
＝20．
∴阴影部分的面积是20．
53．图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为 a﹣b ；
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，
面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积．
【思路点拔】（1）根据大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得答案；
（2）用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即可得出等式；
（3）设两个正方形的边长为a、b，可得a+b＝8，a2+b2＝28出ab即可．
【解答】解：（1）由大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得，
阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，
故答案为：a﹣b；
（2）方法一：阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣b）2，
方法2：从边长为（a+b）的正方形面积减去4个长为a，宽为b长方形的面积可得，
（a+b）2﹣4ab，
于是有：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）设大正方形的边长为a、小正方形的边长b，
则a+b＝8，a2+b2＝28，
由（a+b）2＝a2+b2+2ab得，
82＝28+2ab，
即ab＝18，
因此阴影部分的面积为ab＝9．
答：阴影部分的面积为9．
54．某公园是长为（4a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形，规划部门计划在其内部修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像，左右两边修两条宽为a米的长方形道路，剩余的阴影部分进行绿化，尺寸如图所示．
（1）求整个公园的面积．
（2）求绿化的面积．
【思路点拔】（1）根据长方形的面积公式求解即可；
（2）根据绿化的面积＝公园的面积﹣正方形雕像的面积﹣长方形道路的面积，计算即可．
【解答】解：（1）∵公园是长为（4a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形，
∴整个公园的面积为：（4a+b）（2a+b）＝8a2+4ab+2ab+b2＝（8a2+6ab+b2）米，
答：整个公园的面积为（8a2+6ab+b2）米；
（2）由题可知，绿化的面积＝公园的面积﹣正方形雕像的面积﹣长方形道路的面积，
∴绿化的面积＝8a2+6ab+b2﹣（a+b）2﹣a（4a+b﹣a﹣b）
＝8a2+6ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2﹣3a2
＝（4a2+4ab）米，
答：绿地的面积为（4a2+4ab）米．
55．阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如，求a2+4a+5的最小值．
解：a2+4a+5＝a2+4a+22﹣22+5＝（a+2）2+1，∵（a+2）2≥0，∴（a+2）2+1≥1，所以当（a+2）2＝0时，即当a＝﹣2时，a2+4a+5有最小值，最小值为1．
【直接应用】
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：x2+6x+ 9 ；
（2）当x＝ 2 时，多项式﹣x2﹣4x+3有最 大 值，最 大 值是 7 ；
【知识迁移】
（3）代数式4a2+b2+4ab﹣8a﹣4b+10的最小值为 6 ．
【思路点拔】（1）利用已知条件中的配方法求出答案即可；
（2）把所给多项式配方，写成一个完全平方式，根据偶次方的非负性，求出其最值即可；
（3）利用分组分解法分解因式，再写成完全平方式，求出其最值即可．
【解答】解：（1）∵x2+6x+32＝（x+3）2，
故答案为：9；
（2）∵﹣x2﹣4x+3
＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3
＝﹣（x2﹣4x+4）+7
＝﹣（x﹣2）2+7，
∵（x﹣2）2≥0，
∴﹣（x﹣2）2≤0，
∴当x﹣2＝0，即x＝2时，﹣（x﹣2）2+7有最大值，最大值是7，
即当x＝2时，多项式﹣x2﹣4x+3有最大值，最大值是7，
故答案为：2，大，大，7；
（3）4a2+b2+4ab﹣8a﹣4b+10
＝（4a2+4ab+b2）﹣8a﹣4b+10
＝（2a+b）2﹣4（2a+b）+4+6
＝（2a+b﹣2）2+6，
∵（2a+b﹣2）2≥0，
∴代数式4a2+b2+4ab﹣8a﹣4b+10有最小值，最小值为6，
故答案为：6．
56．【阅读理解】例：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）的值．
解：设9﹣x＝a、x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
【跟踪训练】
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
（2）若n满足（n﹣2023）2+（n﹣2024）2＝11，求（n﹣2023）（n﹣2024）的值．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）先根据题中提供的方法，类比计算即可；
（2）根据题意可求出a2+b2＝11，a+b＝1，再求出2ab的值，即可求出答案；
（3）长方形EMFD的长DE＝a＝x﹣1，宽DF＝b＝x﹣3，则有a﹣b＝2，因此有（x﹣1）（x﹣3）＝15，求出x的值，再代入阴影部分的面积（x﹣1）2﹣（x﹣3）2中计算即可求出结果．
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，
则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．
（2）设n﹣2023＝a，2024﹣n＝b，（n﹣2023）2+（n﹣2024）2＝11，
则（n﹣2023）2+（n﹣2024）2＝（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝a2+b2＝11，
a+b＝（n﹣2023）+（2024﹣n）＝1，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝11+2ab＝1，
∴2ab＝1﹣11＝﹣10，
，
∴（n﹣2023）（n﹣2024）＝5．
（3）由题意得，长方形EMFD的长DE＝a＝x﹣1，宽DF＝b＝x﹣3，
则有a﹣b＝2，
由题意得DE DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝15，
即ab＝15，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+60＝64，
∴a+b＝8，a+b＝﹣8（舍去）．
所以阴影部分的面积为：（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8×2＝16，
答：阴影部分的面积为16．
57．（1）若关于a，b的多项式2（a2﹣2ab+b2）﹣（3a2+mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为 ﹣4 ．
（2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9．∴a2+b2＝7．
①如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC．设AB＝8，两正方形的面积和为34，则△AFC的面积为 ；
②若（8﹣x）（x﹣3）＝7，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值．
【思路点拔】（1）计算2（a2﹣2ab+b2）﹣（3a2+mab+2b2）的结果，令ab项的系数为0即可；
（2）①设AC＝x，BC＝y，由题意得到x+y＝8，x2+y2＝34，根据（x+y）2＝x2+y2+2xy求出xy，进而求出面积为xy的值即可；
②设m＝8﹣x，n＝x﹣3，由题意得m+n＝5，mn＝7，由（8﹣x）2+（x﹣3）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn进行计算即可．
【解答】解：（1）∵2（a2﹣2ab+b2）﹣（3a2+mab+2b2）
＝2a2﹣4ab+2b2﹣3a2﹣mab﹣2b2
＝﹣a2﹣（4+m）ab，而结果不含有ab项，
∴4+m＝0，
即m＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）①设AC＝x，BC＝y，则x+y＝AC+BC＝AB＝8，
∵两正方形的面积和为34，
∴x2+y2＝34，
∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，即64＝34+2xy，
∴xy＝15，
∴△AFC的面积为ab，
故答案为：；
②设m＝8﹣x，n＝x﹣3，则m+n＝5，mn＝（8﹣x）（x﹣3）＝7，
∴（8﹣x）2+（x﹣3）2
＝m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝25﹣14
＝11．
58．如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系： （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ；
（2）利用（1）中的结论，若x+y＝4，xy＝1，则（x﹣y）2的值是 12 ；
（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式： （3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2 ；
（4）两个正方形ABCD，AEFG如图④摆放，边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．
【思路点拔】（1）图①的面积是4ab，图②的面积是（a+b2）﹣（a﹣b）2，由此即可求解；
（2）根据（1）的结论，代入计算即可求解；
（3）将图形中各部分的面积通过图形面积计算公式表示出来并等于大长方形的面积即可求解；
（4）BE＝x﹣y＝2，并计算出x+y＝8，分别求出x，y，根据图中阴影部分面积和S△DFC+S△BEF，由此即可求解．
【解答】解：（1）图2中间部分的面积可以看作从边长为a+b的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣4ab，也可以看作是边长为（a﹣b）的正方形面积，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）∵x+y＝4，xy＝1，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝16﹣4×1
＝12，
故答案为：12；
（3）∵大长方形的面积等于4个小长方形的面积加上边长为a的正方形面积加上边长为b的正方形面积，
∴（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2，
故答案为：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；
（4）∵x2+y2＝34，BE＝2，
∴x﹣y＝2①，
∴x2﹣2xy+y2＝4，
∴34﹣2xy＝4，
∴xy＝15，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+30＝64，且x+y＞0，
∴x+y＝8②，
①+②得，x＝5，
∴y＝3，
图中阴影部分面积和
．
59．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
【思路点拔】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可得出所验证的等式；
（2）①将x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y），再整体代入计算即可；
②将原式转化为（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，
图2阴影部分的长为（a+b），宽为（a﹣b），
因此图2阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
由于图1、图2的阴影部分的面积相等可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝12，即（x﹣2y）（x+2y）＝12，
又x+2y＝4，
∴x﹣2y＝3；
②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
．
60．（1）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分按如图方式剪开，拼成图2的长方形．
请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图1： a2﹣b2 ，图2： （a+b）（a﹣b） ，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；
（2）【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n＝5，2m+n＝11，则4m2﹣n2的值为 55 ；
②计算：（x﹣2）（x+2）（x2+4）；
（3）【拓展】计算：（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果．
【思路点拔】（1）用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可；
（2）①利用平方差公式进行计算即可；②连续利用平方差公式进行计算即可；
（3）利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①∵2m﹣n＝5，2m+n＝11，
∴4m2﹣n2＝（2m﹣n）（2m+n）＝55，
故答案为：55；
②原式＝（x2﹣4）（x2+4）
＝x4﹣16；
（3）原式＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1．中小学教育资源及组卷应用平台
《乘法公式》同步提升训练题
一．选择题（共20小题）
1．下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+1）（﹣a+1） B．（a+b）（b﹣a）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣b）
2．如图，下列代数式中，表示图形面积错误的是（ ）
A．（x+1）2﹣12 B．（x+1）2﹣x2 C．x（x+2） D．x（x+1）+x
3．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3
B．2ab﹣3ba＝﹣ab
C．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝﹣a2+b2
D．（﹣a3）4＝﹣a12
4．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部，得到图①，将A，B并列放置后构成新的正方形，得到图②．若图①阴影面积为3，正方形A，B的面积之和为11，则图②阴影面积是（ ）
A．8 B．9 C．12 D．15
5．若要使4x2+mx+16成为完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．﹣8 B．±8 C．﹣16 D．±16
6．下列算式能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（4x+1）（﹣4x﹣1）
C．（2x﹣y）（y+2x） D．（﹣x+y）（﹣y﹣x）
7．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝12，ab＝28，那么阴影部分的面积是（ ）
A．40 B．44 C．32 D．50
8．若a、b是某长方形的长和宽，且有（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，则该长方形面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（ ）
A．8 B．20 C．4 D．16
10．如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（ ）
A．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2
C．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 D．（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn
11．设 a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023．若 a2+b2＝16，则 c2 的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．王大爷改建一个边长为x（x＞3）米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（ ）
A．面积减少3m2 B．面积减少9m2
C．面积增加3m2 D．面积增加9m2
13．如果x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣5或7 D．﹣5或5
14．若（2x+3y）2＝（2x﹣3y）2+（ ）成立，则括号内的式子等于（ ）
A．24xy B．12xy C．6xy D．4xy
15．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2
16．用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（ ）
A．（2a）2＝4a2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．2a（2a+b）＝4a2+2ab
17．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1
18．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
19．多项式9x2+25y2加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，那么加上的单项式为（ ）
A．30xy B．﹣30xy C．±30xy D．±15xy
20．有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与30，则正方形B的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共18小题）
21．若m+n＝8，mn＝15，则m2+mn+n2＝ ．
22．如果多项式x2﹣kx+16是完全平方式，则常数k的值为 ．
23．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为 cm2．
24．已知x+y＝5，xy＝3，则x2+5xy+y2＝ ．
25．设（1+x）2（2﹣x）＝a+bx+cx2+dx3，则b+d＝ ．
26．如果关于x的整式x2﹣（m﹣2）x+9是某个整式的平方，那么m的值是 ．
27．若代数式x2﹣8x+m是关于x的完全平方式，则实数m＝ ．
28．已知多项式4x2﹣2（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为 ．
29．若m与n互为倒数，则（m+n）2﹣（m﹣n）2的值为 ．
30．现有如图所示的A，B，C三种纸片若干张．淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片 张．
31．已知a2+a＝2，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为 ．
32．已知a﹣b＝﹣5，ab＝8．则a2﹣3ab+b2的值为 ．
33．若x2+（k+3）x+9是完全平方式，则k＝ ．
34．已知，x2+4x﹣4＝0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为 ．
35．已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2021＝ ．
36．已知x与y互为相反数，且（x+1）2﹣（y﹣2）2＝3，则x的值为 ．
37．已知实数a，b满足a2+b2＝40，ab＝12，则a﹣b的值为 ．
38．边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a+b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共22小题）
39．简便运算：
（1）1112﹣110×112；
（2）（﹣2）101×0.5100．
40．用简便算法计算．
（1）20242﹣2025×2023；
（2）4+4×196+982．
41．已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求：
（1）a2+b2的值；
（2）ab的值．
42．若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x﹣y．
43．已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
44．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形．
（1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含a、b式子表示）；
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1： 方法2： ；
（3）观察图2，尝试写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab三个式子之间的等量关系式是： ．
45．【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容．
【自主探究】
用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．
（1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题．
（i）图①中两个三角形的面积分别为 和 ，图②中长方形ABCD的面积为 .（用含a，b的字母表示）
（ii）当a≠b时，比较大小： ab．（填“＞”或“＜”）
（iii）当a和b满足什么条件时，与ab相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明．
【知识应用】
（2）已知m＞0，n＞1，且m（n﹣1）＝9，利用（1）发现的结论求m2+n2﹣2n+1的最小值．
46．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
（1）用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式 ；
（2）用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之间的等量关系式： ；
（3）根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
①若m﹣n＝5，mn＝2，求（m+n）2；
②若2m﹣3n＝4，mn＝1，求（2m+3n）2．
47．某同学化简（a+2b）2﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：
解：原式＝a2+4b2﹣（a2﹣b2）第一步
＝a2+4b2﹣a2+b2第二步
＝5b2第三步
（1）该同学的解答过程是从第 步开始出现错误的；
（2）写出此题的正确解答过程．
48．已知多项式M＝（x+2）2+（2﹣x）（2+x）﹣2．
（1）化简多项式M；
（2）若（x+1）2﹣x2＝5，求M的值．
49．计算：
（1）（2a+3b）（2a﹣3b）；
（2）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）；
（3）4（x﹣2）2+3（x+2）2﹣（7x2+30）．
50．已知a+b＝5，ab＝3．求下列各式的值：
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2；
（3）（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）．
51．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，图（1）可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）图（2）中各个小长方形大小均相同，请用两种不同的方法表示图（2）中阴影部分的面积（不化简）．（答案直接填写到横线上）；
方法1： ；
方法2： ；
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到等式为 请通过计算说明这个等式成立．
（3）已知（（m+2n）2＝20，（m﹣2n）2＝4，请利用（2）中的等式，直接写出mn的值为 ．
52．若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝6，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值．
解：设7﹣x＝a，x﹣2＝b，则（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝6，a+b＝（7﹣x）+（x﹣2）＝5，
∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13．
请仿照上面的方法解答下列各题．
（1）已知（x﹣5）（x﹣8）＝10，求（x﹣5）2+（x﹣8）2的值；
（2）若y满足（y﹣2024）2+（y﹣2025）2＝99，求（y﹣2024）（y﹣2025）的值；
（3）如图所示，正方形ABCD的边长为m，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形DEMF的面积是24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
53．图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为 ；
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，
面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积．
54．某公园是长为（4a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形，规划部门计划在其内部修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像，左右两边修两条宽为a米的长方形道路，剩余的阴影部分进行绿化，尺寸如图所示．
（1）求整个公园的面积．
（2）求绿化的面积．
55．阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如，求a2+4a+5的最小值．
解：a2+4a+5＝a2+4a+22﹣22+5＝（a+2）2+1，∵（a+2）2≥0，∴（a+2）2+1≥1，所以当（a+2）2＝0时，即当a＝﹣2时，a2+4a+5有最小值，最小值为1．
【直接应用】
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：x2+6x+ ；
（2）当x＝ 时，多项式﹣x2﹣4x+3有最 值，最 值是 ；
【知识迁移】
（3）代数式4a2+b2+4ab﹣8a﹣4b+10的最小值为 ．
56．【阅读理解】例：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）的值．
解：设9﹣x＝a、x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
【跟踪训练】
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
（2）若n满足（n﹣2023）2+（n﹣2024）2＝11，求（n﹣2023）（n﹣2024）的值．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．
57．（1）若关于a，b的多项式2（a2﹣2ab+b2）﹣（3a2+mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为 ．
（2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9．∴a2+b2＝7．
①如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC．设AB＝8，两正方形的面积和为34，则△AFC的面积为 ；
②若（8﹣x）（x﹣3）＝7，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值．
58．如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系： ；
（2）利用（1）中的结论，若x+y＝4，xy＝1，则（x﹣y）2的值是 ；
（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式： ；
（4）两个正方形ABCD，AEFG如图④摆放，边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．
59．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1）（1）（1）…（1）（1）．
60．（1）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分按如图方式剪开，拼成图2的长方形．
请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图1： ，图2： ，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；
（2）【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n＝5，2m+n＝11，则4m2﹣n2的值为 ；
②计算：（x﹣2）（x+2）（x2+4）；
（3）【拓展】计算：（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果．
