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《因式分解》同步提升训练题
一．选择题（共15小题）
1．将下列各式分解因式，结果中不含x﹣1的是（ ）
A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣x
2．224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ）
A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67
3．下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是（ ）
A．x2+4x+4＝（x+2）2 B．36x2y＝3x 12xy
C．x2﹣3x﹣4＝x（x﹣3）﹣4 D．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16
4．下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ）
A．x2+2xy+4y2 B．﹣9x2﹣y2
C．4x﹣y2 D．x2﹣8xy+16y2
5．把多项式x2+ax﹣2分解因式，结果是（x+1）（x+b），则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
6．如果三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+2ab＝c2+2bc，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
8．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．a（a+1）＝a2+a
B．a2﹣b2+a﹣b＝（a+b）（a﹣b）+a﹣b
C．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
D．﹣a2+b2c2＝（bc+a）（bc﹣a）
9．下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．
①3x2+3y2②﹣x2+y2③﹣x2﹣y2④x2+xy+y2⑤x2+2xy﹣y2⑥﹣x2+4xy﹣4y2
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（ ）
A．80 B．96 C．192 D．240
11．若a，b，c是△ABC的三边长，则a2﹣（b﹣c）2的结果（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不确定
12．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．﹣x2﹣y2 B．x2﹣5y2 C．x2+4y2 D．﹣x2+y2
13．若k为任意整数，则（k+5）2﹣（k﹣3）2的值总能（ ）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
14．如果一个数a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（ ）
A．56 B．82 C．94 D．126
15．下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．3x+3y﹣5＝3（x+y）﹣5 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣5
C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．
二．填空题（共12小题）
16．分解因式：x（x﹣y）2﹣（y﹣x）y2＝ ．
17．已知正整数a，b，c满足a+b2﹣2c﹣2＝0，3a2﹣8b+c＝0，则abc的最大值为 ．
18．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2﹣c2﹣b2）2+|c﹣b|＝0，则△ABC的形状为 ．
19．若m2+4＝3n，则m3﹣3mn+4m＝ ．
20．若x﹣y＝2，，则2x2y﹣2xy2的值为 ．
21．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC的形状是 ．
22．因式分解： ．
23．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2024＝ ．
24．已知xy，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝ ．
25．如果3x2﹣4y2﹣4xy+4y+2x﹣1因式分解的结果为 ．
26．因式分解：x2+y2﹣2z2+2xy+yz+xz＝ ．
27．因式分解：﹣a3+4a2﹣4a＝ ．
三．解答题（共33小题）
28．分解因式：
（1）x3+x；
（2）x3﹣25x；
（3）b（a﹣3）+2（3﹣a）．
29．因式分解：
（1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
30．把下列各式因式分解．
（1）3x2﹣27；
（2）16﹣8（x+y）+（x+y）2．
31．分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）25（m+n）2﹣（m﹣n）2；
（3）9x2﹣6x﹣y2﹣2y．
32．分解因式：
（1）y3﹣4xy2+4x2y；
（2）9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）．
33．因式分解：
（1）3a2﹣3b2；
（2）（x2+4）2﹣16x2．
34．分解因式：
（1）x3﹣4x；
（2）2ax2﹣12ax+18a．
35．因式分解：
（1）12xyz﹣9x2y；
（2）x3y+2x2y+xy；
（3）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2；
（4）a2（1﹣b）+b2（b﹣1）．
36．因式分解：
（1）x3﹣4x2+4x；
（2）a4﹣3a2﹣4．
37．因式分解：
（1）x2﹣25x；
（2）2x（a﹣2）+y（2﹣a）．
38．分解因式：
（1）x3﹣25x；
（2）8a2﹣16ab+8b2．
39．阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
由上式可知：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，因为不论x取何值，（x+1）2≥0，所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+2x﹣3的最小值是﹣4．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
（1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；
（2）根据上面解题思路可知多项式x2﹣6x﹣27有最小值，即当x＝ 时，最小值是 ．
（3）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
40．把下列各式分解因式．
（1）﹣4ax2+8axy﹣4ay2；
（2）9（a+b）2﹣（a﹣b）2；
41．将下列各式分解因式：
（1）x3﹣x；
（2）3ma2﹣12ma+12m．
42．把下列各式因式分解：
（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）；
（2）16x4﹣8x2y2+y4；
（3）（x+2）（x+4）+1；
（4）（x2+4）2﹣16x2．
43．阅读材料：
①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．
②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值．
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：a2+4a+ ．
（2）用配方法因式分解：a2﹣24a+143．
（3）若Ma2+2a﹣1，求M的最大值．
44．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
45．分解因式：
（1）a3﹣4a2b+4ab2；
（2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）．
46．先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a，再把它的后两项分成一组，并提出b，从而得am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式m+n，于是可提公因式m+n，从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1）请用上面材料中提供的方法分解因式：
①ab﹣ac+bc﹣b2；
②x2y2﹣2x2y﹣4y+8．
（2）已知△ABC的三边长为a，b，c，并且a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，试判断此三角形的形状．
47．分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．
48．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
如“2+2”分法：ax+ay+bx+by＝（ax+ay）+（bx+by）＝a（x+y）+b（x+y）＝（x+y）（a+b）．
再如“3+1”分法：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
利用上述方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16．
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2+bc﹣ab＝ac，判断△ABC的形状，并说明理由．
49．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．
50．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）
＝y2+8y+16 （第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
51．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：
因式分解：（1）x2﹣xy+6x﹣6y；（2）25﹣x2﹣9﹣6x．
下面是晶晶和小舒的解法：
晶晶：x2﹣xy+6x﹣6y ＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+6） 小舒：25﹣x2﹣9﹣6x ＝52﹣（x2+6x+32）（分成两组） ＝52﹣（x+3）2（直接运用公式） ＝（5+x+3）（5﹣x﹣3） ＝（8+x）（2﹣x）
请在她们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2﹣16﹣2ab；
（2）若a﹣b＝﹣1，c﹣a＝3，求ab﹣bc+ac﹣a2的值；
（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，△ABC是什么三角形？
52．阅读下面材料，并解决问题．
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A．
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．
上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
（1）因式分解：a2﹣4ab+4b2﹣9；
（2）试说明：若n为正整数，则式子（n2﹣n）（n2﹣n+2）+1的值一定是某个整数的平方．
53．分解因式：
（1）4a（1﹣b）2﹣2（b﹣1）2；
（2）y2﹣100y+2499；
（3）x3﹣2x2y﹣4xy2+8y3；
（4）（x2+5x+3）（x2+5x﹣2）﹣6．
54．因式分解：
（1）m2﹣4；
（2）9a3﹣12a2+4a．
55．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．
例2：若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值．
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35＝ ；
（2）若M＝a2﹣3a+1，则M的最小值为 ；
（3）已知a2+2b2+c2﹣2ab+4b﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
56．因式分解：
（1）4a2﹣4ab+b2；
（2）x2y﹣x2﹣y+1．
57．观察下列式子的因式分解做法：
①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）；
②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）．
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝ ．
（2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝ ．（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）试求26+25+24+23+22+2+1的值．
58．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣1的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
59．把下列各式进行因式分解：
（1）4a3b2﹣6a2b；
（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）；
（3）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2；
（4）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2．
60．我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
甲：x2+xy﹣2x﹣2y
＝（x2+xy）﹣（2x+2y）（先分成两组）
＝x（x+y）﹣2（x+y）＝（x+y）（x﹣2）．
乙：a2﹣b2+2b﹣1
＝a2﹣（b2﹣2b+1）（先分成两组）
＝a2﹣（b﹣1）2＝（a+b﹣1）（a﹣b+1）．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请尝试解决下列问题：
（1）试用上述方法分解因式：m2+2mn+n2+ma+na．
（2）已知x+y＝4，且x3+x2y﹣xy2﹣y3＝﹣32，求x﹣y．
（3）我们可以通过“拆项”后再分组分解的方式对多项式进行因式分解．利用这样的思路，x2﹣xy﹣2y2可以因式分解为 ．中小学教育资源及组卷应用平台
《因式分解》同步提升训练题
一．选择题（共15小题）
1．将下列各式分解因式，结果中不含x﹣1的是（ ）
A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣x
【思路点拔】提取公因式，再检查括号内能否用公式法进行分解因式，即可求解．
【解答】解：A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，含x﹣1，故不符合题意；
B．x2+2x+1＝（x+1）2，不含x﹣1，故符合题意；
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），含x﹣1，故不符合题意；
D．x2﹣x＝x（x﹣1），含x﹣1，故不符合题意；
故选：B．
2．224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ）
A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67
【思路点拔】利用平方差因式分解即可求解．
【解答】解：原式＝（212+1）（212﹣1）
＝（212+1）（26+1）（26﹣1），
∵26+1＝65，26﹣1＝63，
∵60＜65＜70，60＜63＜70，
∴224﹣1能被65和63整除，
∴这两个数为：65和63．
故选：C．
3．下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是（ ）
A．x2+4x+4＝（x+2）2 B．36x2y＝3x 12xy
C．x2﹣3x﹣4＝x（x﹣3）﹣4 D．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16
【思路点拔】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．
【解答】解：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A．x2+4x+4＝（x+2）2，符合因式分解的形式，符合题意；
B．36x2y＝3x 12xy，不符合因式分解的定义，不符合题意；
C．x2﹣3x﹣4＝x（x﹣3）﹣4，右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
D． （x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意
故选：A．
4．下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ）
A．x2+2xy+4y2 B．﹣9x2﹣y2
C．4x﹣y2 D．x2﹣8xy+16y2
【思路点拔】根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、此式子不是完全平方式；
B、此式子不是完全平方式；
C、此式子不是完全平方式；
D、此式子是完全平方式．
故选：D．
5．把多项式x2+ax﹣2分解因式，结果是（x+1）（x+b），则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【思路点拔】把（x+1）（x+b）展开从而得到a＝1+b，b＝﹣2，从而可求出a、b的值．
【解答】解：x2+ax﹣2＝（x+1）（x+b）＝x2+（1+b）x+b，
所以a＝1+b，b＝﹣2，
解得a＝﹣1，b＝﹣2．
故选：D．
6．如果三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【思路点拔】根据题意，逐个判断出所给n的值，是否满足三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积，进而判断出哪个n的值不满足“和谐数组”条件即可．
【解答】解：∵n＝﹣1时，﹣1+（﹣1+1）+（﹣1+2）＝0，﹣1×（﹣1+1）×（﹣1+2）＝0，0＝0，
∴n＝﹣1满足“和谐数组”条件，
∴选项A不符合题意；
∵n＝﹣3时，﹣3+（﹣3+1）+（﹣3+2）＝﹣6，﹣3×（﹣3+1）×（﹣3+2）＝﹣6，﹣6＝﹣6，
∴n＝﹣3满足“和谐数组”条件，
∴选项B不符合题意；
∵n＝1时，1+（1+1）+（1+2）＝6，1×（1+1）×（1+2）＝6，6＝6，
∴n＝1满足“和谐数组”条件，
∴选项C不符合题意；
∵n＝3时，3+（3+1）+（3+2）＝12，3×（3+1）×（3+2）＝60，12≠60，
∴n＝3不满足“和谐数组”条件，
∴选项D符合题意．
故选：D．
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+2ab＝c2+2bc，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【思路点拔】把a2+2ab＝c2+2bc因式分解后判断即可．
【解答】解：∵a2+2ab＝c2+2bc，
∴a2﹣c2+2ab﹣2bc＝0，
（a﹣c）（a+c）+2b（a﹣c）＝0，
（a﹣c）（a+c+2b）＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+c+2b＞0，
∴a﹣c＝0，即a＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：C．
8．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．a（a+1）＝a2+a
B．a2﹣b2+a﹣b＝（a+b）（a﹣b）+a﹣b
C．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
D．﹣a2+b2c2＝（bc+a）（bc﹣a）
【思路点拔】根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可．
【解答】解：A、等号左边是积的形式，不是因式分解，不符合题意，
B、等号右边不是积的形式不是因式分解，不符合题意，
C、选项分解错误，不符合题意，
D、是因式分解，符合题意，
故选：D．
9．下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．
①3x2+3y2②﹣x2+y2③﹣x2﹣y2④x2+xy+y2⑤x2+2xy﹣y2⑥﹣x2+4xy﹣4y2
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】因式分解可套用公式分别是公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）和公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，所给出的6个多项式中，根据公式结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①3x2+3y2两平方项符号相同，不能运用公式；
②﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），两平方项符号相反，能运用平方差公式；
③﹣x2﹣y2两平方项符号相同，不能运用公式；
④x2+xy+y2，乘积项不是二倍，不能运用完全平方公式；
⑤x2+2xy﹣y2两平方项符号相反，不能运用完全平方公式；
⑥﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣y）2，整理后可以利用完全平方公式．
所以②⑥两项能用公式法分解因式．
故选：A．
10．如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（ ）
A．80 B．96 C．192 D．240
【思路点拔】根据题意得出a+b＝8，ab＝12，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可
【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12，
∴a+b＝8，ab＝12，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝12×8
＝96．
故选：B．
11．若a，b，c是△ABC的三边长，则a2﹣（b﹣c）2的结果（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不确定
【思路点拔】由三角形三边关系可得a+b﹣c＞0，a+c﹣b＞0，原式再因式分解化为（a+b﹣c）（a﹣b+c），即可得解．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，根据三角形的三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：
∴a+b﹣c＞0，a+c﹣b＞0，
∴a2﹣（b﹣c）2＝（a+b﹣c）[a﹣（b﹣c）]＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）＞0．
故选：A．
12．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．﹣x2﹣y2 B．x2﹣5y2 C．x2+4y2 D．﹣x2+y2
【思路点拔】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【解答】解：A、﹣x2﹣y2不能用平方差公式分解因式；
B、x2﹣5y2不能用平方差公式分解因式；
C、x2+4y2不能用平方差公式分解因式；
D、﹣x2+y2＝y2﹣x2是y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
故选：D．
13．若k为任意整数，则（k+5）2﹣（k﹣3）2的值总能（ ）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
【思路点拔】利用平方差公式把原式分解因式得到16（k+1），据此可得答案．
【解答】解：∵（k+5）2﹣（k﹣3）2
＝[（k+5）+（k﹣3）][（k+5）﹣（k﹣3）]
＝（k+5+k﹣3）（k+5﹣k+3）
＝（2k+2）×8
＝2（k+1）×8
＝16（k+1），
∴（k+5）2﹣（k﹣3）2的值总能被8整除，
故选：D．
14．如果一个数a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（ ）
A．56 B．82 C．94 D．126
【思路点拔】首先化简a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，再看四个选项中，能够整除8的即为答案．
【解答】解：∵a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，
∴“奇差数”是8的倍数，
A，56÷8＝7，能够被8整除，因此56是“奇差数”；
B，82÷8＝10…2，不能够被8整除，因此82不是“奇差数”；
C，94÷8＝11…6，不能够被8整除，因此94不是“奇差数”；
D，126÷8＝15…6，不能够被8整除，因此126不是“奇差数”；
故选：A．
15．下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．3x+3y﹣5＝3（x+y）﹣5 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣5
C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．
【思路点拔】把一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
【解答】解：3x+3y﹣5＝3（x+y）﹣5，右边不是积的形式，则A不符合题意；
（x+1）（x﹣1）＝x2﹣5是乘法运算，则B不符合题意；
x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）是因式分解，则C符合题意；
x+1＝x（x），右边不是整式，则D不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共12小题）
16．分解因式：x（x﹣y）2﹣（y﹣x）y2＝ （x2﹣xy+y2）（x﹣y） ．
【思路点拔】直接提取公因式（x﹣y）进行分解因式即可．
【解答】解：原式＝[x（x﹣y）+y2]（x﹣y）
＝（x2﹣xy+y2）（x﹣y）
故答案为：（x2﹣xy+y2）（x﹣y）．
17．已知正整数a，b，c满足a+b2﹣2c﹣2＝0，3a2﹣8b+c＝0，则abc的最大值为 2013 ．
【思路点拔】本题的关键是利用完全平方公式．
【解答】解：∵3a2﹣8b+c＝0，
∴c＝8b﹣3a2，
代入a+b2﹣2c﹣2＝0可得：（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，
∴66﹣6a2﹣a为完全平方数，则a＝3，
可得：b＝5或11，c＝13或61，
∴abc的最大值为3×11×61＝2013；
故答案为：2013．
18．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2﹣c2﹣b2）2+|c﹣b|＝0，则△ABC的形状为 等腰直角三角形 ．
【思路点拔】根据非负数的性质，可以得到a2﹣c2﹣b2＝0，c﹣b＝0，从而可以得到a2＝c2+b2，b＝c，再根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义，即可判断△ABC的形状．
【解答】解：∵（a2﹣c2﹣b2）2+|c﹣b|＝0，
∴a2﹣c2﹣b2＝0，c﹣b＝0，
∴a2＝c2+b2，b＝c，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
19．若m2+4＝3n，则m3﹣3mn+4m＝ 0 ．
【思路点拔】将m3﹣3mn+4m提取公因式m，得到原式＝m（m2﹣3n+4），把m2+4＝3n代入，计算即可．
【解答】解：∵m2+4＝3n，
∴m3﹣3mn+4m＝m（m2﹣3n+4）＝m（3n﹣3n）＝0．
故答案为：0．
20．若x﹣y＝2，，则2x2y﹣2xy2的值为 6 ．
【思路点拔】因式分解：2x2y﹣2xy2＝2xy（x﹣y），再代入求值即可．
【解答】解：2x2y﹣2xy2＝2xy（x﹣y），
∵x﹣y＝2，，
∴2xy（x﹣y）＝22＝6，
∴2x2y﹣2xy2的值为6．
故答案为：6．
21．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC的形状是 等边三角形 ．
【思路点拔】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得 （a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，再利用非负数的性质求解即可．
【解答】解：△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a2+b2+c2＝ab+ac+bc，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝0，
∴[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
22．因式分解： （）2 ．
【思路点拔】根据十字相乘法进行因式分解的步骤对所给代数式进行因式分解即可．
【解答】解：由题知，
原式＝（）2．
故答案为：（）2．
23．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2024＝ 2025 ．
【思路点拔】将已知条件变形为a2＝1﹣a、a2+a＝1，然后将代数式a3+2a2+2024进一步变形进行求解．
【解答】解：∵a2+a﹣1＝0，
∴a2＝1﹣a、a2+a＝1，
∴a3+2a2+2024，
＝a a2+2（1﹣a）+2024，
＝a（1﹣a）+2﹣2a+2024，
＝a﹣a2﹣2a+2026，
＝﹣a2﹣a+2026，
＝﹣（a2+a）+2026，
＝﹣1+2026，
＝2025．
故答案为：2025．
24．已知xy，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝ ﹣25 ．
【思路点拔】因式分解后，整体代入计算即可；
【解答】解：2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）
＝2xy（x+y）2，
∵xy，x+y＝5，
∴原式＝﹣25．
故答案为﹣25．
25．如果3x2﹣4y2﹣4xy+4y+2x﹣1因式分解的结果为 （3x+2y﹣1）（x﹣2y+1） ．
【思路点拔】把2y﹣1当成一个整体，再因式分解即可．
【解答】解：原式＝3x2﹣4xy+2x﹣4y2+4y﹣1
＝3x2﹣2x（2y﹣1）﹣（2y﹣1）2
＝[3x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]
＝（3x+2y﹣1）（x﹣2y+1），
故答案为：（3x+2y﹣1）（x﹣2y+1）．
26．因式分解：x2+y2﹣2z2+2xy+yz+xz＝ （x+y+2z）（x+y﹣z） ．
【思路点拔】先分组，再利用完全平方公式，最后把（x+y）看成一个整体，运用十字相乘法分解．
【解答】解：x2+y2﹣2z2+2xy+yz+xz
＝x2+y2+2xy+yz+xz﹣2z2
＝（x+y）2+z（y+x）﹣2z2
＝（x+y+2z）（x+y﹣z）．
故答案为：（x+y+2z）（x+y﹣z）．
27．因式分解：﹣a3+4a2﹣4a＝ ﹣a（a﹣2）2 ．
【思路点拔】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：﹣a3+4a2﹣4a
＝﹣a（a2﹣4a+4）
＝﹣a（a﹣2）2，
故答案为：﹣a（a﹣2）2．
三．解答题（共33小题）
28．分解因式：
（1）x3+x；
（2）x3﹣25x；
（3）b（a﹣3）+2（3﹣a）．
【思路点拔】（1）提公因式x，即可得出结果；
（2）先提公因式x，再利用平方差公式进行分解，即可得出结果；
（3）先将多项式进行变形，再利用提公因式法进行分解，即可得出结果．
【解答】解：（1）原式＝x（x2+1）；
（2）原式＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣5）；
（3）原式＝b（a﹣3）﹣2（a﹣3）
＝（a﹣3）（b﹣2）．
29．因式分解：
（1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【思路点拔】（1）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可；
（2）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2
＝﹣2a（a2﹣2ab+b2）
＝﹣2a（a﹣b）2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
30．把下列各式因式分解．
（1）3x2﹣27；
（2）16﹣8（x+y）+（x+y）2．
【思路点拔】（1）先提公因式3，再利用平方差公式即可；
（2）利用完全平方公式即可进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣9）＝3（x+3）（x﹣3）；
（2）原式＝[4﹣（x+y）]2＝（4﹣x﹣y）2．
31．分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）25（m+n）2﹣（m﹣n）2；
（3）9x2﹣6x﹣y2﹣2y．
【思路点拔】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先运用平方差公式可将原式化为[5（m+n）+（m﹣n）][5（m+n）﹣m+n]，再进行计算化简；
（3）将前两项与后两项分组，利用公式法分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2；
（2）原式＝[5（m+n）+（m﹣n）][5（m+n）﹣m+n]
＝（6m+4n）（4m+6n）
＝4（3m+2n）（2m+3n）；
（3）原式＝（9x2﹣6x+1）﹣（y2+2y+1）
＝（3x﹣1）2﹣（y+1）2
＝（3x﹣1+y+1）（3x﹣1﹣y﹣1）
＝（3x﹣1+y+1）（3x﹣1﹣y﹣1）
＝（3x+y）（3x﹣y﹣2）．
32．分解因式：
（1）y3﹣4xy2+4x2y；
（2）9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）．
【思路点拔】（1）先提取y，然后再运用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提取（x﹣y），然后再根据平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：（1）y3﹣4xy2+4x2y
＝y（y2﹣4xy+4x2）
＝y（y﹣2x）2；
（2）9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
33．因式分解：
（1）3a2﹣3b2；
（2）（x2+4）2﹣16x2．
【思路点拔】（1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式进行因式分解，然后在利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：（1）3a2﹣3b2
＝3（a2﹣b2）
＝3（a+b）（a﹣b）；
（2）（x2+4）2﹣16x2
＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
＝（x+2）2（x﹣2）2．
34．分解因式：
（1）x3﹣4x；
（2）2ax2﹣12ax+18a．
【思路点拔】（1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式2a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）；
（2）2ax2﹣12ax+18a
＝2a（x2﹣6x+9）
＝2a（x﹣3）2．
35．因式分解：
（1）12xyz﹣9x2y；
（2）x3y+2x2y+xy；
（3）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2；
（4）a2（1﹣b）+b2（b﹣1）．
【思路点拔】（1）直接找出各式的公因式进而提取公因式分解因式即可；
（2）先提取公因数xy，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）利用平方差公式分解因式即可；
（4）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）12xyz﹣9x2y＝3xy（4z﹣3x）；
（2）x3y+2x2y+xy
＝xy（x2+2xy+1）
＝xy（x+1）2；
（3）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2
＝[（x2﹣2y）+（1﹣2y）][（x2﹣2y）﹣（1﹣2y）]
＝（x2﹣4y+1）（x2﹣1）
＝（x2﹣4y+1）（x+1）（x﹣1）；
（4）a2（1﹣b）+b2（b﹣1）
＝a2（1﹣b）﹣b2（1﹣b）
＝（a2﹣b2）（1﹣b）
＝（1﹣b）（a+b）（a﹣b）．
36．因式分解：
（1）x3﹣4x2+4x；
（2）a4﹣3a2﹣4．
【思路点拔】（1）运用综合提公因式以及公式法分解因式即可；
（2）先运用十字相乘法分解因式，再运用平方差公式分解因式即可．
【解答】（1）解：x3﹣4x2+4x
＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2；
（2）a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
37．因式分解：
（1）x2﹣25x；
（2）2x（a﹣2）+y（2﹣a）．
【思路点拔】（1）直接提取公因式x分解因式即可；
（2）直接提取公因式（a﹣2）分解因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣25x
＝x（x﹣25）；
（2）2x（a﹣2）+y（2﹣a）
＝（2x﹣y）（a﹣2）．
38．分解因式：
（1）x3﹣25x；
（2）8a2﹣16ab+8b2．
【思路点拔】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣5）；
（2）原式＝8（a2﹣2ab+b2）
＝8（a﹣b）2．
39．阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
由上式可知：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，因为不论x取何值，（x+1）2≥0，所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+2x﹣3的最小值是﹣4．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
（1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；
（2）根据上面解题思路可知多项式x2﹣6x﹣27有最小值，即当x＝ 3 时，最小值是 ﹣36 ．
（3）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可；
（2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答；
（3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到a＝b＝c，即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣27
＝（x2﹣6x+9）﹣36
＝（x﹣3）2﹣36
＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）10
＝（x+3）（x﹣9）．
（2）x2﹣6x﹣27
＝（x2﹣6x+9）﹣36
＝（x﹣3）2﹣36，
当x＝3时，x2﹣6x﹣27最小值为﹣36．
故答案为：3；﹣36；
（3）△ABC的形状是等边三角形，理由如下：
∵2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0
∴2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0，
利用拆项得：（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，
即：（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，
于是a﹣b＝0，a﹣c＝0，
所以可以得到a＝b＝c，即：△ABC的形状是等边三角形．
40．把下列各式分解因式．
（1）﹣4ax2+8axy﹣4ay2；
（2）9（a+b）2﹣（a﹣b）2；
【思路点拔】（1）先提取公因式﹣4a，再根据完全平方公式进行二次分解；
（2）利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣4a（x2+2xy+y2）
＝﹣4a（x﹣y）2；
（2）原式＝[3（a+b）]2﹣（a﹣b）2，
＝[3（a+b）+（a﹣b）][3（a+b）﹣（a﹣b）]
＝（3a+3b+a﹣b）（3a+3b﹣a+b），
＝2（2a+b）×2（a+2b）
＝4（2a+b）（a+2b）．
41．将下列各式分解因式：
（1）x3﹣x；
（2）3ma2﹣12ma+12m．
【思路点拔】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解．
【解答】解：（1）x3﹣x
＝x（x2﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）；
（2）3ma2﹣12ma+12m
＝3m（a2﹣4a+4）
＝3m（a﹣2）2．
42．把下列各式因式分解：
（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）；
（2）16x4﹣8x2y2+y4；
（3）（x+2）（x+4）+1；
（4）（x2+4）2﹣16x2．
【思路点拔】运用提公因式法和公式法分别进行变形、分解．
【解答】解：（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣b2）
＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）；
（2）16x4﹣8x2y2+y4；
＝（4x2﹣y2）2；
＝（2x+y）2（2x﹣y）2；
（3）（x+2）（x+4）+1
＝x2+6x+8+1
＝x2+6x+9
＝（x+3）2；
（4）（x2+4）2﹣16x2．
＝（x2+4）2﹣（4x）2
＝（x2+4x+4）2（x2﹣4x+4）2
＝（x+2）2（x﹣2）2．
43．阅读材料：
①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．
②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值．
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：a2+4a+ 4 ．
（2）用配方法因式分解：a2﹣24a+143．
（3）若Ma2+2a﹣1，求M的最大值．
【思路点拔】（1）根据完全平方公式配方；
（2）按照题干的①计算；
（3）按照题干的②计算．
【解答】解：（1）a2+4a+4，
故答案为：4；
（2）a2﹣24a+143
＝a2﹣24a+144﹣1
＝（a﹣12）2﹣12
＝（a﹣12+1）（a﹣12﹣1）
＝（a﹣11）（a﹣13）；
（3）Ma2+2a﹣1
（a2﹣8a+16）+3
（a﹣4）2+3，
∴当a＝4时，M有最大值3．
44．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【思路点拔】先将原式因式分解为（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，根据a，b，c分别是△ABC的三边长，可得a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，即可得出结果．
【解答】解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，
∴c（a﹣b）+（a﹣b）2＝0，
∴（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
45．分解因式：
（1）a3﹣4a2b+4ab2；
（2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）．
【思路点拔】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式．
【解答】解：（1）a3﹣4a2b+4ab2
＝a（a2﹣4ab+4b2）
＝a（a﹣2b）2；
（2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）
＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）
＝（x﹣y）（x2﹣y2）
＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y）
＝（x﹣y）2（x+y）．
46．先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a，再把它的后两项分成一组，并提出b，从而得am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式m+n，于是可提公因式m+n，从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1）请用上面材料中提供的方法分解因式：
①ab﹣ac+bc﹣b2；
②x2y2﹣2x2y﹣4y+8．
（2）已知△ABC的三边长为a，b，c，并且a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，试判断此三角形的形状．
【思路点拔】（1）①利用分组分解法分解因式即可得；
②利用分组分解法分解因式即可得；
（2）根据已知等式可得2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）＝0，再利用分组分解法分解等式的左边，然后根据偶次方的非负性求解即可得．
【解答】解：（1）①ab﹣ac+bc﹣b2
＝（ab﹣ac）﹣（b2﹣bc）
＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）
＝（b﹣c）（a﹣b）；
②x2y2﹣2x2y﹣4y+8
＝（x2y2﹣2x2y）﹣（4y﹣8）
＝x2y（y﹣2）﹣4（y﹣2）
＝（y﹣2）（x2y﹣4）．
（2）∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，
∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
47．分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．
【思路点拔】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）
＝（m﹣2）（x2﹣y2）
＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．
48．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
如“2+2”分法：ax+ay+bx+by＝（ax+ay）+（bx+by）＝a（x+y）+b（x+y）＝（x+y）（a+b）．
再如“3+1”分法：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
利用上述方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16．
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2+bc﹣ab＝ac，判断△ABC的形状，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据“3+1”分法即可得出答案；
（2）根据“2+2”分法分解因式，得出a﹣b＝0或a﹣c＝0，即可得出答案．
【解答】解：（1）9x2﹣6xy+y2﹣16
＝（9x2﹣6xy+y2）﹣16
＝（3x﹣y）2﹣16
＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）；
（2）a2+bc﹣ab＝ac，
a2+bc﹣ab﹣ac＝0，
a2﹣ab﹣（ac﹣bc）＝0，
a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
49．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．
【思路点拔】（1）将x﹣y看成整体，令x﹣y＝m代入原式即可求解；
（2）将y2﹣6y看成整体，令y2﹣6y＝m代入原式即可求解．
【解答】解：（1）设x﹣y＝m，
则原式＝1﹣2m+m2，
＝（1﹣m）2，
把x﹣y＝m代入得，
原式＝[1﹣（x﹣y）]2，
＝（1﹣x+y）2；
（2）设y2﹣6y＝m，
则原式＝m（m+18）+81，
＝m2+18m+81，
＝（m+9）2，
把y2﹣6y＝m代入得，
原式＝（y2﹣6y+9）2，
＝[（y﹣3）2]2，
＝（y﹣3）4．
50．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）
＝y2+8y+16 （第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？ 否 ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 （x﹣2）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【思路点拔】（1）分析第二步到第三步，可以得出直接应用完全平方公式的结论；
（2）明确最后的结果括号中的式子仍然可用完全平方公式因式分解，即可判断是否彻底；
（3）首先设x2﹣2x＝y，对原式换元并利用乘法分配律化简，再根据完全平方公式变换；接下来，只需将所设x2﹣2x＝y换回上述所得式子中，就能得到因式分解的结果．
【解答】解：（1）第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式．
故选：C；
（2）否，最终结果为（x﹣2）4．
故答案为：否，（x﹣2）4；
（3）设x2﹣2x＝y，
则原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4．
51．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：
因式分解：（1）x2﹣xy+6x﹣6y；（2）25﹣x2﹣9﹣6x．
下面是晶晶和小舒的解法：
晶晶：x2﹣xy+6x﹣6y ＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+6） 小舒：25﹣x2﹣9﹣6x ＝52﹣（x2+6x+32）（分成两组） ＝52﹣（x+3）2（直接运用公式） ＝（5+x+3）（5﹣x﹣3） ＝（8+x）（2﹣x）
请在她们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2﹣16﹣2ab；
（2）若a﹣b＝﹣1，c﹣a＝3，求ab﹣bc+ac﹣a2的值；
（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，△ABC是什么三角形？
【思路点拔】（1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；
（2）分组，利用提公因式法分解，整体代入求解即可；
（3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解．
【解答】解：（1）原式＝a2+b2﹣2ab﹣16
＝（a﹣b）2﹣42
＝（a﹣b+4）（a﹣b﹣4）；
（2）原式＝ab﹣a2+ac﹣bc
＝（ab﹣a2）+（ac﹣bc）
＝﹣a（a﹣b）+c（a﹣b）
＝（a﹣b）（c﹣a）．
∵a﹣b＝﹣1，c﹣a＝3，
∴原式＝（a﹣b）（c﹣a）＝﹣1×3＝﹣3；
（3）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a+b﹣c）（a﹣b）＝0．
∵a+b﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
52．阅读下面材料，并解决问题．
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A．
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．
上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
（1）因式分解：a2﹣4ab+4b2﹣9；
（2）试说明：若n为正整数，则式子（n2﹣n）（n2﹣n+2）+1的值一定是某个整数的平方．
【思路点拔】（1）先用完全平方公式，得到a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2，将“a﹣2b”看成整体，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）将n2﹣n看成整体，再利用完全平方式因式分解即可．
【解答】解：（1）∵a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2，
∴将“a﹣2b”看成整体，令a﹣2b＝A，
原式＝A2﹣9
＝A2﹣32
＝（A+3）（A﹣3），
再将“A”还原，
原式＝（a﹣2b+3）（a﹣2b﹣3）；
（2）将“n2﹣n”看成整体，令n2﹣n＝B，
原式＝B（B+2）+1
＝B2+2B+1
＝（B+1）2，
∵n为正整数，
∴B+1＝n2﹣n+1也为正整数，
∴（n2﹣n）（n2﹣n+2）+1的值一定是某个整数的平方．
53．分解因式：
（1）4a（1﹣b）2﹣2（b﹣1）2；
（2）y2﹣100y+2499；
（3）x3﹣2x2y﹣4xy2+8y3；
（4）（x2+5x+3）（x2+5x﹣2）﹣6．
【思路点拔】（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可；
（3）分组后利用提公因式法及平方差公式因式分解即可；
（4）利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝4a（b﹣1）2﹣2（b﹣1）2
＝2（b﹣1）2（2a﹣1）；
（2）原式＝y2﹣100y+2500﹣1
＝（y2﹣100y+2500）﹣1
＝（y﹣50）2﹣1
＝（y﹣50+1）（y﹣50﹣1）
＝（y﹣49）（y﹣51）；
（3）原式＝（x3﹣2x2y）﹣（4xy2﹣8y3）
＝x2（x﹣2y）﹣4y2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x2﹣4y2）
＝（x﹣2y）（x﹣2y）（x+2y）
＝（x﹣2y）2（x+2y）；
（4）原式＝（x2+5x）2+（x2+5x）﹣6﹣6
＝（x2+5x）2+（x2+5x）﹣12
＝（x2+5x﹣3）（x2+5x+4）
＝（x）（x）（x+1）（x+4）．
54．因式分解：
（1）m2﹣4；
（2）9a3﹣12a2+4a．
【思路点拔】（1）直接利用平方差公式分解；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．
【解答】解：（1）m2﹣4
＝（m+2）（m﹣2）；
（2）9a3﹣12a2+4a
＝a（9a2﹣12a+4）
＝a（3a﹣2）2．
55．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．
例2：若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值．
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35＝ （a﹣7）（a﹣5） ；
（2）若M＝a2﹣3a+1，则M的最小值为 ；
（3）已知a2+2b2+c2﹣2ab+4b﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
【思路点拔】（1）原式常数项35化为36﹣1，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（2）M配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可．
【解答】解：（1）a2﹣12a+35
＝a2﹣12a+36﹣1
＝（a﹣6）2﹣1
＝（a﹣7）（a﹣5），
故答案为：（a﹣7）（a﹣5）；
（2）M＝a2﹣3a+1
M＝（a2﹣3a）
M，
当a，即a时，M取最小值，最小值为，
故答案为：；
（3）∵a2+2b2+c2﹣2ab+4b﹣6c+13＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，
即 （a﹣b）2+（b+2）2+（c﹣3）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b+2）2≥0，（c﹣3）2≥0
∴a﹣b＝0，b+2＝0，c﹣3＝0，解得 a＝b＝﹣2，c＝3，
∴a+b+c＝﹣2﹣2+3＝﹣1．
56．因式分解：
（1）4a2﹣4ab+b2；
（2）x2y﹣x2﹣y+1．
【思路点拔】（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）前两项先提出x2，再利用提公因式法和平方差公式分解．
【解答】解：（1）4a2﹣4ab+b2
＝（2a）2﹣2 2a b+b2
＝（2a﹣b）2；
（2）x2y﹣x2﹣y+1
＝x2（y﹣1）﹣（y﹣1）
＝（x2﹣1）（y﹣1）
＝（x+1）（x﹣1）（y﹣1）．
57．观察下列式子的因式分解做法：
①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）；
②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）．
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝ （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1） ．
（2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝ （x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1） ．（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）试求26+25+24+23+22+2+1的值．
【思路点拔】（1）模仿例题中的做法求解即可；
（2）根据例题中的规律求解即可；
（3）运用（2）中的公式求解即可．
【解答】解：（1）模仿以上做法，x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1），
故答案为：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
（2）观察以上结果，可得xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1），
故答案为：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）；
（3）根据上述规律，可得27﹣1＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1），
∴26+25+24+23+22+2+1＝27﹣1．
58．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣1的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【思路点拔】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案；
（3）先因式分解已知等式，找到a，b，c之间的关系即可．
【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣1﹣8
＝（x+1）2﹣9
＝（x+1﹣3）（x+1+3）
＝（x﹣2）（x+4）；
（2）x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，
即多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣5．
（3）原式＝6a+8b+10c，
即a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0，
根据非负数的性质可得（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长为3+4+5＝12．
59．把下列各式进行因式分解：
（1）4a3b2﹣6a2b；
（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）；
（3）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2；
（4）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2．
【思路点拔】（1）直接提取公因式2a2b即可；
（2）先提取公因式x﹣3，再利用平方差公式分解即可；
（3）把x﹣y看作一个整体，利用完全平方公式即可；
（4）利用平方差公式即可．
【解答】解：（1）4a3b2﹣6a2b＝2a2b（2ab﹣3）．
（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）
＝（x﹣3）（x2﹣4）
＝（x﹣3）（x+2）（x﹣2）．
（3）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2
＝[2+3（x﹣y）]2
＝（3x﹣3y+2）2．
（4）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
＝（3x﹣2+2x+7）（3x﹣2﹣2x﹣7）
＝（5x+5）（x﹣9）
＝5（x+1）（x﹣9）．
60．我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
甲：x2+xy﹣2x﹣2y
＝（x2+xy）﹣（2x+2y）（先分成两组）
＝x（x+y）﹣2（x+y）＝（x+y）（x﹣2）．
乙：a2﹣b2+2b﹣1
＝a2﹣（b2﹣2b+1）（先分成两组）
＝a2﹣（b﹣1）2＝（a+b﹣1）（a﹣b+1）．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请尝试解决下列问题：
（1）试用上述方法分解因式：m2+2mn+n2+ma+na．
（2）已知x+y＝4，且x3+x2y﹣xy2﹣y3＝﹣32，求x﹣y．
（3）我们可以通过“拆项”后再分组分解的方式对多项式进行因式分解．利用这样的思路，x2﹣xy﹣2y2可以因式分解为 （x﹣2y）（x+y） ．
【思路点拔】（1）根据题目中分组分解法进行分解即可；
（2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入；
（3）将原式改写为x2+xy﹣2y2﹣2xy，再根据题目中分组分解法进行分解即可．
【解答】解：（1）m2+2mn+n2+ma+na
＝（m2+2mn+n2）+（ma+na）
＝（m+n）2+a（m+n）
＝（m+n+a）（m+n）；
（2）x3+x2y﹣xy2﹣y3
＝（x3﹣xy2）+（x2y﹣y3）
＝x（x2﹣y2）+y（x2﹣y2）
＝（x+y）（x+y）（x﹣y）
＝（x+y）2（x﹣y），
∵x+y＝4，且x3+x2 y﹣x y2﹣y3＝﹣32，
∴（x+y）2（x﹣y）＝﹣32，
∴x﹣y＝﹣2；
（3）x2﹣xy﹣2y2
＝x2+xy﹣2y2﹣2xy
＝x（x+y）﹣2y（y+x）
＝（x﹣2y）（x+y）；
故答案为：（x﹣2y）（x+y）．
