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安徽省2025年中考数学模拟卷（三）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在实数，﹣1，3，中，比0大的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】利用实数大小比较方法进行判断即可．
解：∵0，﹣1＜0，3＞0，0，
∴比0大的数有2个，
故选：B．
2．（3分）由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，从它正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】画出这个组合体的主视图即可．
解：这个组合体从正面看到的图形为：
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a9﹣a7＝a2 B．a6÷a3＝a2
C．a2 a3＝a6 D．（﹣2a2b）2＝4a4b2
【思路点拔】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则即可求出答案．
解：A．a9与a7不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意
B．原式＝a3，故B不符合题意
C．原式＝a5，故C不符合题意
D．原式＝4a4b2，故D符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．65° B．67.5° C．70° D．75°
【思路点拔】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝20°，从而可求∠2的度数．
解：如图，
∵直尺的对边平行，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝70°．
故选：C．
5．（3分）不等式组的解集表示在数轴上为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
解：解a﹣4≤0，得a≤4；
解a+1＞0，得a＞﹣1；
∴该不等式组的解集是﹣1＜a≤4，
其解集在数轴上表示如下：
，
故选：C．
6．（3分）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作，《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，则根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，根据“今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，
依题意，得：．
故选：C．
7．（3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
②以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
③连结BD、BC．
则下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC是正三角形 B．∠CBD＝30°
C．点C在BD的中垂线上 D．cosD
【思路点拔】根据等边三角形的判定方法判断A，再利用三角形的外角定义判定B，利用等腰三角形的性质判断C，用特殊角的三角函数判断D即可．
解：由作图可知：AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，故A正确，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
由作图可知：BC＝DC，
∴∠CBD＝∠D＝30°，故B正确，不符合题意；
∵△CDB是等腰三角形，
∴点C在BD的中垂线是上，故C正确，不符合题意；
∵∠A＝60°，∠D＝30°，
∴cosD，故D错误，符合题意，
故选：D．
8．（3分）如图，⊙O中，OC⊥AB于E，∠D＝30°，CE＝2，则弦AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
【思路点拔】根据垂径定理求出AE＝BEAB，∠BOC＝2∠D＝60°，根据直角三角形的性质求出OB＝4，OE＝2，再根据勾股定理求解即可．
解：∵OC⊥AB于E，
∴，AE＝BEAB，
∴∠BOC＝2∠D＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE，
∵OE＝OC﹣CE＝OB﹣CE，CE＝2，
∴OE＝OB﹣2，
∴OB＝OB﹣2，
∴OB＝4，
∴OE＝2，
∴BE2，
∴AB＝4，
故选：B．
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【思路点拔】由菱形的性质得AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD＝2OE＝4，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠AOD＝90°，
∵OE＝2，点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝4，
∴菱形的周长＝4AD＝4×4＝16，
故选：C．
10．（3分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【思路点拔】根据抛物线的对称性、抛物线与x轴的交点判断即可．
解：对于y＝x2+ax+b，二次项系数为1＞0，
∴抛物线开口向上，
当图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的一个交点为（3，0）时，
图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），图象与x轴的交点在原点两侧，
∴乙是假命题，
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（1） 12 ；
（2） ﹣0.1 ；
（3）（）2＝ 196 ；
（4） 8 ．
【思路点拔】（1）根据12的平方＝144，可得144的算术平方根；
（2）根据0.1的平方等于0.01，可得0.01的算术平方根的相反数；
（3）根据（）2＝a即可计算；
（4）根据|a|即可计算．
解：（1）12；
（2）0.1；
（3）（）2＝196；
（4）8．
故答案为：（1）12；（2）﹣0.1；（3）196；（4）8．
12．（3分）若一元二次方程的两根分别为﹣1和3，则此方程为 x2﹣2x﹣3＝0（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【思路点拔】利用根与系数的关系写出一个符合题意的方程即可．
解：设该一元二次方程为x2+bx+c＝0，它的两个根分别为x1＝﹣1，x2＝3，
则﹣b＝x1+x2＝﹣1+3＝2，c＝x1x2＝﹣1×3＝﹣3，
那么b＝﹣2，
那么该方程为：x2﹣2x﹣3＝0，
故答案为：x2﹣2x﹣3＝0（答案不唯一）．
13．（3分）某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨3元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨3元收费，超过的部分按每吨4.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）若每月用水量不超过20吨，则y与x之间的关系式为 y＝3x ．
（2）若该户四月份平均水费为每吨3.7元，则该户四月份的用水量为 37.5 吨．
【思路点拔】（1）通过题目分析，用水不超过20吨时，y与x之间的关系式为y＝3x；
（2）由该户四月份平均水费为每吨3.7元，判断出该用户用水超过20吨，再根据等量关系进行计算，列出方程解得答案．
解：（1）若每月用水量不超过20吨，设用水量为x吨，应收水费为y元，
由题意可得关系式：y＝3x，
故答案为：y＝3x；
（2）∵该用户四月份平均水费为每吨3.7元，
∴该用户用水超过20吨，
设该用户四月用水a吨，则有，
3.7a＝3×20+（a﹣20）×4.5，
解得a＝37.5，
故答案为：37.5．
14．（3分）现有四张分别标有数字﹣2，﹣1，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下数字不放回，然后背面朝上洗匀，再随机抽取一张，则两次抽出的卡片上所标数字之和为正数的概率是 ．
【思路点拔】列表得出所有等可能结果，从中找到两次抽出的卡片上所标数字之和为正数的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：列表如下：
﹣2 ﹣1 0 2
﹣2 （﹣1，﹣2） （0，﹣1） （2，﹣1）
﹣1 （﹣2，﹣1） （0，﹣2） （2，﹣2）
0 （﹣2，0） （﹣1，0） （2，0）
2 （﹣2，2） （﹣1，2） （0，2）
由表可知，共有12种等可能结果，其中两次抽出的卡片上所标数字之和为正数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上所标数字之和为正数的概率为．
故答案为：．
15．（3分）如图，已知矩形ABCD，将△BCD绕点B顺时针旋转90°至△BEF，连结AC，BF，若点A，C，F恰好在同一条直线上，则 ．
【思路点拔】设AB＝a，BC＝b，由旋转性质得BE＝BC＝b，EF＝CD＝a，再由△ABC∽△AEF得，进而解方程用b表示a，便可求得结果．
解：设AB＝a，BC＝b，
由旋转性质得BE＝BC＝b，EF＝CD＝a，∠E＝∠BCD＝∠B＝90°，
∴BC∥EF，
∴△ABC∽△AEF，
∴，即，
∴a2﹣ab﹣b2＝0，
∴，
∵a＞0，
∴ab，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）计算：（π﹣2023）0+（﹣2）2+3﹣1．
【思路点拔】先计算零指数幂和负整数指数幂、乘方，再计算加减即可．
解：原式＝1+4
＝5．
17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
（2）若四边形ABEF的周长为40，AE，BF相交于点O，且BF＝10，求AE的长．
【思路点拔】（1）由作图过程可知，AB＝AF，AO⊥BF，结合平行四边形的性质以及菱形的判定可得结论．
（2）由菱形的性质可得AB＝10，OA＝OE，∠AOB＝90°．利用勾股定理求出AO的长，根据AE＝2AO可得答案．
解：（1）四边形ABEF为菱形．
理由：由作图过程可知，AB＝AF，AO⊥BF，
∴△ABF为等腰三角形，
∴AE垂直平分BF，
∴OB＝OF，BE＝EF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBF，
∵∠AOF＝∠EOB，
∴△AOF≌△EOB（ASA），
∴AF＝BE，
∴AB＝AF＝BE＝EF，
∴四边形ABEF为菱形．
（2）∵四边形ABEF的周长为40，四边形ABEF为菱形，
∴AB＝10，OA＝OE，∠AOB＝90°．
∵BF＝10，
∴OB＝5，
∴AO，
∴AE＝2AO．
18．（6分）为普及“垃圾分类”知识，某校组织全校学生参加了垃圾分类主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下：
七年级10名学生竞赛成绩：92，83，99，89，99，86，100，81，92，99；
八年级10名学生竞赛成绩中分布在90＜x≤95的成绩如下：93，94，95．
【整理数据】：
年级 80＜x≤85 85＜x≤90 90＜x≤95 95＜x≤100
七年级 2 m 2 4
八年级 1 2 3 4
【分析数据】：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 92 a b 45.8
八年级 94 100 c 38.2
根据以上提供的信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ 2 ，a＝ 99 ，b＝ 92 ，c＝ 94.5 ；
（2）该校七年级学生有300人，全部参加竞赛，请估计七年级成绩高于90分的人数；
（3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可）
【思路点拔】（1）根据题干所列数据及中位数和众数的概念求解即可；
（2）总人数乘以样本中七年级成绩高于90分的人数所占比例即可；
（3）根据平均数、中位数及方差的意义求解即可（答案不唯一）．
解：（1）由题意知m＝2，
七年级成绩的众数a＝99，
七年级成绩的中位数是从小到大排列后第5个与第6个的平均数，所以b92，
八年级成绩的中位数是从小到大排列后第5个与第6个的平均数，所以c94.5，
故答案为：2，99，92，94.5；
（2）300180（人），
答：估计七年级成绩高于90分的人数为180人；
（3）八年级成绩更好，理由：
从平均数看，八年级成绩的平均数大于七年级，所以八年级成绩更好（答案不唯一）．
19．（8分）六府塔公园因其是隋代建筑“六府塔”遗址而得名，坐落于长治市城区解放西街北侧西寺巷，现今遗存的残塔仅剩塔座部分，后经市委市政府修缮，在塔基的旁边重新修建了一座六府塔，现在早已成为了人们休闲纳凉锻炼的场所．周日实验中学学生想用一些测量工具和所学的几何知识测量新六府塔的高度，并检验自己掌握知识和应用知识的能力．他们携带的工具有：小镜子，卷尺，标杆，测角仪等．
如图：小王在小张和六府塔之间的直线BM上平放一个平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上对应位置为点C，镜子不动，小张看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，同时小王用测角仪测量，测得以下数据：
①ED＝1.8m，②CD＝2.4m，③点C处测得塔顶A处的仰角为37°；
然后小张从点D沿DM方向走了7.6m，到达塔影的末端F处，在F处放置一根标杆FG，此时标杆FG的影长为FH，测得以下数据：
④FH＝2.5m，⑤FG＝1.5m，⑥点F处测得塔顶A处的仰角为31°；
如图：已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时使用的平面镜的厚度及测角仪的高度忽略不计，请你根据题目中的数据选择必须的数据计算六府塔的高度．
（1）你所选的数据是 ②③⑥ （注意：填序号，但你所选的数据必须用到，多选或者少选均不得分）
（2）计算过程：（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【思路点拔】（1）求AB的长度需要解Rt△ABC和Rt△ABF，因此选择②③⑥即可；
（2）解Rt△ABC可得，解Rt△ABF可得，根据FB＝FD+DC+CB列出等式，即可求解．
（1）解：所选数据是②③⑥；
故答案为：②③⑥；
（2）解：由题意∠ABC＝90°，∠ACB＝37°，∠AFB＝31°，
∵，
∴BC，
∵，
∴FB，
又∵FB＝FD+DC+CB，CD＝2.4m，DF＝7.6m，
∴，
解得AB≈30m，
故六府塔的高度约为30m．
20．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y的图象交于A、B两点，且A点坐标为（﹣2，1），一次函数交x轴于点C．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出使反比例函数大于一次函数的x的取值范围．
【思路点拔】（1）把A（﹣2，1）代入y＝﹣x+b中求出b得到一次函数解析式；然后把A（﹣2，1）代入y中求出m得到反比例函数解析式；
（2）先求出直线y＝﹣x﹣1与y轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式计算△AOB的面积；
（3）结合图象写出反比例函数图象在一次函数图象上方对应的自变量的范围即可．
解：（1）把A（﹣2，1）代入y＝﹣x+b得2+b＝1，解得b＝﹣1，
∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；
把A（﹣2，1）代入y得m＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y；
（2）当x＝0时，y＝﹣x﹣1＝﹣1，则直线y＝﹣x﹣1与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
∴△AOB的面积1×（2+1）；
（3）﹣2＜x＜0或x＞1．
21．（8分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°，若⊙O的半径长4cm，求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PAOB中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝120°，
∴∠APB＝360°﹣（90°+90°+120°）＝60°．
∴∠APB＝60°，
连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APOAPB＝30°，
在Rt△APO中，tan30°，
∴AP4（cm），
∴S阴影＝2S△AOP﹣S扇形＝2×（4×4）＝（16）（cm2）．
22．（10分）如图，用40m的篱笆围成一个边靠墙的矩形场地，墙长15m．垂直于墙的边长为xm．围成的矩形场地的面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求这个矩形场地面积的最大值．
【思路点拔】（1）表示出矩形的长和宽可得出y和x的函数关系式；
（2）利用配方法和函数的性质求得最大面积．
解：（1）∵垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为（40﹣2x）m，
∴y＝x（40﹣2x），
根据题意得：，
解得x＜20，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x（x＜20）；
（2）∵y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，x＜20，
∴当x时，y最大，最大值为187.5，
答：这个矩形场地面积的最大值为187.5m2．
23．（11分）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）操作判断
如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF＝5，则GH的长为 5 ；
如图2，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF＝8，则GH的长为 4 ；
（2）迁移探究
如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，且AE⊥BD，试证明；
（3）拓展应用
如图4，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G．当F为AE的三等分点时，请直接写出GH的长．
【思路点拔】（1）图1中，设EF交GH于点O，过点G作GJ⊥BC于点J，过点E作EK⊥CD于点K，证△GJH≌△EKF（AAS），得GH＝EF＝5即可；
图2中，设EF交GH于点O，过点E作EM⊥CD为M，过点H作HN⊥AD于点N，证△GNH∽△FME，得2，则GHEF＝4；
（2）过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F，证△ABD≌△CAF（ASA），得AD＝CF，再证△ABE∽△FCE，得，即可得出结论；
（3）证AE＝AB＝6，分两种情况，①当AFAE＝2时，点G在CD上；②当AFAE＝4时，点G在BC上；由全等三角形的性质和相似三角形的性质求出AG、AH的长，即可解决问题．
解：（1）如图1，设EF交GH于点O，
过点G作GJ⊥BC于点J，过点E作EK⊥CD于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形AGJB、四边形BCKE是矩形，
∴GJ＝AB＝BC＝EK，∠GJB＝∠EKC＝90°，
∴∠GJH＝∠EKF＝90°，
∵EF⊥GH，
∴∠FOH＝90°，
∴∠C+∠FOH＝90°+90°＝180°，
∴∠OHC+∠OFC＝180°，
∵∠OHJ+∠OHC＝180°，
∴∠OFC＝∠OHJ，
又∵∠GJH＝∠EKF＝90°，GJ＝EK，
∴△GJH≌△EKF（AAS），
∴GH＝EF＝5，
故答案为：5；
如图2，设EF交GH于点O，
过点E作EM⊥CD为M，过点H作HN⊥AD于点N，
∴∠GNH＝∠FME＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，
∴四边形ABHN、四边形ADME都是矩形，
∴AB＝NH，EM＝AD＝BC，
∵EF⊥GH，∠D＝90°，
∴∠GOF+∠D＝180°，
∴∠NGH+∠DFO＝180°，
又∵∠DFO+∠MFE＝180°，
∴∠MFE＝∠NGH，
∵∠GNH＝∠FME，
∴△GNH∽△FME，
∴2，
∴GHEF8＝4，
故答案为：4；
（2）证明：如图3，过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F，
则∠ACF＝90°，
∴∠F+∠FAC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB+∠FAC＝90°，
∴∠F＝∠ADB，
又∵AB＝CA，∠BAD＝∠ACF＝90°，
∴△ABD≌△CAF（ASA），
∴AD＝CF，
∵∠BAC+∠ACF＝90°+90°＝180°，
∴AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝6，
分两种情况：
①如图4，当AFAE＝2时，点G在CD上，
∴BF2，
∵AG⊥BF，
∴∠ABF+∠BAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAG＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝∠DAG，
又∵∠BAF＝∠D＝90°，
∴△BAF∽△ADG，
∴，
∴AGBF2，
过点E作EI⊥AD交AG于点I，
则EI∥AB，∠AEI＝90°＝∠BAF，
∵AB＝EA，∠ABF＝∠EAI，
∴△BAF≌△AEI（ASA），
∴EI＝AF＝2，AI＝BF＝2，
∵EI∥AB，
∴△ABH∽△IEH，
∴3，
∴AH＝3IH，
∴AHAI2，
∴GH＝AG﹣AH；
②如图5，当AFAE＝4时，点G在BC上，
∴BF2，
同①得：△BAF∽△GBA，
∴，
∴AGBF23，
过点E作EI⊥AD交AG于点I，
同①得：△BAF≌△AEI，EI∥AB，
∴EI＝AF＝4，AI＝BF＝2，△ABH∽△IEH，
∴，
∴AHAI2，
∴GH＝AG﹣AH＝3；
综上所述，GH的长为或．
24．（12分）已知点A（﹣m，0）和B（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上，该图象与y轴交于点C．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点M（n，3）且点M不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）若a＜0，m＞0，且∠OBC＝30°，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点D，求出的最大值及此时点P的坐标．
【思路点拔】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）y＝ax2+bx+3的图象过点A（﹣n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，则由图象的对称性得﹣n＝2m，且n≠0，即mn，即可求解；
（3）由PH∥y轴，则△PHD∽△OCD，则[（x2x+3）﹣（x+3）]（x2x），即可求解．
解：（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx+3，
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+3，
即a＝b＝﹣1；
（2）∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（﹣n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得﹣n＝2m，且n≠0，
∴mn，
∵﹣2＜m＜1，
∴﹣2n＜1，
∴﹣2＜n＜4，
∴n的取值范围为﹣2＜n＜4且n≠0；
（3）∵∠OBC＝30°，
则tan∠OBC，则BO＝33m，
则m，
则点A、B的坐标分别为：（，0）、（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣9），
则﹣9a＝3，
解得：a，
则抛物线的表达式为：yx2x+3，则点C（0，3），OC＝3，
由点C、B的坐标得，直线BC的表达式为：yx+3，
过点P作PH∥y轴交BC于点H，
设点P（x，x2x+3），则点H（x，x+3），
∵PH∥y轴，
则△PHD∽△OCD，
则[（x2x+3）﹣（x+3）]（x2x），
∵（）＜0，
则有最大值为，此时点P（，）．中小学教育资源及组卷应用平台
安徽省2025年中考数学模拟卷（三）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在实数，﹣1，3，中，比0大的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，从它正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a9﹣a7＝a2 B．a6÷a3＝a2
C．a2 a3＝a6 D．（﹣2a2b）2＝4a4b2
4．（3分）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．65° B．67.5° C．70° D．75°
5．（3分）不等式组的解集表示在数轴上为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作，《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设每只雀、燕的重量分别为x斤，y斤，则根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
②以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
③连结BD、BC．
则下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC是正三角形 B．∠CBD＝30°
C．点C在BD的中垂线上 D．cosD
8．（3分）如图，⊙O中，OC⊥AB于E，∠D＝30°，CE＝2，则弦AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
10．（3分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（1） ；
（2） ；
（3）（）2＝ ；
（4） ．
12．（3分）若一元二次方程的两根分别为﹣1和3，则此方程为 ．（写出一个即可）
13．（3分）某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨3元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨3元收费，超过的部分按每吨4.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）若每月用水量不超过20吨，则y与x之间的关系式为 ．
（2）若该户四月份平均水费为每吨3.7元，则该户四月份的用水量为 吨．
14．（3分）现有四张分别标有数字﹣2，﹣1，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下数字不放回，然后背面朝上洗匀，再随机抽取一张，则两次抽出的卡片上所标数字之和为正数的概率是 ．
15．（3分）如图，已知矩形ABCD，将△BCD绕点B顺时针旋转90°至△BEF，连结AC，BF，若点A，C，F恰好在同一条直线上，则 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）计算：（π﹣2023）0+（﹣2）2+3﹣1．
17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
（2）若四边形ABEF的周长为40，AE，BF相交于点O，且BF＝10，求AE的长．
18．（6分）为普及“垃圾分类”知识，某校组织全校学生参加了垃圾分类主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下：
七年级10名学生竞赛成绩：92，83，99，89，99，86，100，81，92，99；
八年级10名学生竞赛成绩中分布在90＜x≤95的成绩如下：93，94，95．
【整理数据】：
年级 80＜x≤85 85＜x≤90 90＜x≤95 95＜x≤100
七年级 2 m 2 4
八年级 1 2 3 4
【分析数据】：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 92 a b 45.8
八年级 94 100 c 38.2
根据以上提供的信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）该校七年级学生有300人，全部参加竞赛，请估计七年级成绩高于90分的人数；
（3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可）
19．（8分）六府塔公园因其是隋代建筑“六府塔”遗址而得名，坐落于长治市城区解放西街北侧西寺巷，现今遗存的残塔仅剩塔座部分，后经市委市政府修缮，在塔基的旁边重新修建了一座六府塔，现在早已成为了人们休闲纳凉锻炼的场所．周日实验中学学生想用一些测量工具和所学的几何知识测量新六府塔的高度，并检验自己掌握知识和应用知识的能力．他们携带的工具有：小镜子，卷尺，标杆，测角仪等．
如图：小王在小张和六府塔之间的直线BM上平放一个平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上对应位置为点C，镜子不动，小张看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，同时小王用测角仪测量，测得以下数据：
①ED＝1.8m，②CD＝2.4m，③点C处测得塔顶A处的仰角为37°；
然后小张从点D沿DM方向走了7.6m，到达塔影的末端F处，在F处放置一根标杆FG，此时标杆FG的影长为FH，测得以下数据：
④FH＝2.5m，⑤FG＝1.5m，⑥点F处测得塔顶A处的仰角为31°；
如图：已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时使用的平面镜的厚度及测角仪的高度忽略不计，请你根据题目中的数据选择必须的数据计算六府塔的高度．
（1）你所选的数据是 （注意：填序号，但你所选的数据必须用到，多选或者少选均不得分）
（2）计算过程：（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
20．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y的图象交于A、B两点，且A点坐标为（﹣2，1），一次函数交x轴于点C．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出使反比例函数大于一次函数的x的取值范围．
21．（8分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°，若⊙O的半径长4cm，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）如图，用40m的篱笆围成一个边靠墙的矩形场地，墙长15m．垂直于墙的边长为xm．围成的矩形场地的面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求这个矩形场地面积的最大值．
23．（11分）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）操作判断
如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF＝5，则GH的长为 ；
如图2，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF＝8，则GH的长为 ；
（2）迁移探究
如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，且AE⊥BD，试证明；
（3）拓展应用
如图4，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G．当F为AE的三等分点时，请直接写出GH的长．
24．（12分）已知点A（﹣m，0）和B（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上，该图象与y轴交于点C．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点M（n，3）且点M不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）若a＜0，m＞0，且∠OBC＝30°，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点D，求出的最大值及此时点P的坐标．
