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安徽省2025年中考数学模拟卷（二）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在2，﹣1.7，1，这四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B． C．2 D．﹣17
【思路点拔】先估算的大小，然后根据正数大于负数，进行比较即可．
【解答】解：∵，
∴﹣1.7＜12，
∴这4个数中，最大的数是2，
故选：C．
2．（3分）如图，索玛立方块是由丹麦数学家皮亚特 海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元，拼成一个3×3×3的立方体，有400多种拼法，则下列四个积木单元中，俯视图面积最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据各个选项中的组合体的俯视图的大小进行判断即可．
【解答】解：选项A、B、C中的几何体的俯视图的面积均是3个平方单位，而选项D中的组合体的俯视图的面积是4个平方单位，
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a2＝a6 B．a5 a2＝a7
C．（ab5）2＝ab10 D．a10÷a2＝a5
【思路点拔】直接利用整式的乘除运算法则以及积的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a4+a2，无法计算，故此选项错误；
B、a5 a2＝a7，正确；
C、（ab5）2＝a2b10，故此选项错误；
D、a10÷a2＝a7，故此选项错误；
故选：B．
4．（3分）如图，已知a∥b，c∥d，∠1＝60°，则∠2＝（ ）
A．120° B．150° C．30° D．60°
【思路点拔】根据a∥b可得∠3＝∠1＝60°，根据c∥d可得∠2＝∠3＝60°．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
∵c∥d，
∴∠2＝∠3＝60°，
故选：D．
5．（3分）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：1＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
6．（3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题，原题如下：“九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意为：用999文钱，可以买甜果和苦果共1000个，买9个甜果需要11文钱，买7个苦果需要4文钱，问买甜果和苦果的数量各多少个？设买甜果、苦果的数量分别为x个、y个，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】根据用999文钱可以买甜果和苦果共1000个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：C．
7．（3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
②以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
③连结BD、BC．
则下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC是正三角形 B．∠CBD＝30°
C．点C在BD的中垂线上 D．cosD
【思路点拔】根据等边三角形的判定方法判断A，再利用三角形的外角定义判定B，利用等腰三角形的性质判断C，用特殊角的三角函数判断D即可．
【解答】解：由作图可知：AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，故A正确，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
由作图可知：BC＝DC，
∴∠CBD＝∠D＝30°，故B正确，不符合题意；
∵△CDB是等腰三角形，
∴点C在BD的中垂线是上，故C正确，不符合题意；
∵∠A＝60°，∠D＝30°，
∴cosD，故D错误，符合题意，
故选：D．
8．（3分）如图，⊙O中，OC⊥AB于E，∠D＝30°，CE＝2，则弦AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
【思路点拔】根据垂径定理求出AE＝BEAB，∠BOC＝2∠D＝60°，根据直角三角形的性质求出OB＝4，OE＝2，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵OC⊥AB于E，
∴，AE＝BEAB，
∴∠BOC＝2∠D＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE，
∵OE＝OC﹣CE＝OB﹣CE，CE＝2，
∴OE＝OB﹣2，
∴OB＝OB﹣2，
∴OB＝4，
∴OE＝2，
∴BE2，
∴AB＝4，
故选：B．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的中点，AC＝8，BD＝6．则线段OE的长为（ ）
A． B． C．3 D．5
【思路点拔】由菱形的性质得BO＝DO＝3，AO＝CO＝4，AC⊥BD，再由勾股定理得CD＝5，然后证OE为△DBC的中位线，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴BO＝DO＝3，AO＝CO＝4，AC⊥BD，
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD5，
∵点E为BC的中点，
∴OE为△DBC的中位线，
∴OECD．
故选：B．
10．（3分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【思路点拔】根据抛物线的对称性、抛物线与x轴的交点判断即可．
【解答】解：对于y＝x2+ax+b，二次项系数为1＞0，
∴抛物线开口向上，
当图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的一个交点为（3，0）时，
图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），图象与x轴的交点在原点两侧，
∴乙是假命题，
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：2 ．
【思路点拔】先利用二次根式的乘法法则，再把结果化简成最简二次根式．
【解答】解：原式＝2
＝2
．
12．（3分）若一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为a和b，则3ab﹣a﹣b的值为 0 ．
【思路点拔】先由根与系数的关系得出a+b＝3，ab＝1，再代入3ab﹣a﹣b＝3ab﹣（a+b）计算可得．
【解答】解：根据题意知a+b＝3，ab＝1，
则3ab﹣a﹣b
＝3ab﹣（a+b）
＝3×1﹣3
＝0．
故答案为：0．
13．（3分）某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨3元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨3元收费，超过的部分按每吨4.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）若每月用水量不超过20吨，则y与x之间的关系式为 y＝3x ．
（2）若该户四月份平均水费为每吨3.7元，则该户四月份的用水量为 37.5 吨．
【思路点拔】（1）通过题目分析，用水不超过20吨时，y与x之间的关系式为y＝3x；
（2）由该户四月份平均水费为每吨3.7元，判断出该用户用水超过20吨，再根据等量关系进行计算，列出方程解得答案．
【解答】解：（1）若每月用水量不超过20吨，设用水量为x吨，应收水费为y元，
由题意可得关系式：y＝3x，
故答案为：y＝3x；
（2）∵该用户四月份平均水费为每吨3.7元，
∴该用户用水超过20吨，
设该用户四月用水a吨，则有，
3.7a＝3×20+（a﹣20）×4.5，
解得a＝37.5，
故答案为：37.5．
14．（3分）一个抽号箱中装有四个小球，上面分别写有数字1，2，3，4，它们除所标数字不一样，其他完全相同，现从抽号箱中随机摸出两个小球，它们的数字之积是奇数的概率为 ．
【思路点拔】画树状图，共有12种等可能的结果，其中摸出两个小球，它们的数字之积是奇数的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中摸出两个小球，它们的数字之积是奇数的结果有2种，
∴摸出两个小球，它们的数字之积是奇数的概率为，
故答案为：．
15．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，连结BD，将矩形ABCD绕点B旋转至矩形A′BC′D′使得边A′D′经过BD中点O，并交BC于点E，若D′E＝2A′O，则的值为 ．
【思路点拔】延长D'A'交AD于点F，连接BF，AC，DE，先证Rt△BAF和Rt△BA'F全等，得出AF＝A'F，再证△OAF和△OCE全等，得出AF＝CE，进而证四边形BEDF为平行四边形，得出OE＝OF，设AF＝x，A'O＝a，则OE＝OF＝x+a，D′E＝2A′O＝2a，EF＝2OF＝2x+2a，AD＝A'D＝x+4a，DF＝BE＝AD﹣AF＝4a，A'E＝x+2a，根据S平行四边形BEDF＝2S△BEF得，由此得x＝a，进而得AD＝5a，A'E＝3a，然后在Rt△A'BE中利用勾股定理求出A'E，据此可得出答案．
【解答】解：延长D'A'交AD于点F，连接BF，AC，DE，
∵四边形ABCD为矩形，点O对角线BD的中点，
∴AC经过点O，AD＝BC，AD∥BC，
∴OA＝OC，∠OAF＝∠OCE，
由旋转的性质可知：AB＝A'B，∠BAF＝∠BA'O＝90°，
在Rt△BAF和Rt△BA'F中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△BA'F（HL），
∴AF＝A'F，
在△OAF和△OCE中，
，
∴△OAF≌△OCE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AD＝BC，AD∥BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴OE＝OF，
设AF＝x，A'O＝a，
∴OE＝OF＝x+a，D′E＝2A′O＝2a，
∴EF＝2OF＝2x+2a，AD＝A'D＝x+4a，
∴DF＝BE＝AD﹣AF＝4a，A'E＝x+2a，
∵EF为平行四边形BEDF的对角线，
∵S平行四边形BEDF＝2S△BEF，
∴，
∴，
∵AB＝A'B，
∴4a＝2x+2a，
∴x＝a，
∴AD＝x+4a＝5a，A'E＝x+2a＝3a，
在Rt△A'BE中，A'E＝3a，BE＝4a，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）计算：．
【思路点拔】化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后再计算．
【解答】解：原式1﹣（﹣3）
＝1+3
＝4．
17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
（2）若四边形ABEF的周长为40，AE，BF相交于点O，且BF＝10，求AE的长．
【思路点拔】（1）由作图过程可知，AB＝AF，AO⊥BF，结合平行四边形的性质以及菱形的判定可得结论．
（2）由菱形的性质可得AB＝10，OA＝OE，∠AOB＝90°．利用勾股定理求出AO的长，根据AE＝2AO可得答案．
【解答】解：（1）四边形ABEF为菱形．
理由：由作图过程可知，AB＝AF，AO⊥BF，
∴△ABF为等腰三角形，
∴AE垂直平分BF，
∴OB＝OF，BE＝EF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBF，
∵∠AOF＝∠EOB，
∴△AOF≌△EOB（ASA），
∴AF＝BE，
∴AB＝AF＝BE＝EF，
∴四边形ABEF为菱形．
（2）∵四边形ABEF的周长为40，四边形ABEF为菱形，
∴AB＝10，OA＝OE，∠AOB＝90°．
∵BF＝10，
∴OB＝5，
∴AO，
∴AE＝2AO．
18．（6分）疫情期间，为确保师生安全，教育部提出了“停课不停学”的号召．为了解网课的学习效果，便于后续教学工作的开展．李老师对所教的A班和B班各50名同学进行了定时测试，并分别随机抽取了10名同学，对他们的成绩进行整理分析，过程如下：
[收集数据]
A班学生成绩：85，80，72，81，90，98，76，95，81，92
B班学生成绩：91，78，96，69，80，85，94，80，88，89
[整理数据]
成绩x（分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
A班 0 2 4 4
B班 1 1 a 3
[分析数据]
统计量 平均数 中位数 众数 方差
A班 85 b 81 d
B班 85 86.5 c 61.8
[应用数据]
（1）填空：a＝ 5 ，b＝ 83 ，c＝ 80 ，d＝ 65 ；
（2）请估计A班成绩大于等于90分的人数；
（3）根据以上数据，任选两个角度评价哪个班同学的网课学习效果更好．理由是什么？
【思路点拔】（1）根据题目中给出的数据，可以得出a，再根据中位数、众数以及方差公式即可得出b、c、d；
（2）用总人数乘以A班成绩大于等于90分的人数所占的百分比即可；
（3）根据题目中的数据，可以得到哪个班同学的网课学习效果更好，然后说明理由即可．
【解答】解：（1）由题目中的数据可得：a＝5，
把这些数从小到大排列为：72，76，80，81，81，85，90，92，95，98，
中位数b83，
80出现了2次，出现的次数最多，
则众数c＝80，
A班的方差d[（85﹣85）2+（80﹣85）2+（72﹣85）2+（81﹣85）2+（90﹣85）2+（98﹣85）2+（76﹣85）2+（95﹣85）2+（81﹣85）2+（92﹣85）2]＝65；
故答案为：5，83，80，65；
（2）根据题意得：5020（人）．
答：估估计A班成绩大于等于90分的人数有20人；
（3）B班同学的网课学习效果更好，
理由：B班的中位数大于A班，方差小于A班．
19．（8分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度（参考数据：sin55°58'≈0.83，cos55°58'≈0.56，tan55°58'≈1.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）
【思路点拔】解直角三角形求出CD，BD，根据BC＝CD﹣BD求解即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD，
∴1.48，
∵AD＝80米，
∴BD＝118.4（米），
在Rt△CAD中，∵tan∠CAD，
∴1.54，
∴CD＝123.2（米），
∴BC＝CD﹣BD＝4.8（米）．
答：避雷针BC的长度为4.8米．
20．（8分）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象．
x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ……
y …… 1 2 4 1 a 0 ﹣4 b ﹣1 ……
请根据图象解答：
（1）【观察发现】①完成描点，把图象补充完整；
②表格中：a＝ ，b＝ ﹣2
③写出函数的一条性质： 函数有最大值为4 ；
④若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0． 错 （填“对或错”）
（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n（n≥0）个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
【思路点拔】（1）①根据表格描点连线即可；
②把x，x＝2代入函数解析式分别求得a、b的值；
③根据函数图象可得性质；
④假设x1，则y1＝1，再根据x2求出y2的值，可知y1+y2＝0不一定成立；
（2）①首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x，设直线AB与y轴交于C，利用平行线之间的距离相等，可得△PAB的面积＝△AOB的面积，从而得出答案；
②设直线l与y轴交于D，同理得△PAB的面积＝△ABD的面积，即可解决问题．
【解答】解：（1）①根据表格描点连线，如图：
②把x，代入函数解析得y＝4x2，
所以a；
把x＝2代入函数解析式得y2，
所以b＝﹣2；
故答案为：，﹣2；
③由图象知：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
故答案为：函数有最大值为4（答案不唯一）；
④假设x1，
则y1＝1，
∵x1+x2＝0，
∴x2，
∴y2＝﹣8，
∴y1+y2＝0不一定成立，
故答案为：错；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x，
设直线AB与y轴交于C，
则△PAB的面积＝△AOB的面积，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，
∴△PAB的面积为；
②设直线l与y轴交于D，
∵l∥AB，
∴△PAB的面积＝△ABD的面积，
由题意知，CD＝n，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD
．
∴△PAB的面积为．
21．（8分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°，若⊙O的半径长4cm，求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PAOB中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝120°，
∴∠APB＝360°﹣（90°+90°+120°）＝60°．
∴∠APB＝60°，
连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APOAPB＝30°，
在Rt△APO中，tan30°，
∴AP4（cm），
∴S阴影＝2S△AOP﹣S扇形＝2×（4×4）＝（16）（cm2）．
22．（10分）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴、西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数表达式yx，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹近似满足抛物线yx2+bx+c，当无人机飞越坡底上空时（即点D，与地面的距离为20米．
（1）求无人机飞行轨迹的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；
（3）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
【思路点拔】（1）把点 B（﹣10，0），D（0，20）代入，解答即可；
（2）根据已知求得无人机与山坡的竖直距离d，把x＝20代入求得即可；
（3）无人机与山坡的竖直距离d，d的最小值与9比较即可得解．
【解答】解：（1）由题意可知，点 B（﹣10，0），D（0，20），将B，D坐标分别代入ybx+c，
得：，
解得：，
∴无人机飞行轨迹的函数表达式 为；
令y＝0，则
解得：x1＝﹣10，x2＝100，
∴x的取值范围为﹣10≤x≤100；
（2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米 时，x＝30﹣10＝20，
∵无人机与山坡的竖直距离dx，
∴当x＝20时，d20＝13（米），
答：当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，无人机与山坡的竖直距离d为13米；
（3）安全，理由如下：
由（2）知，d，
∵，
∴x＝45时，d有最小值，
∴无人机此次飞行是安全的．
23．（11分）【问题发现】
（1）如图1，老师将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，求BE与DG的数量关系和位置关系；
【类比探究】
（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若，求BE的长．
【拓展延伸】
（3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG如图
3，AD＝5，AC＝6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得，连接PQ，QC，当时，直接写出AP的长．
【思路点拔】（1）可证明△BAE≌△DAG，从而BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，进一步得出结论；
（2）作AH⊥DE于H，可依次求得EG＝5，AH，GH，解直角三角形Rt△ADH求得DH，DG＝4，可证明△ABE∽△ADC，从而，从而得出BE；
（3）分为两种情形：当Q在AF上时，连接BD，交AC于T，作CH⊥AF，交AF的延长线于H，作CR∥AC，交AF于R，可证得∠DAC＝∠GAF，，从而得出△DAT∽△PAQ，从而∠PQA＝∠ATD＝90°，可推出∠CQH＝∠APQ，从而tan∠CQH＝tan∠APQ，从而得出，设CH＝3x，QH＝4x，可求得tan∠CAH，从而，从而得出AH＝2CH＝6x，进而得出（6x）2+（3x）2＝62，得出x，进而得出结果；当Q在AF的延长线上时，同样方法得出结果．
【解答】解：（1）如图1，
设DG和BE的延长线交于H，DH和AB交于O，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AD＝AB，AG＝AE，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，
∵∠AOD＝∠BOH，
∴∠BHO＝∠DAO＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）如图2，
作AH⊥DE于H，
∵四边形AEFG是矩形，
∴∠EAC＝90°，
∵AE＝3，AG＝4，
∴EG＝5，
由S△EAGEG AH得，
5AH＝12，
∴AH，
∴GH，
在Rt△ADH中，，AH，
∴DH，
∴DG＝DH﹣CH4，
∵矩形ABCD∽矩形AEFG，
∴∠EAG＝∠BAD，，
∴∠BAE＝∠DAC，
∴△ABE∽△ADC，
∴，
∴BE；
（3）如图3，
当Q在AF上时，
连接BD，交AC于T，作CH⊥AF，交AF的延长线于H，作CR∥AC，交AF于R，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，ATAC＝3，
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠DAB＝∠GAE，∠DAC，∠GAF，
∴∠DAC＝∠GAF，
∴∠DAG＝∠CAF，
∵AG平分∠DAC，
∴∠DAG，
∴∠CAF，
∴∠DAC＝∠GAF，
∵，
∴△DAT∽△PAQ，
∴∠PQA＝∠ATD＝90°，
∴tan∠PAQ，∠PAQ+∠APQ＝90°，
∵tan∠PQC，
∴∠PAQ＝∠PQC，
∴∠CQH＝∠APQ，
∴tan∠CQH＝tan∠APQ，
∴，
设CH＝3x，QH＝4x，
如图4，
tan∠CAH，
∴，
∴AH＝2CH＝6x，
∴（6x）2+（3x）2＝62，
∴x，
∴AQ＝2x，
∴AP，
如图5，
当Q在AF的延长线上时，
由上可知：AQ＝4x+6x＝10x，
∴AQ＝104，
∴AP，
综上所述：AQ或．
24．（12分）已知点A（﹣m，0）和B（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上，该图象与y轴交于点C．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点M（n，3）且点M不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）若a＜0，m＞0，且∠OBC＝30°，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点D，求出的最大值及此时点P的坐标．
【思路点拔】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）y＝ax2+bx+3的图象过点A（﹣n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，则由图象的对称性得﹣n＝2m，且n≠0，即mn，即可求解；
（3）由PH∥y轴，则△PHD∽△OCD，则[（x2x+3）﹣（x+3）]（x2x），即可求解．
【解答】解：（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx+3，
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+3，
即a＝b＝﹣1；
（2）∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（﹣n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得﹣n＝2m，且n≠0，
∴mn，
∵﹣2＜m＜1，
∴﹣2n＜1，
∴﹣2＜n＜4，
∴n的取值范围为﹣2＜n＜4且n≠0；
（3）∵∠OBC＝30°，
则tan∠OBC，则BO＝33m，
则m，
则点A、B的坐标分别为：（，0）、（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣9），
则﹣9a＝3，
解得：a，
则抛物线的表达式为：yx2x+3，则点C（0，3），OC＝3，
由点C、B的坐标得，直线BC的表达式为：yx+3，
过点P作PH∥y轴交BC于点H，
设点P（x，x2x+3），则点H（x，x+3），
∵PH∥y轴，
则△PHD∽△OCD，
则[（x2x+3）﹣（x+3）]（x2x），
∵（）＜0，
则有最大值为，此时点P（，）．中小学教育资源及组卷应用平台
安徽省2025年中考数学模拟卷（二）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在2，﹣1.7，1，这四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B． C．2 D．﹣17
2．（3分）如图，索玛立方块是由丹麦数学家皮亚特 海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元，拼成一个3×3×3的立方体，有400多种拼法，则下列四个积木单元中，俯视图面积最大的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a2＝a6 B．a5 a2＝a7
C．（ab5）2＝ab10 D．a10÷a2＝a5
4．（3分）如图，已知a∥b，c∥d，∠1＝60°，则∠2＝（ ）
A．120° B．150° C．30° D．60°
5．（3分）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题，原题如下：“九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意为：用999文钱，可以买甜果和苦果共1000个，买9个甜果需要11文钱，买7个苦果需要4文钱，问买甜果和苦果的数量各多少个？设买甜果、苦果的数量分别为x个、y个，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
②以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
③连结BD、BC．
则下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC是正三角形 B．∠CBD＝30°
C．点C在BD的中垂线上 D．cosD
8．（3分）如图，⊙O中，OC⊥AB于E，∠D＝30°，CE＝2，则弦AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的中点，AC＝8，BD＝6．则线段OE的长为（ ）
A． B． C．3 D．5
10．（3分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：2 ．
12．（3分）若一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为a和b，则3ab﹣a﹣b的值为 ．
13．（3分）某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨3元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨3元收费，超过的部分按每吨4.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）若每月用水量不超过20吨，则y与x之间的关系式为 ．
（2）若该户四月份平均水费为每吨3.7元，则该户四月份的用水量为 吨．
14．（3分）一个抽号箱中装有四个小球，上面分别写有数字1，2，3，4，它们除所标数字不一样，其他完全相同，现从抽号箱中随机摸出两个小球，它们的数字之积是奇数的概率为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，连结BD，将矩形ABCD绕点B旋转至矩形A′BC′D′使得边A′D′经过BD中点O，并交BC于点E，若D′E＝2A′O，则的值为 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）计算：．
17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
（2）若四边形ABEF的周长为40，AE，BF相交于点O，且BF＝10，求AE的长．
18．（6分）疫情期间，为确保师生安全，教育部提出了“停课不停学”的号召．为了解网课的学习效果，便于后续教学工作的开展．李老师对所教的A班和B班各50名同学进行了定时测试，并分别随机抽取了10名同学，对他们的成绩进行整理分析，过程如下：
[收集数据]
A班学生成绩：85，80，72，81，90，98，76，95，81，92
B班学生成绩：91，78，96，69，80，85，94，80，88，89
[整理数据]
成绩x（分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
A班 0 2 4 4
B班 1 1 a 3
[分析数据]
统计量 平均数 中位数 众数 方差
A班 85 b 81 d
B班 85 86.5 c 61.8
[应用数据]
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）请估计A班成绩大于等于90分的人数；
（3）根据以上数据，任选两个角度评价哪个班同学的网课学习效果更好．理由是什么？
19．（8分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度（参考数据：sin55°58'≈0.83，cos55°58'≈0.56，tan55°58'≈1.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）
20．（8分）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象．
x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ……
y …… 1 2 4 1 a 0 ﹣4 b ﹣1 ……
请根据图象解答：
（1）【观察发现】①完成描点，把图象补充完整；
②表格中：a＝ ，b＝
③写出函数的一条性质： ；
④若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0． （填“对或错”）
（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n（n≥0）个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
21．（8分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°，若⊙O的半径长4cm，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴、西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数表达式yx，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹近似满足抛物线yx2+bx+c，当无人机飞越坡底上空时（即点D，与地面的距离为20米．
（1）求无人机飞行轨迹的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；
（3）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
23．（11分）【问题发现】
（1）如图1，老师将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，求BE与DG的数量关系和位置关系；
【类比探究】
（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若，求BE的长．
【拓展延伸】
（3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG如图
3，AD＝5，AC＝6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得，连接PQ，QC，当时，直接写出AP的长．
24．（12分）已知点A（﹣m，0）和B（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上，该图象与y轴交于点C．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点M（n，3）且点M不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）若a＜0，m＞0，且∠OBC＝30°，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点D，求出的最大值及此时点P的坐标．
