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安徽省2025年中考数学模拟卷（四）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）以下四个数，最小的是（ ）
A．﹣π B．﹣3 C．0 D．2
2．（3分）如图所示几何体，从左面看是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝2a3 B．a8÷a2＝a4 C．a3 a2＝a4 D．（a3）2＝a6
4．（3分）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1＝72°，则光线与纸板左上方所成的∠2的度数是（ ）
A．144° B．118° C．72° D．68°
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十二：人出七，余四：问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差42钱：若每人出7钱，多余4钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
②以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
③连结BD、BC．
则下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC是正三角形 B．∠CBD＝30°
C．点C在BD的中垂线上 D．cosD
8．（3分）如图，⊙O中，OC⊥AB于E，∠D＝30°，CE＝2，则弦AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
9．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，E为边BC的中点，连接OE，则线段OE的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
10．（3分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是x＝2，则a的值为 ．
13．（3分）某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨3元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨3元收费，超过的部分按每吨4.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）若每月用水量不超过20吨，则y与x之间的关系式为 ．
（2）若该户四月份平均水费为每吨3.7元，则该户四月份的用水量为 吨．
14．（3分）甲、乙、丙、丁四人外出旅游时准备站成一排拍照合影留念，则甲和乙相邻的概率为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，连结BD，将矩形ABCD绕点B旋转至矩形A′BC′D′使得边A′D′经过BD中点O，并交BC于点E，若D′E＝2A′O，则的值为 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）计算：．
17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
（2）若四边形ABEF的周长为40，AE，BF相交于点O，且BF＝10，求AE的长．
18．（6分）疫情期间，为确保师生安全，教育部提出了“停课不停学”的号召．为了解网课的学习效果，便于后续教学工作的开展．李老师对所教的A班和B班各50名同学进行了定时测试，并分别随机抽取了10名同学，对他们的成绩进行整理分析，过程如下：
[收集数据]
A班学生成绩：85，80，72，81，90，98，76，95，81，92
B班学生成绩：91，78，96，69，80，85，94，80，88，89
[整理数据]
成绩x（分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
A班 0 2 4 4
B班 1 1 a 3
[分析数据]
统计量 平均数 中位数 众数 方差
A班 85 b 81 d
B班 85 86.5 c 61.8
[应用数据]
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）请估计A班成绩大于等于90分的人数；
（3）根据以上数据，任选两个角度评价哪个班同学的网课学习效果更好．理由是什么？
19．（8分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．
（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）
（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：1.4，1.7）
20．（8分）阅读以下材料：
如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子：
例：已知x＞0，求函数y＝x的最小值．
解：令a＝x，b，则由a+b≥2，得y＝x4，当且仅当x时，即x＝2时，函数有最小值，最小值为4．
根据上面回答下列问题：
①已知x＞0，则当x＝ 时，函数y＝2x取到最小值，最小值为 ；
②已知x＞0，则自变量x取何值时，函数y有最小值，并求出最小值．
21．（8分）如图，AB与半径长为6的⊙O相切于点A，点C在⊙O上且OC∥AB，连接AC，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为x轴，CB为y轴建立平面直角坐标系．
（1）画出平面直角坐标系，并求当k＝4时，这条抛物线的解析式；
（2）当k＝5时，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中CE米．CF＝5米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
23．（11分）如图1，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，连接AE，将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，延长EF交CD于点G．
（1）求证：DG＝FG；
（2）如图2，当点E是BC中点时，求tan∠CGE的值；
（3）如图3，当时，连接CF并延长交AB于点H，求的值．
24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C，直线y＝﹣2x+3经过点C，与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），是否存在△PCD是以CD为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
安徽省2025年中考数学模拟卷（四）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）以下四个数，最小的是（ ）
A．﹣π B．﹣3 C．0 D．2
【思路点拔】根据实数比较大小的法则可得答案
解：∵﹣π＜﹣3＜0＜2，
∴最小的是﹣π．
故选：A．
2．（3分）如图所示几何体，从左面看是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】从左面看到的是左面位置上下三个正方形，右面的下方一个正方形，由此得出答案即可．
解：从左面看共有两列，从左到右小正方形的个数分别为3、1．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝2a3 B．a8÷a2＝a4 C．a3 a2＝a4 D．（a3）2＝a6
【思路点拔】A、经过分析发现，a与2a2不是同类项，不能合并，本选项错误；
B、利用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，即可计算出结果；
C、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可计算出结果；
D、根据积的乘方法则，底数不变，指数相乘，即可计算出结果．
解：A、因为a与2a2不是同类项，所以不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B、a8÷a2＝a6，故本选项错误，不符合题意；
C、a3 a2＝a5，故本选项错误，不符合题意；
D、（a3）2＝a6，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1＝72°，则光线与纸板左上方所成的∠2的度数是（ ）
A．144° B．118° C．72° D．68°
【思路点拔】解法一：根据平行四边的性质即可求解．
解法二：根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可求解．
解：解法一：如图，
由题意可得，AB∥CD，AC∥BD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠1＝∠2＝72°．
解法二：由题意可得，AB∥CD，AC∥BD，
∵∠1＝72°，AC∥BD，
∴∠ACD＝180°﹣∠1＝108°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠ACD＝72°．
故选：C．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解：，
解①得，x＞﹣2，
解②得，x≥﹣1，
∴不等式组的解集为x≥﹣1，
故选：D．
6．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十二：人出七，余四：问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差42钱：若每人出7钱，多余4钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：依题意，得：．
故选：B．
7．（3分）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
②以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
③连结BD、BC．
则下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC是正三角形 B．∠CBD＝30°
C．点C在BD的中垂线上 D．cosD
【思路点拔】根据等边三角形的判定方法判断A，再利用三角形的外角定义判定B，利用等腰三角形的性质判断C，用特殊角的三角函数判断D即可．
解：由作图可知：AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，故A正确，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
由作图可知：BC＝DC，
∴∠CBD＝∠D＝30°，故B正确，不符合题意；
∵△CDB是等腰三角形，
∴点C在BD的中垂线是上，故C正确，不符合题意；
∵∠A＝60°，∠D＝30°，
∴cosD，故D错误，符合题意，
故选：D．
8．（3分）如图，⊙O中，OC⊥AB于E，∠D＝30°，CE＝2，则弦AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
【思路点拔】根据垂径定理求出AE＝BEAB，∠BOC＝2∠D＝60°，根据直角三角形的性质求出OB＝4，OE＝2，再根据勾股定理求解即可．
解：∵OC⊥AB于E，
∴，AE＝BEAB，
∴∠BOC＝2∠D＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE，
∵OE＝OC﹣CE＝OB﹣CE，CE＝2，
∴OE＝OB﹣2，
∴OB＝OB﹣2，
∴OB＝4，
∴OE＝2，
∴BE2，
∴AB＝4，
故选：B．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，E为边BC的中点，连接OE，则线段OE的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
【思路点拔】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝4，由勾股定理可求BC的长，由直角三角形的性质可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝4，
∴，
∵E是边BC的中点，∠BOC＝90°，
∴OEBC，
故选：C．
10．（3分）某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题：
甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）；
乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）；
丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【思路点拔】根据抛物线的对称性、抛物线与x轴的交点判断即可．
解：对于y＝x2+ax+b，二次项系数为1＞0，
∴抛物线开口向上，
当图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的一个交点为（3，0）时，
图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），图象与x轴的交点在原点两侧，
∴乙是假命题，
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）化简：
（1） 12 ；
（2） 2 ；
（3） 4 ；
（4） ；
（5） ；
（6） 12 ．
【思路点拔】利用二次根式的性质计算得结论．
解：（1）3×4＝12；
（2）2；
（3）4；
（4）；
（5）；
（6）3×4＝12．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是x＝2，则a的值为 5 ．
【思路点拔】把x＝2代入求值即可．
解：把x＝2代入可得22﹣2a+6＝0，
解得a＝5，
故答案为：5．
13．（3分）某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨3元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨3元收费，超过的部分按每吨4.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）若每月用水量不超过20吨，则y与x之间的关系式为 y＝3x ．
（2）若该户四月份平均水费为每吨3.7元，则该户四月份的用水量为 37.5 吨．
【思路点拔】（1）通过题目分析，用水不超过20吨时，y与x之间的关系式为y＝3x；
（2）由该户四月份平均水费为每吨3.7元，判断出该用户用水超过20吨，再根据等量关系进行计算，列出方程解得答案．
解：（1）若每月用水量不超过20吨，设用水量为x吨，应收水费为y元，
由题意可得关系式：y＝3x，
故答案为：y＝3x；
（2）∵该用户四月份平均水费为每吨3.7元，
∴该用户用水超过20吨，
设该用户四月用水a吨，则有，
3.7a＝3×20+（a﹣20）×4.5，
解得a＝37.5，
故答案为：37.5．
14．（3分）甲、乙、丙、丁四人外出旅游时准备站成一排拍照合影留念，则甲和乙相邻的概率为 ．
【思路点拔】画树状图，共有24种等可能的情况，其中甲和乙相邻的情况有12种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有24种等可能的情况，其中甲和乙相邻的情况有12种，
∴甲和乙相邻的概率为，
故答案为：．
15．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，连结BD，将矩形ABCD绕点B旋转至矩形A′BC′D′使得边A′D′经过BD中点O，并交BC于点E，若D′E＝2A′O，则的值为 ．
【思路点拔】延长D'A'交AD于点F，连接BF，AC，DE，先证Rt△BAF和Rt△BA'F全等，得出AF＝A'F，再证△OAF和△OCE全等，得出AF＝CE，进而证四边形BEDF为平行四边形，得出OE＝OF，设AF＝x，A'O＝a，则OE＝OF＝x+a，D′E＝2A′O＝2a，EF＝2OF＝2x+2a，AD＝A'D＝x+4a，DF＝BE＝AD﹣AF＝4a，A'E＝x+2a，根据S平行四边形BEDF＝2S△BEF得，由此得x＝a，进而得AD＝5a，A'E＝3a，然后在Rt△A'BE中利用勾股定理求出A'E，据此可得出答案．
解：延长D'A'交AD于点F，连接BF，AC，DE，
∵四边形ABCD为矩形，点O对角线BD的中点，
∴AC经过点O，AD＝BC，AD∥BC，
∴OA＝OC，∠OAF＝∠OCE，
由旋转的性质可知：AB＝A'B，∠BAF＝∠BA'O＝90°，
在Rt△BAF和Rt△BA'F中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△BA'F（HL），
∴AF＝A'F，
在△OAF和△OCE中，
，
∴△OAF≌△OCE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AD＝BC，AD∥BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴OE＝OF，
设AF＝x，A'O＝a，
∴OE＝OF＝x+a，D′E＝2A′O＝2a，
∴EF＝2OF＝2x+2a，AD＝A'D＝x+4a，
∴DF＝BE＝AD﹣AF＝4a，A'E＝x+2a，
∵EF为平行四边形BEDF的对角线，
∵S平行四边形BEDF＝2S△BEF，
∴，
∴，
∵AB＝A'B，
∴4a＝2x+2a，
∴x＝a，
∴AD＝x+4a＝5a，A'E＝x+2a＝3a，
在Rt△A'BE中，A'E＝3a，BE＝4a，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）计算：．
【思路点拔】先化简二次根式，计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合运算法则求解即可．
解：原式
．
17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
（2）若四边形ABEF的周长为40，AE，BF相交于点O，且BF＝10，求AE的长．
【思路点拔】（1）由作图过程可知，AB＝AF，AO⊥BF，结合平行四边形的性质以及菱形的判定可得结论．
（2）由菱形的性质可得AB＝10，OA＝OE，∠AOB＝90°．利用勾股定理求出AO的长，根据AE＝2AO可得答案．
解：（1）四边形ABEF为菱形．
理由：由作图过程可知，AB＝AF，AO⊥BF，
∴△ABF为等腰三角形，
∴AE垂直平分BF，
∴OB＝OF，BE＝EF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBF，
∵∠AOF＝∠EOB，
∴△AOF≌△EOB（ASA），
∴AF＝BE，
∴AB＝AF＝BE＝EF，
∴四边形ABEF为菱形．
（2）∵四边形ABEF的周长为40，四边形ABEF为菱形，
∴AB＝10，OA＝OE，∠AOB＝90°．
∵BF＝10，
∴OB＝5，
∴AO，
∴AE＝2AO．
18．（6分）疫情期间，为确保师生安全，教育部提出了“停课不停学”的号召．为了解网课的学习效果，便于后续教学工作的开展．李老师对所教的A班和B班各50名同学进行了定时测试，并分别随机抽取了10名同学，对他们的成绩进行整理分析，过程如下：
[收集数据]
A班学生成绩：85，80，72，81，90，98，76，95，81，92
B班学生成绩：91，78，96，69，80，85，94，80，88，89
[整理数据]
成绩x（分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
A班 0 2 4 4
B班 1 1 a 3
[分析数据]
统计量 平均数 中位数 众数 方差
A班 85 b 81 d
B班 85 86.5 c 61.8
[应用数据]
（1）填空：a＝ 5 ，b＝ 83 ，c＝ 80 ，d＝ 65 ；
（2）请估计A班成绩大于等于90分的人数；
（3）根据以上数据，任选两个角度评价哪个班同学的网课学习效果更好．理由是什么？
【思路点拔】（1）根据题目中给出的数据，可以得出a，再根据中位数、众数以及方差公式即可得出b、c、d；
（2）用总人数乘以A班成绩大于等于90分的人数所占的百分比即可；
（3）根据题目中的数据，可以得到哪个班同学的网课学习效果更好，然后说明理由即可．
解：（1）由题目中的数据可得：a＝5，
把这些数从小到大排列为：72，76，80，81，81，85，90，92，95，98，
中位数b83，
80出现了2次，出现的次数最多，
则众数c＝80，
A班的方差d[（85﹣85）2+（80﹣85）2+（72﹣85）2+（81﹣85）2+（90﹣85）2+（98﹣85）2+（76﹣85）2+（95﹣85）2+（81﹣85）2+（92﹣85）2]＝65；
故答案为：5，83，80，65；
（2）根据题意得：5020（人）．
答：估估计A班成绩大于等于90分的人数有20人；
（3）B班同学的网课学习效果更好，
理由：B班的中位数大于A班，方差小于A班．
19．（8分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．
（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）
（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：1.4，1.7）
【思路点拔】（1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N．设CN＝x米，分别表示出EM、AM的长度，然后在Rt△AEM中，根据tan∠EAM，代入求解即可；
（2）根据（1）求得的结果，可得EF＝DF+CD，代入求解．
解：（1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N，
设CN＝x米，
在Rt△ECN中，
∵∠ECN＝45°，
∴EN＝CN＝x，
∴EM＝x+0.7﹣1.7＝x﹣1，
∵BD＝5，
∴AM＝BF＝5+x，
在Rt△AEM中，
∵∠EAM＝30°
∴，
∴x﹣1（x+5），
解得：x＝4+3，
即DF＝（4+3）（米）；
（2）由（1）得：
EF＝x+0.7＝40.7
≈4+3×1.7+0.7
≈9.8≈10（米）．
答：旗杆的高度约为10米．
20．（8分）阅读以下材料：
如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子：
例：已知x＞0，求函数y＝x的最小值．
解：令a＝x，b，则由a+b≥2，得y＝x4，当且仅当x时，即x＝2时，函数有最小值，最小值为4．
根据上面回答下列问题：
①已知x＞0，则当x＝ 时，函数y＝2x取到最小值，最小值为 2 ；
②已知x＞0，则自变量x取何值时，函数y有最小值，并求出最小值．
【思路点拔】①x＞0，则2x＞0，0，故y＝2x22，当且仅当2x，即可求解；
②yx2，x＞0，则0，故y＝x2≥22＝6﹣2＝4当且仅当x，进而即可求解．
解：①∵x＞0，则2x＞0，0，
故y＝2x22，
当且仅当2x，即x时，函数有最小值为2，
故答案为：，2；
②yx2，
∵x＞0，则0，
故y＝x2≥22＝6﹣2＝4，
当且仅当x，即x＝3时，y的最小值为4，
故自变量x＝3时，函数y有最小值，最小值为4．
21．（8分）如图，AB与半径长为6的⊙O相切于点A，点C在⊙O上且OC∥AB，连接AC，求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】连接OA，则OA＝OC，由切线的性质得AB⊥OA，而OC∥AB，所以∠AOC＝∠OAB＝90°，即可根据S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC求得S阴影＝9π﹣18．
解：连接OA，则OA＝OC，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∵OC∥AB，
∴∠AOC＝∠OAB＝90°，
∵OA＝OC＝6，
∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC6×6＝9π﹣18，
∴图中阴影部分的面积是9π﹣18．
22．（10分）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为x轴，CB为y轴建立平面直角坐标系．
（1）画出平面直角坐标系，并求当k＝4时，这条抛物线的解析式；
（2）当k＝5时，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中CE米．CF＝5米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
【思路点拔】（1）根据抛物线顶点坐标M（3，4），可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2+4，将点A（2，3）代入可得；
（2）先根据（1）中方法求出函数解析式，再令y＝0，求出x即可；
（3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y＝a（x﹣3）2+k中当x米，y≥0，当x＝5米时y≤0，解不等式即可得．
解：（1）如图所示：
根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3），
设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2+4，
则3＝a（2﹣3）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+4；
（2）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+5，
把点A（2，3）代入解析式得：3＝a×（2﹣3）2+5，
解得：a＝﹣2，
抛物线解析式为：y＝﹣2（x﹣3）2+5，
由题意可得：当y＝0，则0＝﹣2（x﹣3）2+5，
解得：x1＝3，x2＝3，
故抛物线与x轴交点为：（3，0），（3，0），
当k＝5时，运动员落水点与点C的距离为3米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+k，
将点A（2，3）代入可得：a+k＝3，即a＝3﹣k
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
则当x时，ya+k≥0，即（3﹣k）+k≥0，
解得：k，
当x＝5时，y＝4a+k≤0，即4（3﹣k）+k≤0，
解得：k≥4，
故4≤k．
23．（11分）如图1，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，连接AE，将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，延长EF交CD于点G．
（1）求证：DG＝FG；
（2）如图2，当点E是BC中点时，求tan∠CGE的值；
（3）如图3，当时，连接CF并延长交AB于点H，求的值．
【思路点拔】（1）由“HL”可证Rt△AFG≌Rt△ADG，可得DG＝FG；
（2）由勾股定理可求GF的长，即可求解；
（3）由勾股定理可求BC＝CD＝6x，由面积法可求FN的长，即可求FM的长，通过证明△MFH∽△NFC，可得，即可求解．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，
∴AD＝AF，
又∵AF＝AD，
∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），
∴DG＝FG；
（2）解：设BC＝CD＝2a，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝a，
∵将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，
∴BE＝EF＝a，
∵EG2＝EC2+CG2，
∴（a+DG）2＝a2+（2a﹣DG）2，
∴DGa，
∴tan∠CGE；
（3）如图3，过点F作MN⊥AB于M，交CD于N，
∵MN⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形BCNM是矩形，
∴BC＝MN，
∵，
∴设BE＝2x，DG＝3x，
则EG＝5x，
∵EG2＝EC2+CG2，
∴25x2＝（CD﹣2x）2+（CD﹣3x）2，
∴CD＝6x（负值舍去），
∴BC＝6x，
∴EC＝4x，CG＝3x，
∵S△CFGS△ECG，
∴CG FNEC CG，
∴FNx，
∴MFx，
∵AB∥CD，
∴△MFH∽△NFC，
∴，
∴，
∴．
24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C，直线y＝﹣2x+3经过点C，与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），是否存在△PCD是以CD为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）由待定系数法即可求解；
（2）如图，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点Q，则此时，△ACQ的周长最小，即可求解；
（3）由直线CD的表达式知，tan∠CDA＝2，则tan∠TRD，得到直线TP的表达式为：y（x），进而求解．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
由一次函数的表达式知，点C、D的坐标分别为：（0，3）、（，0），
将点C的坐标代入抛物线表达式得：3a＝﹣3，则a＝﹣1，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3①；
（2）如图，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点Q，则此时，△ACQ的周长最小，
理由：△ACQ的周长＝AC+CQ+AQ＝AC+BQ+CQ＝AC+BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，即点Q（1，2）；
（3）存在，理由：
取CD的中点T（，），
过点T作直线TR⊥CD交x轴于点R，交抛物线于点P，则点P为所求点，
由直线CD的表达式知，tan∠CDA＝2，则tan∠TRD，
则直线TP的表达式为：y（x）②，
联立①②得：﹣x2+2x+3（x），
解得：x（舍去负值），
即点P的坐标为：（，）．
