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人教版八年级（上）期中数学模拟试卷（一）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）如图所示图案中是轴对称图形的有（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知三角形两边长分别为3和9，则该三角形第三边的长不可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和其外角的平分线的夹角是（ ）
A．60° B．90° C．45° D．135°
4．（3分）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠C＝∠D D．∠CAB＝∠DBA
5．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝3cm，则PD的长为（ ）
A．大于等于3cm B．大于3cm
C．小于等于3cm D．小于3cm
6．（3分）如图中的一块砖的宽AN＝5cm，长ND＝10cm，CD上的点B距地面的高度BD＝8cm．地面上A处的一只蚂蚁要到B处吃食，需爬行的最短路径是（ ）cm．
A．15 B．16 C．17 D．23
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）在生活中，我们经常会看见桥梁拉杆、电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 性．
8．（3分）如图，正六边形和正五边形按如图所示的方式拼接在一起，则∠ABC的度数为 ．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．若∠A＝52°，则∠BOC的度数为 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则△BEC的周长为 ．
11．（3分）在直角坐标系中，已知点A（2a+b，2﹣a）与点B（a+6，b﹣2a）关于x轴对称，则a＝ ，b＝ ．
12．（3分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠CED＝ °．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于 ；
A.90°B.135°C.270°D.315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ ；
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ；
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
14．（6分）如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．求证：AD＝BE．
15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，求出点P的坐标．
16．（6分）如图，点E，F在线段BC上，AB∥CD，AB＝DC，BF＝CE．求证：AF∥DE．
17．（6分）在△ABC中，∠C＝90°．
（1）如图1，AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA，交于点I，求∠AIB的度数．
（2）如图2，AD平分∠CAB，CF⊥AB于F，交AD于点P，求证：∠CPD＝∠CDP．
（3）如图3，AG⊥HG，BI∥GH，求证：∠CAG＝∠CBI．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）在网格上把△ABC向上平移8个小格得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于直线MN的轴对称图形得到△A2B2C2，并标明A1、B1、C1和A2、B2、C2的位置．
19．（8分）已知：△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠A+20°，求三角形的各个内角度数．
20．（8分）如图，在△ABC中，E是∠ABC，∠ACB平分线的交点，ED⊥BC，垂足是D，△ABC的周长为16，ED＝1.5，求△ABC的面积．
五．填空题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F．
（1）请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由
（2）如图2，如果∠ACB不是直角，其他条件不变，（1）中所得结论是否仍然成立？请说明理由．
22．（9分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，AD与BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，∠PAC和∠ACP的平分线相交于点I．
（1）PD的最大值为 ；
（2）当∠APC＝75°时，∠CAE的度数为 ；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为 ．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）我们已经知道角是轴对称图形、角平分线所在的直线是角的对称轴，如图，OC是∠AOB的角平分线，P所示OC上的任意一点．作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，将∠AOB沿OC对折，我们发现PD与PE完全重合，由此即有：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂直分别为点D和点E．求证：PD＝PE，请写出定理的证明过程，分析图中有两个直角三角形PDO和PEO，只证明这两个三角形全等，即可证明PD＝PE．
（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程；
（2）如图②．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，求CD的长．中小学教育资源及组卷应用平台
人教版八年级（上）期中数学模拟试卷（一）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）如图所示图案中是轴对称图形的有（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）已知三角形两边长分别为3和9，则该三角形第三边的长不可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【思路点拔】已知三角形的两边长分别为3和9，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣3＜x＜9+3，即6＜x＜12．
因此，本题的第三边应满足6＜x＜12，把各项代入不等式不符合的即为答案．
只有6不符合不等式，
故选：A．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和其外角的平分线的夹角是（ ）
A．60° B．90° C．45° D．135°
【思路点拔】首先根据角平分线的定义得，，然后根据平角的定义得∠ABC+∠ABF＝180°，据此可得出∠ABC的平分线和其外角的平分线的夹角的度数．
解：∵BE是∠ABC的平分线，∠BD为较ABF的平分线，
∴，，
∵∠ABC+∠ABF＝180°，
∴∠ABE+∠ABD（∠ABC+∠ABF）180°＝90°．
故选：B．
4．（3分）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠C＝∠D D．∠CAB＝∠DBA
【思路点拔】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
解：A、当添加AC＝BD时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SSA”不能证得△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；
B、当添加BC＝AD时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
C、当添加∠C＝∠D时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“AAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
D、当添加∠CAB＝∠DBA时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“ASA”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝3cm，则PD的长为（ ）
A．大于等于3cm B．大于3cm
C．小于等于3cm D．小于3cm
【思路点拔】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PC＝1cm，然后根据垂线段最短求解．
解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PC＝3cm，
∵点D是OB上的动点，
∴PD的最小值为3cm．
故选：A．
6．（3分）如图中的一块砖的宽AN＝5cm，长ND＝10cm，CD上的点B距地面的高度BD＝8cm．地面上A处的一只蚂蚁要到B处吃食，需爬行的最短路径是（ ）cm．
A．15 B．16 C．17 D．23
【思路点拔】要求不在同一平面内的两点间的最短距离，首先要把两点所在的两个平面展开到一个平面内，然后根据题意确定数据，再根据勾股定理即可求解．
解：如图1所示，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程．
在Rt△ABD中，
∵AD＝AN+DN＝5+10＝15cm，BD＝8cm，
∴AB17（cm）．
∴需要爬行的最短路径是17cm．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）在生活中，我们经常会看见桥梁拉杆、电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 稳定 性．
【思路点拔】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性作答．
解：桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的稳定性．
故答案为：稳定．
8．（3分）如图，正六边形和正五边形按如图所示的方式拼接在一起，则∠ABC的度数为 24° ．
【思路点拔】根据正六边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，
故∠BAC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣132°）÷2＝24°．
故答案为：24°．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．若∠A＝52°，则∠BOC的度数为 116° ．
【思路点拔】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出（∠ABC+∠ACB）的度数，由角平分线的定义可求出（∠1+∠2）的度数，再在△BCO中，利用三角形内角和定理可求出∠BOC度数．
解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝128°．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）＝64°．
在△BCO中，∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝116°．
故答案为：116°．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则△BEC的周长为 14 ．
【思路点拔】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，然后求出△BEC周长＝AC+BC，再代入数据计算即可得解．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BEC周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，
∵AC＝8，BC＝6，
∴△BEC周长＝8+6＝14．
故答案为：14．
11．（3分）在直角坐标系中，已知点A（2a+b，2﹣a）与点B（a+6，b﹣2a）关于x轴对称，则a＝ 2 ，b＝ 4 ．
【思路点拔】根据点A（2a+b，2﹣a）与点B（a+6，b﹣2a）关于x轴对称，知道A，B两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程组求解即可．
解：∵点A（2a+b，2﹣a）与点B（a+6，b﹣2a）关于x轴对称，
∴，
解得：．
故答案为：2，4．
12．（3分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠CED＝ 15 °．
【思路点拔】根据等边对等角可得∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AEC、∠ADE，然后求出∠AED，然后列出方程求解即可．
解：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，
在△ABE中，∠AEC＝∠BAE+∠B，
∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝30°+∠B﹣∠CED，
在△CED中，∠ADE＝∠CED+∠C，
∴30°+∠B﹣∠CED＝∠CED+∠C，
解得∠CED＝15°．
故答案为：15．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于 C ；
A.90°B.135°C.270°D.315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ 220° ；
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ∠1+∠2＝180°+∠A ；
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
【思路点拔】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；
（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．
解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故选C；
（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，
故答案为：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF
∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
14．（6分）如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．求证：AD＝BE．
【思路点拔】得出CA＝CB．证明△ADC≌△BEC（AAS），则结论得证．
证明：∵∠CAB＝∠CBA，
∴CA＝CB．
∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（AAS）．
∴AD＝BE．
15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，求出点P的坐标．
【思路点拔】（1）画出△A1B1C1，据图直接写出C1坐标；
（2）先根据P，Q关于x轴对称，得到Q的坐标，再构建方程求解即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（﹣2，1）；
（2）∵点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，
∴Q（a，2﹣a），
∵PQ＝8，
∴|（a﹣2）﹣（2﹣a）|＝8，
解得：a＝6或a＝﹣2，
∴P（6，4）或（﹣2，﹣4）．
16．（6分）如图，点E，F在线段BC上，AB∥CD，AB＝DC，BF＝CE．求证：AF∥DE．
【思路点拔】证明△ABF≌△DCE（SAS），可得∠AFB＝∠DEC，进而可以解决问题．
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠AFB＝∠DEC，
∴AF∥DE．
17．（6分）在△ABC中，∠C＝90°．
（1）如图1，AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA，交于点I，求∠AIB的度数．
（2）如图2，AD平分∠CAB，CF⊥AB于F，交AD于点P，求证：∠CPD＝∠CDP．
（3）如图3，AG⊥HG，BI∥GH，求证：∠CAG＝∠CBI．
【思路点拔】（1）根据三角形的内角和定理求出∠CAB+∠CBA＝90°，根据角平分线的定义得出∠IABCAB，∠IBACBA，求出∠IAB+∠IBA（∠CAB+∠CBA）＝45°，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）求出∠CBA＝∠ACF，再根据三角形外角性质求出即可；
（3）求出∠K＝90°，再根据三角形的外角性质求出即可．
（1）解：图1，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝90°，
∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA，交于点I，
∴∠IABCAB，∠IBACBA，
∴∠IAB+∠IBA（∠CAB+∠CBA）45°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣45°＝135°；
（2）证明：图2，
∵CF⊥AB，
∴∠CFA＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ACF＝90°，∠B+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACF，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠CPD＝∠CAD+∠ACF，∠CDP＝∠BAD+∠B，
∴∠CPD＝∠CDP；
（3）证明：延长GA和IB，两线交于K，
∵AG⊥GH，
∴∠AGH＝90°，
∵BI∥GH，
∴∠K＝90°，
∵∠C＝90°，∠CAG＝∠C+∠COA，∠ABI＝∠K+∠KOB，∠COA＝∠KOB，
∴∠CAG＝∠ABI．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）在网格上把△ABC向上平移8个小格得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于直线MN的轴对称图形得到△A2B2C2，并标明A1、B1、C1和A2、B2、C2的位置．
【思路点拔】依据△ABC向上平移8个小格，即可得到△A1B1C1，再依据轴对称的性质，即可作△A1B1C1关于直线MN的轴对称图形△A2B2C2．
解：如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．
19．（8分）已知：△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠A+20°，求三角形的各个内角度数．
【思路点拔】利用三角形内角和定理计算．
解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠A+20°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+10°+∠A+20°＝180°，
解得：∠A＝50°，
∴∠B＝∠A+10°＝60°，∠C＝∠A+20°＝70°，
∴三角形的各个内角度数分别为50°、60°、70°．
20．（8分）如图，在△ABC中，E是∠ABC，∠ACB平分线的交点，ED⊥BC，垂足是D，△ABC的周长为16，ED＝1.5，求△ABC的面积．
【思路点拔】作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，根据角平分线的性质分别求出EF、EG，根据三角形的面积公式计算即可．
解：作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，ED⊥BC，
∴EF＝ED＝1.5，
同理可得，EG＝ED＝1.5，
则△ABC的面积AB×1.5AC×1.5BC×1.5（AB+AC+BC）×1.5＝12．
五．填空题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F．
（1）请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由
（2）如图2，如果∠ACB不是直角，其他条件不变，（1）中所得结论是否仍然成立？请说明理由．
【思路点拔】（1）在AC上截取CH＝CD，连接FH，先证△FCD≌△FCH（SAS），得FD＝FH，再证△AEF≌△AHF（AAS），得FE＝FH，即可得出结论；
（2）在AC上截取CG＝CD，连接FG，先证△FCD≌△FCG（SAS），得FD＝FG，∠CFG＝∠CFD＝60°，再证△AFE≌△AFG（ASA），得FE＝FG，即可得出结论．
解：（1）FE＝FD，理由如下：
如图1，在AC上截取CH＝CD，连接FH，
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝15°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝75°，
∵CE是∠ACB的平分线，∠ACB＝90°，
∴∠FCD＝∠FCH＝45°，
又∵CF＝CF，
∴△FCD≌△FCH（SAS），
∴FD＝FH，∠FHC＝∠FDC＝75°，
∴∠AHF＝180°﹣∠FHC＝105°，
∵∠AEF是△BCE的外角，
∴∠AEF＝∠B+∠BCE＝105°，
∴∠AEF＝∠AHF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AHF（AAS），
∴FE＝FH，
∴FE＝FD；
（2）（1）中结论仍然成立，FE＝FD，理由如下：
如图2，在AC上截取CG＝CD，连接FG，
∵∠B＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC+∠FCA（∠BAC+∠BCA）120°＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CFD＝60°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠FCD＝∠FCG，
∵CF＝CF，
∴△FCD≌△FCG（SAS），
∴FD＝FG，∠CFG＝∠CFD＝60°，
∴∠AFG＝180°﹣∠CFG﹣∠CFD＝60°，
∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵AF＝AF，
∴△AFE≌△AFG（ASA），
∴FG＝FE，
∴FE＝FD．
22．（9分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，AD与BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，∠PAC和∠ACP的平分线相交于点I．
（1）PD的最大值为 3 ；
（2）当∠APC＝75°时，∠CAE的度数为 45° ；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为 105°＜∠AIC＜150° ．
【思路点拔】（1）当AD⊥BC时，AP取得最小值，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解；
（2）证明△ABC≌△ADE（SAS），得出∠BAD＝∠CAE，进而根据三角形的外角的性质即可求解；
（3）由三角形内角和定理求出∠BCA，根据角平分线的概念得到，∠ICA＝35°，根据三角形内角和定理得到，根据不等式的性质计算即可．
解：（1）∵AD＝AP+PD＝6，当AP取得最小值时，PD取得最大值，
即AD⊥BC时，AP取得最小值，
∵AD⊥BC，
∴△ABP为直角三角形，∠APB＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝6，
∴；
∴PD＝AD﹣AP＝3；
故答案为：3；
（2）在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE；
∵∠APC＝∠B+∠BAD，
∴∠CAE＝∠BAD＝∠APC﹣∠B＝75°﹣30°＝45°；
故答案为：45°；
（3）∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
设∠BAP＝α，则∠PAC＝90°﹣α，
∵∠B＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠BCA＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵AI，CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴，，
∴
，
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜∠AIC＜150°．
故答案为：105°＜∠AIC＜150°．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）我们已经知道角是轴对称图形、角平分线所在的直线是角的对称轴，如图，OC是∠AOB的角平分线，P所示OC上的任意一点．作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，将∠AOB沿OC对折，我们发现PD与PE完全重合，由此即有：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂直分别为点D和点E．求证：PD＝PE，请写出定理的证明过程，分析图中有两个直角三角形PDO和PEO，只证明这两个三角形全等，即可证明PD＝PE．
（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程；
（2）如图②．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，求CD的长．
【思路点拔】（1）先根据题意得到∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，再根据AAS证明△PDO≌△PEO即可得到PD＝PE；
（2）过D点作DE⊥AB交AB于E点，先由角平分线的性质定理得到DC＝DE，再由勾股定理得到AB＝5，再由面积法求解即可．
（1）证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴，
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD＝PE．
（2）解：如图，过D点作DE⊥AB交AB于E点，
由角平分线的性质定理可知DC＝DE，
∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
∴，
∵S△ABC＝S△ACD+S△ADB，
∴，
∴．
