内蒙古乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若直线l的方程为,,,则此直线必不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．在x轴与y轴上截距分别为-2,2的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3．设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A.若，，则 B.若，，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
4．若向量是空间中的一个基底,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得:,我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为,则向量在基底下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
5．已知直线l经过点，且法向量，则的方程为( )
A. B. C. D.
6．已知两条直线,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则( )
A. B. C. D.
8．如图，在棱长为的正方体中，点M是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知直线，直线，则下列结论正确的是( )
A.在x轴上的截距为 B.恒过定点
C.若，则或 D.若，则
10．若平面，的法向量分别是，，直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则( )
A. B.
C.l与m为相交直线 D.在上的投影向量为
11．如图，球O与棱长为2的正方体的六个面都相切，P，Q，R分别为棱，，的中点，G为正方形的中心，则( )
A.球O与该正方体的体积之比为
B.球O与该正方体的表面积之比为
C.直线被球O截得的线段的长度为
D.过A，R，G三点的正方体的截面与球O的球面的交线长为
三、填空题
12．已知直线l的倾斜角为,,且这条直线l经过点,则直线l的一般式方程为________.
13．在空间直角坐标系中，已知三点，，，则点C到直线的距离为__________.
14．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线，分别恒过定点A，B，则的最大值为________.
四、解答题
15．求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点，且斜率为；
(2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍.
16．如图，四面体的所有棱长都是1，D，E分别是边，的中点，连接.
（1）计算的长；
（2）求点O到平面的距离.
17．如图，在四棱锥中平面，E为的中点，，，，.
(1)求证：平面平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，在四棱柱中，平面，底面为梯形，，，，Q为的中点.
(1)在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；
(2)若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
(1)已知直线l的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线l与平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点P到平面的距离；
(3)若集合，记集合M中所有点构成的几何体为S，求几何体S的体积.
参考答案
1．A
2．D
3．D
4．D
5．C
6．A
7．C
8．B
9．ABD
10．AD
11．BC
12．或
13．
14．4
15．（1）因为直线过点，且斜率为，
所以，化简可得：.
（2）当横、纵截距都是0时，设直线的方程为.
直线过点，，即直线的方程为.
当截距均不为0时，设直线的方程为.
直线过点，，解得，即直线方程为.
综上，所求直线方程为或.
16．（1）因为四面体的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，
，
而且，所以，即，所以的长为.
（2）因为四面体为正四面体，所以点O在平面的射影为的中心，的外接圆半径为，所以点O到平面的距离为.
17．（1）因为平面，平面，所以，
由题知，，，所以，又
由余弦定理得，
所以，，
即，因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为，故直线与平面所成角即为.
因为，，所以，
所以，又因为E为的中点，所以，
所以，所以.
18．（1）存在，证明如下：
在四棱柱中，因为平面平面，
所以可在平面内作，
由平面几何知识可证，所以，可知P是中点，
因为平面，所以平面.
即存在线段的中点，满足题设条件.
满足条件的点只有一个，证明如下：
当平面时，因为平面，
所以过作平行于的直线既在平面内，也在平面内，
而在平面内过只能作一条直线，
故满足条件的点P只有唯一一个.
所以，有且只有的中点为满足条件的点P，使直线平面.
（2）过点D作，垂足为F，又因为平面，
所以，，两两互相垂直，
以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则有即
令，得，，所以.
设平面的法向量为.
则有即
令，得，，所以.
所以.
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
19．（1）由题可知，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线l与平面所成角为，则有，
所以，直线l与平面所成角的余弦值为.
（2）由题可知平面的法向量为，且过点，
因为，所以，所以点P到平面的距离为.
（3）建立空间直角坐标系，分别画平面，
然后得到几何体S为
几何体S是底面边长为的正方形，高为2的长方体，故几何体S的体积为.