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苏科版九年级上册期中复习闯关必刷卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若关于x的方程ax2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞1 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．“田忌赛马”的故事家喻户晓，若田忌出马的顺序一直是下等马、中等马、上等马（上等马跑得最快，中等马次之，下等马跑得最慢），而齐王随机出马，则田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知的半径为6，，是的弦，若，则的长是（ ）
A． B．10π C． D．12π
5．现有甲组数据：1、2、3、4、5，乙组数据：11、12、13、14、15；若甲、乙两组的方差分别为a、b，则a、b的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三角形的三个顶点确定一个圆
C．圆心角的度数等于它所对弧上的圆周角度数的一半
D．相等的圆周角所对的弧相等
7．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，那么直径CD的长为（ ）
A．12.5 B．13 C．25 D．26
8．如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）
A．π﹣ B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
9．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4 B．CD DF=2 3
C．BC+AB=2 +4 D．BC AB=2
10．如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF.AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．10π B．12π C． D．15π
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．关于的一元二次方程有一个解是，另一个根为 ．
12．已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是 ．
13．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
14．小明为研究函数y＝的图象，在﹣2、﹣1、1中任取一个数为横坐标，在﹣2、﹣1、2中任取一个数为纵坐标组成点P的坐标，点P在函数y＝的图象上的概率是 .
15．一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
16．等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．
17．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE=60°；②∠CED= ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，其中正确的序号是 ．
18．如图，点 在反比例函数图象 上，以 为直径的圆交该双曲线于点 ，交 轴于点 ，若 ，则该圆的直径长是 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
20．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
21．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
22．已知 边形的对角线共有 条（ 的整数）．
（1）五边形的对角线共有 条；
（2）若 边形的对角线共有35条，求边数 ；
（3） 同学说，我求的一个多边形共有10条对角线，你认为 同学说法符合题意吗？为什么？
23．某厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月该户只要交10元用电费，如果超过A度，则这个月仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度 元交费.
（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的度，则超过部分应交费 元.（用含A的式子表示）；
（2）下表是这户居民3月，4月的用电情况和交费情况.
月份 用电量（度） 交电费总数（元）
3月 80 25
4月 45 10
根据上表的数据，求该厂规定的A是多少？
24．已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E.
（1）如图（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的长；
（3）如图（2）过点B作⊙O的切线，交AD延长线于F，若ED＝DF，求 的值.
25．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A(4，0)，B(﹣4，0)，D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD.显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形.
（1）求证：△ABC是半直角三角形；
（2）求证：∠DEC=∠DEA；
（3）若点D的坐标为(0，8)，求AE的长.
26．已知如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点(OA＜OB)，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-18x+72=0的两根，点D为线段OB的中点，过点D作AB的垂线与线段AB相交于点C.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求过点C的反比例函数解析式；
（3）已知点P在直线AD上，在平面内是否存在点Q，使以A、O、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由.
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苏科版九年级上册期中复习闯关必刷卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若关于x的方程ax2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞1 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：要使ax 2 -3x-2=0是一元二次方程，必须保证a≠0.
故答案为：B.
【分析】形如“ax 2 +bx+c=0 （a≠0）”的方程就是一元二次方程.
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵2 是一元二次方程 x2﹣3x+k＝0 的一个根，
∴22﹣3×2+k＝0， 解得，k＝2.
故答案为：B.
【分析】由题意把x=2代入原方程可得关于k的方程，解方程即可求解.
3．“田忌赛马”的故事家喻户晓，若田忌出马的顺序一直是下等马、中等马、上等马（上等马跑得最快，中等马次之，下等马跑得最慢），而齐王随机出马，则田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：当齐王随机出马时，双方对阵情况如下：
齐王的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
田忌的马 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上
输赢情况 平局 田忌胜 齐王胜 平局 平局 平局
由上表可知，齐王出战顺序共有6种等可能的情况，只有顺序为上、下、中时，田忌获胜，因此田忌获胜（三局两胜则为胜）的可能性是．
故答案为：D．
【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
4．如图，已知的半径为6，，是的弦，若，则的长是（ ）
A． B．10π C． D．12π
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵，是的弦，，
∴，
∵的半径为6，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，再根据的半径为6，最后根据弧长公式计算求解即可。
5．现有甲组数据：1、2、3、4、5，乙组数据：11、12、13、14、15；若甲、乙两组的方差分别为a、b，则a、b的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵乙组数据是甲组数据中的各数分别增加了10而得到的，
∴数据的波动性不变，
∴甲、乙两组数据的方差相等，
∴a=b．
故答案为：A
【分析】根据题意先求出数据的波动性不变，再求出甲、乙两组数据的方差相等，最后求解即可。
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三角形的三个顶点确定一个圆
C．圆心角的度数等于它所对弧上的圆周角度数的一半
D．相等的圆周角所对的弧相等
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：A、平分弦（表示直径）的直径垂直于弦，故A错误；
B、三角形的三个顶点确定一个圆，故B正确；
C、圆心角的度数等于它所对弧上的圆周角度数的2倍，故C错误；
D、在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故D错误；
故答案为：B
【分析】利用垂径定理的推论，可对A作出判断；利用三角形的三个顶点确定一个圆，可对B作出判断；利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可对C作出判断；利用在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，可对D作出判断.
7．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，那么直径CD的长为（ ）
A．12.5 B．13 C．25 D．26
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：
连接AO，
∵ CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E ，
∴AE=AB=5，
设OA=OC=x，则OE=x-1，
在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
∴25+(x-1)2=x2，
解得：x=13.
∴CCD=2CO=26.
故A，B，C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】连接AO，先求AE，设CO=x，在根据勾股定理建立方程求出x即可.
8．如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）
A．π﹣ B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接MH交FN于O，连接AM、OR，
∵PQ=HQ，FN⊥PH，
∴圆心在FN所在直线上，
∵∠MPH=90°，点M、P、H在圆上，
∴MN为直径，
∴点O为圆心，
∵AD=MC，∠D=∠C，DM=CH，
∴△ADM≌△MCH，
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC，
∵∠DAM+∠AMD=90°，
∴∠HMC+∠AMD=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，
∵OH=OR，
∴∠ROH=90°，
∵MH==，
∴OH=MH=，
∴S阴影=S扇形ORH-S△ORH=-=π﹣.
故答案为：A.
【分析】连接MH交FN于点O，连接AM、OR，则圆心在FN所在直线上，MN为直径，点O为圆心，易证明△ADM≌△MCH，得到AM=MH，∠DAM=∠HMC，结合∠DAM+∠AMD=90°可得到∠AMH=90°，则∠MHA=45°，ROH=90°，利用勾股定理可得MH，然后求出OH，再根据S阴影=S扇形ORH-S△ORH结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
9．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4 B．CD DF=2 3
C．BC+AB=2 +4 D．BC AB=2
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
利用AAS易证△OMG≌△GCD，
所以OM=GC=1， CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.
又因AB=CD，所以可得BC AB=2.
设AB=a，BC=b，AC=c， ⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r= （a+b-c），
所以c=a+b-2.
在Rt△ABC中，
由勾股定理可得 ，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又因BC AB=2即b=2+a，
代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，
解得 ，
所以 ，即可得BC+AB=2 +4.
再设DF=x，在Rt△ONF中，FN= ，OF=x，ON= ，
由勾股定理可得 ，
解得 ，
CD DF= ，CD+DF= .
综上只有选项A错误.
故答案为：A.
【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，易证△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1， CD=GM=BC-2，结合AB=CD可得BC-AB=2，设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，则r=(a+b-c)，在Rt△ABC中，由勾股定理可得2ab-4a-4b+4=0，推出b=2+a，整理可求得a、b的值，设DF=x，则FN= ，OF=x，ON=，由勾股定理求出x的值，进而得到CD-DF、CD+DF的值.
10．如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF.AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．10π B．12π C． D．15π
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接DO并延长，交⊙O于点G，连接OC、OE、OF，
则∠DCG＝90°，
∵AB＝10，CD＝6，EF＝8，
∴DG＝10，
∴CG＝ ，
∴CG＝EF，
∵△OEF的面积和△BEF的面积相等，
∴阴影部分BEF的面积和扇形OEF的面积相等，
同理，阴影部分ACD的面积和扇形COD的面积相等，
∵CG＝EF，
∴扇形OCG的面积和扇形OEF的面积相等，
∴阴影部分的面积和半圆DCG的面积相等，
∵AB＝10，
∴OA＝5，
∴阴影部分的面积是： .
故答案为：C.
【分析】连接DO并延长，交⊙O于点G，连接OC、OE、OF，则∠DCG＝90°，由勾股定理求出DG、CG，推出S阴影BEF=S扇形OEF，S阴影ACD=S扇形COD，S阴影=S半圆DCG，据此求解.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．关于的一元二次方程有一个解是，另一个根为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解：∵ 一元二次方程有一个解是，
∴，m-2≠0，
解得m=-2，
把m=-2代入原方程得，，
解得，.
故答案为：.
【分析】把方程的一个根0代入方程可得m的值，再把m的值代入方程，然后解方程即可求解.
12．已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为，点在外，
∴点到圆心的距离的取值范围是．
故答案为：．
【分析】本题考查点与圆的位置关系的判断.点与圆的位置关系为：若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据题意可得点在外，据此可得，代入数据可求出答案.
13．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
【答案】3
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝ CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝ ＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【分析】过点O作OH⊥CD于H，利用垂径定理可得CH＝DH＝ CD＝4，再利用勾股定理求出OH的长即可得到答案。
14．小明为研究函数y＝的图象，在﹣2、﹣1、1中任取一个数为横坐标，在﹣2、﹣1、2中任取一个数为纵坐标组成点P的坐标，点P在函数y＝的图象上的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：列表如下：
所有的等可能的结果有9种，
其中点P在函数上的有，，共3种，
所有点P在函数y＝的图象上的概率是
故答案为：
【分析】根据题意列表，可得到所有的可能的结果数及点P在函数y＝的图象上的情况数，然后利用概率公式进行计算.
15．一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，
∴从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是： ，
故答案为： ．
【分析】利用概率公式求解即可。
16．等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．
【答案】2，4，4或3，3，4
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 是方程 的两个根，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（2）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（3）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；
综上，此三角形的三边长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。
17．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE=60°；②∠CED= ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，其中正确的序号是 ．
【答案】①④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】①∵弧AC=弧CD=弧DB，
∴∠BOD=60°；
又∵点E是点D关于AB的对称点，
∴∠BOE=60°；
故①正确；
②∵∠CED=∠COD，
故②错误；
③∵∠BOD=∠BOE=∠MOC=60°，
∴∠BMD=30°，
∴DM⊥CE；
故③正确；
④作C关于AB的对称点F，连接CF交AB于点N，连接DF交AB于点M，此时CM+DM的值最短，即为DF长，连接CD，
∵弧AF=弧AC=弧CD=弧DB，
∴∠D=60°，∠DFC=30°，
∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
∵AB=10，
∴DF=10，
∴CM+DM=DF=10，
故④正确.
故答案为：①④.
【分析】①根据等弧所对的圆心角所对得∠BOD=60°；根据圆的对称性得∠BOE=60°；故①正确；
②根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠CED=∠COD，故②错误；
③根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠BMD=30°，再根据三角形内角和即可得DM⊥CE；故③正确；
④作C关于AB的对称点F，连接CF交AB于点N，连接DF交AB于点M，此时CM+DM的值最短，即为DF长，连接CD，根据圆周角定理得∠D=60°，
∠DFC=30°，再由三角形内角和得∠FCD=90°，再由圆周角定理得DF是⊙O的直径，即可得出CM+DM的最小值，故④正确.
18．如图，点 在反比例函数图象 上，以 为直径的圆交该双曲线于点 ，交 轴于点 ，若 ，则该圆的直径长是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示：
∵OA是圆的直径
∴∠ABO=∠ACO=90°
∴
∴
∵
∴OC=OB
∵CD⊥y轴于点D
∴BD=OD
设点A的坐标为 ，则 ，
∵CD⊥y轴于点D，且点C在 的图象上，
∴点C的坐标为
∴
化简，得
解得 或 （舍去）
则A的坐标为
∴
故答案为： .
【分析】连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，由圆周角定理可得∠ABO=∠ACO=90°，根据勾股定理可得OC2+AC2=AB2+OB2，根据可得OC=OB，推出BD=OD，设A（m，），则B（0，），D（0，），C（2m，），然后根据OC2+AC2=AB2+OB2可求出m的值，得到点A的坐标，进而可求出OA的长.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
【答案】（1）证明：过点O作 OE⊥AB于 E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD
（2）解：由(1)知 OE=6，OA=10，∴AE=8，∵OE=6，OC=8∴ CE =
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作 OE⊥AB于 E，根据垂径定理得出AE=BE，CE=DE，再根据等式的性质，将两个等式相减即可得出答案；
（2）连接OA，OC，根据勾股定理分别算出AE，CE，再根据线段的和差即可算出答案。
20．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣ ）
=4k2+4k+1﹣16k+8，
=4k2﹣12k+9
=（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根
（2）解：当b=c时，△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，方程化为x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；
当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣ ）=0，解得k= ，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，
所以△ABC的周长=4+4+2=10
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）先计算判别式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）分类讨论：当b=c时，则△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k= ，则方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后计算△ABC的周长．
21．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
【答案】（1）解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%
（2）解：3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．
22．已知 边形的对角线共有 条（ 的整数）．
（1）五边形的对角线共有 条；
（2）若 边形的对角线共有35条，求边数 ；
（3） 同学说，我求的一个多边形共有10条对角线，你认为 同学说法符合题意吗？为什么？
【答案】（1）5
（2）解：由题意得： ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去），
所以边数 为10；
（3）解： 同学说法是错误的，
理由：当 ，整理得： ，
解得： ，
∴符合方程 的正整数 不存在，
∴多边形的对角线不可能有10条．
【知识点】一元二次方程的其他应用；多边形的对角线
【解析】【解答】解：（1）当 时， ，
故答案为：5；
【分析】（1）把n＝5代入 即可求得五边形的对角线条数；
（2）根据计算n边形的对角线条数公式结合多边形的对角线有35条，即可得出关于n的一元二次方程，求出n的值即可；
（3）根据计算n边形的对角线条数公式结合多边形的对角线有10条，即可得出关于n的一元二次方程，解之由方程的解不是正整数，可得出多边形的对角线不可能有10条．
23．某厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月该户只要交10元用电费，如果超过A度，则这个月仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度 元交费.
（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的度，则超过部分应交费 元.（用含A的式子表示）；
（2）下表是这户居民3月，4月的用电情况和交费情况.
月份 用电量（度） 交电费总数（元）
3月 80 25
4月 45 10
根据上表的数据，求该厂规定的A是多少？
【答案】（1） ；
（2）解：3月应缴费为10+ =25
解得A=30或A=50
因为用电45千瓦时没有超过A
所以A=50
【知识点】列式表示数量关系；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意，先求出某户居民2月份超出的用电量，再乘以，即可求解；
（2）根据题意，列出方程，求出方程的解，即可求解.
24．已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E.
（1）如图（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的长；
（3）如图（2）过点B作⊙O的切线，交AD延长线于F，若ED＝DF，求 的值.
【答案】（1）解：如图所示，连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵DA平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD，
∴∠ADO=∠EAD，
∴OD∥AE，
∴∠E+∠ODE=180°，
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是圆O的半径，
∴DE是圆O的切线
（2）如图所示，连接OD，BC交于F，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠BCE=90°，
∴ ，
又∵∠E=∠FDE=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∴DE=CF，∠CFD=90°，
∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠BDA=∠BDF=90°，
∴∠F+∠FBD=90°
∵DA平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD，
∵BF是圆O的切线，
∴∠ABF=90°，
∴∠F+∠FAB=90°，
∴∠EAD=∠BAD=∠FBD，
∵∠E=∠BDF=90°，ED=FD，
∴△AED≌△BDF（AAS），
∴AD=BF，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形性质得∠OAD=∠ODA，由角平分线概念得∠EAD=∠BAD，推出∠ADO=∠EAD，得到OD∥AE，由平行线的性质可得∠E+∠ODE=180°，由垂直的概念可得∠E=90°，求得∠ODE=90°，据此证明；
（2）连接OD，BC交于F，根据圆周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，由勾股定理求出BC，易得四边形ECFD是矩形，则DE=CF，∠CFD=90°，求出CF=BF=4，据此可得DE的长；
（3）连接BD，根据圆周角定理可得∠BDA=∠BDF=90°，由角平分线的概念可得∠EAD=∠BAD，根据切线的性质可得∠ABF=90°，由同角的余角相等可得∠EAD=∠BAD=∠FBD，证明△AED≌△BDF，得到AD=BF，由勾股定理可推出 ，求解即可.
25．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A(4，0)，B(﹣4，0)，D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD.显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形.
（1）求证：△ABC是半直角三角形；
（2）求证：∠DEC=∠DEA；
（3）若点D的坐标为(0，8)，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=45°，
∵∠ABE=∠ADE=45°，
∴△ABC是半直角三角形
（2）证明：∵OM⊥AB，OA=OB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆，
∴∠DBA+∠DEA=180°，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEA=∠DEC
（3）解：如图1，连接AM，ME，
设⊙M的半径为r，
∵点D的坐标为（0，8），
∴OM=8﹣r，
由OM2+OA2=MA2得：（8﹣r）2+42=r2，
解得r=5，
∴⊙M 的半径为5
∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2∠ABE=90°，
∴EA2=MA2+ME2=52+52=50，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠ADE=45°，据此判断；
（2）由等腰三角形的判定可得AD=BD，由等腰三角形的性质可得∠DAB=∠DBA，由圆周角定理可得 ∠DEB=∠DAB， 进而推出∠DBA=∠DEB，由四点共圆可得∠DBA+∠DEA=180°，由邻补角的性质可得 ∠DEB+∠DEC=180°， 据此解答；
（3）连接AM，ME，设⊙M的半径为r，则OM=8-r，在Rt△OMA中，应用勾股定理可得r的值，由圆周角定理可得∠EMA=2∠ABE=90°，然后利用勾股定理求解即可.
26．已知如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点(OA＜OB)，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-18x+72=0的两根，点D为线段OB的中点，过点D作AB的垂线与线段AB相交于点C.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求过点C的反比例函数解析式；
（3）已知点P在直线AD上，在平面内是否存在点Q，使以A、O、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由x2-18x+72=0，解得：x=6或12，
∴OA=6，OB=12，
∴A(6，0)，B(0，12)；
（2）解：设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A(6，0)，B(0，12)代入得： ，解得 ，
∴直线AB的解析式为：y=-2x+12，
延长CD，交x轴与点E，
∵DC⊥AB，D(0，6)，
∴∠AEC+∠OAB=∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠AEC=∠OBA，
∵∠DOE=∠AOB，OD=OA=6，
∴ DOE AOB（AAS），
∴OE=OB=12，
∴E(-12，0)，
设直线DC的解析式为：y=kx+b，
把D(0，6)，E(-12，0)代入y=kx+b，得： ，解得： ，
∴直线DC的解析式为：y= x+6，
由 ，解得 ，
∴交点C坐标( ， )，
∴过点C的反比例函数的解析式为：y= ；
（3）解：①当OA是菱形AP1OQ1的对角线时，易知P1(3，3)，
∵P1与Q1关于x轴对称，
∴Q1(3，-3)；
②当OA为菱形AP2Q2O的边时，
∵OA=AP2=P2Q2=6，∠OAD=45°，
∴P2(6-3 ，3 )，Q2(-3 ，3 )；
③当OA为菱形AP3Q3O的边时，同理可得Q3(3 ，-3 )；
④当OA为菱形A Q4P4O的边时，此时点P4与点D重合，菱形A Q4P4O变为正方形，Q4(6，6)，
综上所述，满足条件的点Q坐标为(3，-3)或( ， )或( ， )或(6，6).
【知识点】一元二次方程的根；坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质
【解析】【分析】（1）直接求出一元二次方程的解，即可解决问题；
（2）先求出直线AB、CD的解析式，利用方程组求出点C坐标，即可解决问题；
（3）分四种情形①当OA是菱形AP1OQ1的对角线时，②当OA为菱形AP2Q2O的边时，③当OA为菱形AP3Q3O的边时，④当OA为菱形A Q4P4O的边时，此时点P4与点D重合，菱形A Q4P4O变为正方形，分别求解即可.
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