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华师大版八年级上册期中复习考前精选模拟卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1． 已知a、b、c分别是△ABC的三边，根据下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=13，c=11 B．a=6，b=10，c=12
C．a=40，b=4l，c=9 D．a=24，b=9，c=25
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．和为的两个角互为邻补角
D．邻补角互补
4．直角三角形两直角边分别为5cm和12cm，则其斜边的高为（ ）
A．6cm B．8cm C． cm D． cm
5． 的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，AC⊥BD于点P，AP=CP，增加下列一个条件：①BP=DP；②AB=CD；③∠A=∠C．其中能判定△ABP≌△CDP的条件有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，将△ABC沿DE翻折，点A的对应点为A'，A'D和A'E分别交BC于G，F，若A'F=1，则四边形DEFG的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，如图，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM．则下列结论中：①AC＝BD；②∠AMB＝30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，以△ABC的一条边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则这样的点有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
12．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若a＝b+2，则代数式a2-2ab+b2的值为 ．
14．多项式6ab2x-3a2by+12a2b2的公因式是 ．
15．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝ .
16．如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点共有 个
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．
18．等腰三角形的其中两边长分别为（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，已知这两边不相等，且x＞5，则该等腰三角形的周长为 （用含x的式子表示）
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E．
（1）求证：△ACE是等腰三角形．
（2）若AC=13，CE=10，求△ACE的面积．
20．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
（1）若∠A＝25°，求∠ACD的度数．
（2）若BC＝2.5，CE＝2，求AD的长．
22．如果一个正数x的两个平方根分别为a＋1和a－5.
（1）求a和x的值；
（2）求7x＋1的立方根.
23．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=32°，求∠CAD的度数．
24．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）出发3s后，求PB的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
25．通过计算几何图形的面积可以解释代数恒等式的符合题意性，同样利用几何图形的面积也可以解释不等式的符合题意性，请解答下列问题：
（1）根据图①，写出一个代数恒等式，得
（2）两个边长为 、 、 的直角三角形和一个两条直角边均为 的直角三角形拼成图②，请根据图②中图形面积的关系写出一个代数恒等式，并写出推导过程；
（3）已知 、 、 、 、 均为正数，且满足 ，请画出一个图形，然后利用该图形面积关系说明
26．仔细阅读下面例题，解答问题：例题: 已知二次三项式x2 - 4x + m 有一个因式是 ( x + 3) ，求另一个因式以及 m 的值.
解：设另一个因式为 ( x + n) ，得x2
- 4x + m = ( x + 3) ( x + n)
则x2
- 4 x + m = x2 + (n + 3) x + 3n
∴
解得： n = -7, m = -21
∴ 另一个因式为 ( x - 7) ， m 的值为－21 .
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是（2x-5），求另一个因式以及k的值．
（2）已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．
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华师大版八年级上册期中复习考前精选模拟卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1． 已知a、b、c分别是△ABC的三边，根据下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=13，c=11 B．a=6，b=10，c=12
C．a=40，b=4l，c=9 D．a=24，b=9，c=25
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A. a=8，b=13，c=11，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；
B. a=6，b=10，c=12，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；
C. a=40，b=4l，c=9，因为，所以可以判定△ABC为直角三角形；
D. a=24，b=9，c=25，因为，所以不能判定△ABC为直角三角形；
故答案为：C。
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判定。只要满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即为直角三角形.
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A：，不是同类项，不能直接相加减，故A错误，不符合题意；
B：，故B错误，不符合题意；
C：，故C正确，符合题意；
D：，不是同类项，不能直接相加减，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则进行逐一判断即可求解.
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．和为的两个角互为邻补角
D．邻补角互补
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
C、和为的两个角不一定是互为邻补角，故原命题是假命题，不符合题意；
D、邻补角互补，是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】满足命题的题设，结论成立的命题是真命题。根据对顶角，平行直线的性质，邻补角的定义，分别判断．
4．直角三角形两直角边分别为5cm和12cm，则其斜边的高为（ ）
A．6cm B．8cm C． cm D． cm
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为5cm、12cm，
∴斜边为 ，
故斜边上的高为 = .
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出此直角三角形的斜边长，再根据同一个三角形的面积相等，可求出斜边上的高。
5． 的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】根据多项式的乘法计算法则可得：原式= ．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算出结果，即可做出判断。
6．下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A、右边不是积的形式，该选项不符合题意；
B、 ，该选项不符合题意；
C、右边不是积的形式，该选项不符合题意；
D、 ，是因式分解，符合题意．
故答案为：D．
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
7．如图，AC⊥BD于点P，AP=CP，增加下列一个条件：①BP=DP；②AB=CD；③∠A=∠C．其中能判定△ABP≌△CDP的条件有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AC⊥BD于点P，AP＝CP，又AB＝CD，∴△ABP≌△CDP，∴增加的条件是BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D，故答案为：D.
【分析】由于题中已经告诉了一组边对应相等，一对角对应相等，且相等的角是直角，根据三角形全等的判定，在三角形的六个元素中，除已知的两元素，剩下的四个元素随便给一个对应相等都可以判断出两个三角形全等。
8．数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵数轴上表示1，
的对应点分别为A，B，
∴AB=
-1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC=AB．
∴点C的坐标为：1-（
-1）=2-
．
故答案为：C
【分析】由点B关于点A的对称点为C可知：AC=AB=
-1且点C在点A的左侧，根据点在数轴上的平移规律可得点C所表示的数。
9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，将△ABC沿DE翻折，点A的对应点为A'，A'D和A'E分别交BC于G，F，若A'F=1，则四边形DEFG的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，
∴∠B=∠C=45°.
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C=45°.
由折叠可知：∠DEF=∠AED=45°，AE=A'E.
∴∠AEF=∠AED+∠DEF=90°.
∴∠FEC=90°，
∴∠FEC=180°-∠FEC-∠C=45°，
∴CE=EF.
∵AC=AE+EC=A'F+EF+EC，AC=3，A'F=1，
∴1+2EC=3，
∴EC=1，即EF=1.
∴AE=2，
∴DE=2.
∴A到DE的距离为DE=.
在Rt△A'GF中，∵A'F=1，∠A'FG=∠EFC=45°，
∴GF=.
在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=3，
∴A到BC的距离为BC=.
∴GF与DE之间的距离为-=.
∴四边形DEFG的面积为×=(+2)×=.
故答案为：A.
【分析】易知四边形DEFG是梯形，只需分别求出上、下底及高，然后利用梯形面积公式求解.
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，如图，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM．则下列结论中：①AC＝BD；②∠AMB＝30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠ AOB=∠COD=30°，
∴ ∠AOC=∠BOD，
∵ OA=OB，OC=OD，
∴ △AOC≌△BOD（SAS），
∴ AC=BD，故 ① 正确；
∴ ∠OAC=∠OBD，
∵ ∠AFM=∠BFO，
∴ ∠AMB=∠AOB=30°，故 ② 正确；
∵ OA＞OC，
∴ ∠OCA＞∠OAC，
∵ ∠OEM=∠OCA+∠COD=∠OCA+30°，∠OFM=∠OBD+∠AOB=∠OAC+30°，
∴ ∠OEM＞∠OFM，
∴ △OEM与△OFM不可能全等，故 ③ 错误；
∵ △AOC≌△BOD，
∴ AC边上的高=BD边上的高，
∴ MO平分∠BMC，故 ④ 正确.
故答案为：C.
【分析】依据SAS判定 △AOC≌△BOD推出AC=BD，即可判断 ①；根据全等三角形的性质得∠OAC=∠OBD，再根据三角形内角和定理得到∠AMB=∠AOB，即可判断② ；根据OA＞OC得到∠OCA＞∠OAC，再外角的性质可得∠OEM＞∠OFM，即可判断③；再全等三角形的性质可得AC边上的高=BD边上的高，再根据角平分线的判定即可判断 ④ .
11．如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，以△ABC的一条边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则这样的点有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
共有6种情况.
故答案为：B.
【分析】①以B为圆心，以BC为半径画弧交AC于D点，△BCD为所求；②以A为圆心，以AC为半径画弧交AC于点E，△ACE为所求；③以C为圆心，以BC为半径画弧交AC于点F，△BCF为所求；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△AHC为所求；⑤作AB的垂直平分线交AC于点G，△AGB为所求；⑥作BC的垂直平分线交AB于点I，△BGI为所求.
12．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若a＝b+2，则代数式a2-2ab+b2的值为 ．
【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵a＝b+2，
∴a-b=2，
∴a2-2ab+b2 =（a-b)2=22=4.
故答案为：4.
【分析】先把a＝b+2变形为a-b=2，再根据平方差公式把代数式分解因式后整体代入求值。
14．多项式6ab2x-3a2by+12a2b2的公因式是 ．
【答案】3ab
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解： 6ab2x-3a2by+12a2b2的公因式是3ab。
故答案为：3ab .
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式。
15．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝ .
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：22x+y＝22x 2y＝（2x）2 2y＝32×5＝45，
故答案为：45
【分析】根据同底数幂的乘法可知22x+y＝22x 2y，利用幂的乘方可得22x 2y＝（2x）2 2y再根据已知条件即可求出答案.
16．如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点共有 个
【答案】4
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解： ， ，
与 之间的整数为：－1、0、1、2，共4个．
故答案为：4．
【分析】先确定 以及 的范围，再求出 与 之间的整数即可．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．
【答案】128
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图：
连接OB、OC，
∵∠BAC=56°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×56°=28°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= (180° ∠BAC)= (180° 56°)=62°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=28°，
∴∠OBC=∠ABC ∠ABO=62° 28°=34°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC(SAS)，
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=34°，
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=34°，
在△OCE中，∠OEC=180° ∠COE ∠OCB=180° 34° 34°=112°
故答案为112.
【分析】先利用“SAS”证出，得到，再利用折叠的性质。得到CE=OE，再得到，最后在中，利用三角形内角和求出即可。
18．等腰三角形的其中两边长分别为（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，已知这两边不相等，且x＞5，则该等腰三角形的周长为 （用含x的式子表示）
【答案】5x2﹣4x﹣19
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①当等腰三角形的腰为（x+2）（2x﹣5）时，
三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：
（x+2）（2x﹣5）+（x+2）（2x﹣5）+（x﹣1）2
＝2x2﹣x﹣10+2x2﹣x﹣10+x2﹣2x+1
＝5x2﹣4x﹣19；
②当等腰三角形的腰为（x﹣1）2时，
三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，（x﹣1）2时，
∵（x﹣1）2+（x﹣1）2＝2x2﹣4x+2，（x+2）（2x﹣5）＝2x2﹣x﹣10，x＞5，
∴（x﹣1）2+（x﹣1）2﹣（x+2）（2x﹣5）＝（2x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣x﹣10）＝﹣3x+12＜0，
∴（x﹣1）2+（x﹣1）2＜（x+2）（2x﹣5），
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形．
故答案为：5x2﹣4x﹣19．
【分析】分为两种情况：①当三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2时，②当三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，（x﹣1）2时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E．
（1）求证：△ACE是等腰三角形．
（2）若AC=13，CE=10，求△ACE的面积．
【答案】（1）证明： ∵ CE平分∠ACD，∴∠ACE = ∠ECD．
∵ AB // CD，∴∠AEC = ∠ECD，∴∠ACE = ∠AEC，∴△ACE是等腰三角形
（2）解：过A作AG⊥CE，垂足为G．∵AC=AE，∴CG=EG= CE=5（cm）．
∵AC=13（cm），由勾股定理得，AG=5（cm），∴S△ACE= ×24×5=60（cm2）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ACE = ∠ECD，根据二直线平行，内错角相等得出∠AEC = ∠ECD，故∠ACE = ∠AEC，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形即可得出结论；
（2）过A作AG⊥CE，垂足为G．根据等腰三角形的三线合一得出CG=EG=CE=5（cm），由勾股定理算出AG，由三角形的面积计算方法即可算出答案。
20．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠CFD=∠B，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中， ，
∴△AEF≌△CEB（AAS）
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∴AF=2CD
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，根据同角的余角相等得出∠CFD=∠B，然后由AAS判断出△AEF≌△CEB；
(2)等腰三角形的三线合一得出BC=2CD，根据全等三角形的性质得出AF=BC，从而得出AF=2CD。
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
（1）若∠A＝25°，求∠ACD的度数．
（2）若BC＝2.5，CE＝2，求AD的长．
【答案】（1）解：∵∠ACD＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝65°．
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝ ＝57.5°．
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣57.5°＝32.5°；
（2）解：∵∠ACB＝90°，BC＝2.5，CE＝2，
∴BD＝BC＝2.5，AC＝AD+2，
∴AB＝AD+2.5，
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即（AD+2.5）2＝（AD+2）2+2.52，
解得：AD＝4
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，利用作图可知BD=BC，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCD的度数；然后根据∠ACD＝90°﹣∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
（2）利用已知可得到BD的长，可表示出AC，AB的长；再利用勾股定理可得到关于AD的方程，解方程取出AD的长.
22．如果一个正数x的两个平方根分别为a＋1和a－5.
（1）求a和x的值；
（2）求7x＋1的立方根.
【答案】（1）解：由题意，得 解得 所以
因为 的平方根是 ，所以
（2）解：因为 所以 的立方根为
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】（1）根据正数的平方根互为相反数列出方程求出a的值，再代入计算求出x的值；（2）先将x代入计算，再利用立方根求解即可。
23．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=32°，求∠CAD的度数．
【答案】（1）解：如图所示：点D即为所求
（2）解：∵△ABC，∠C=90°，∠B=32°，
∴∠BAC=58°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB=32°，
∴∠CAD=58°﹣32°=26°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交BC于一点，这点就是D点位置；（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC的度数，再根据等边对等角可得∠DAB的度数，进而可得答案．
24．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）出发3s后，求PB的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）解：当t＝3时，则AP＝3，
∵AB＝16cm，
∴PB＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm）
（2）解：由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝ ，
∴出发 秒后△PQB能形成等腰三角形；
（3）解：①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
则 ，
∴ ，
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意可知，t=3时，AP=3，根据AP=16，即可得到PB的长度；
（2）可以设出发t秒时，三角形PQB为等腰三角形，即BP=BQ，根据BQ=2t，BP=8-t，列式求出t的值即可；
（3）根据点Q在CA上的运动情况，进行分类讨论：①当CQ=BQ时，②当CQ=BC时，③当BC=BQ时，求出t的值即可。
25．通过计算几何图形的面积可以解释代数恒等式的符合题意性，同样利用几何图形的面积也可以解释不等式的符合题意性，请解答下列问题：
（1）根据图①，写出一个代数恒等式，得
（2）两个边长为 、 、 的直角三角形和一个两条直角边均为 的直角三角形拼成图②，请根据图②中图形面积的关系写出一个代数恒等式，并写出推导过程；
（3）已知 、 、 、 、 均为正数，且满足 ，请画出一个图形，然后利用该图形面积关系说明
【答案】（1）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
（2）解：a2＋b2＝c2，证明如下：
梯形的面积为： （a＋b）（a＋b）＝ ab×2＋ c2，
化简即可得：a2＋b2＝c2；
（3）解：构造一个边长为m的正方形，如图所示：
显然 ，
根据图形可知，正方形内部3个矩形的面积和小于正方形的面积，
．
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）由矩形面积的两种表示以及完全平方公式即可求解；（2）由梯形面积的两种表示方法即可求出恒等式；（3）根据几何图形来进行推导证明，要注意图形各个部分面积和=整个图形的面积。
26．仔细阅读下面例题，解答问题：例题: 已知二次三项式x2 - 4x + m 有一个因式是 ( x + 3) ，求另一个因式以及 m 的值.
解：设另一个因式为 ( x + n) ，得x2
- 4x + m = ( x + 3) ( x + n)
则x2
- 4 x + m = x2 + (n + 3) x + 3n
∴
解得： n = -7, m = -21
∴ 另一个因式为 ( x - 7) ， m 的值为－21 .
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是（2x-5），求另一个因式以及k的值．
（2）已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．
【答案】（1）解：设另一个因式是（x+b），则
（2x-5）（x+b）=2x2+2bx-5x-5b=2x2+（2b-5）x-5b=2x2+3x-k，
则 ，
解得： ．
则另一个因式是：x+4，k=20．
（2）解：设另一个因式是（3x+m），则
（2x+a）（3x+m）=6x2+（2m+3a）x+am=6x2+4ax+2，
则 ，
解得 或 ，
另一个因式是3x-1，a的值是-2（不合题意舍去），
故另一个因式是3x+1，a的值是2．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）设另一个因式是（x+b），则（2x-5）（x+b）=2x2+2bx-5x-5b=2x2+（2b-5）x-5b=2x2+3x-k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值．（2）设另一个因式是（3x+m），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
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