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华师大版九年级上册期中全优冲刺领航卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．一元二次方程 x2-3x=﹣6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1、3、6 B．1、3、-6 C．1、-3、6 D．1、-3、-6
2．一元二次方程3x2－6x＝1化为－般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝－6，c＝1
C．a＝－3，b＝－6，c＝1 D．a＝3，b＝－6，c＝－1
3．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．某蔬菜种植基地2019年蔬菜产量为520吨，2021年蔬菜产量为1170吨．设该基地这两年蔬菜产量的年平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．520（1+x）+520（1+x）2＝1170
B．520（1+x）2＝1170
C．520（1+2x）＝1170
D．520+520（1+x）+520（1+x）2＝1170
6．如图，点 是线段 的黄金分割点（ ），下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．若
，则下列变形错误的是（ ）
A．
B．
C．3a=2b
D．2a=3b
8．如图，在中，点、分别在边、上，四边形是平行四边形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①、②皆正确 D．①、②皆错误
9．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
10．如图， 中， ， ，点 在反比例函数 的图象上， 交反比例函数 的图象于点 ，且 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
11．如图，点P是边长为 的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM PH；④EF的最小值是 ．其中正确结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
12．已知：如图，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，两动点 ， 分别以 个单位长度/秒和 个单位长度/秒的速度从 、 两点同时出发向 点运动（运动到 点停止）；过 点作 交抛物线 于 、 两点，交 于点 ，连结 、 ．若抛物线的顶点 恰好在 上且四边形 是菱形，则 、 的值分别为（ ）
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知，是方程的两实数根，则的值为 ．
14．如图，在中，若，点D是的中点，，则的长度是 ．
15．已知点C是线段AB的黄金分割点（ ），AB=4，则AC= ．
16．方程 的根是 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若 ＝ ，则CE＝ ．
18．已知在 中，∠B=36°，AB=AC，D为BC上一点，满足AD=CD，则 = .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF= AB．
（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB，AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE，AB，CF之间的数量关系．
20．
（1）解方程 （直接开平方法）
（2）若关于x的一元二次方程 的常数项为0，求m的值．
21．已知：关于x的方程x2+2x+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2019的值．
22．如图，在 中， ，以AC为直径的⊙O与BC交于点D， ，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2， ，求CF的长．
23．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（ ：特别好， ：好， ：一般， ：较差）.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，陈老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；求扇形统计图中 类学生所对应的圆心角；
（3）为了共同进步，陈老师从被调查的 类和 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率.
24．综合与探究：如图，一次函数与反比例函数交于，两点，与两坐标轴分别交于，两点，其中的横坐标为，的坐标为，且满足．
（1）求，的表达式；
（2）反比例函数是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在轴上是否存在一点，使得与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点Q在边AB上，连接CQ，将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，延长QN交直线CD于点M．
（1）求证：MC＝MQ
（2）当BQ＝1时，求DM的长；
（3）过点D作DE⊥CQ，垂足为点E，直线QN与直线DE交于点F，且 ，求BQ的长．
26．如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点P从点A开沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q从点A开始沿AB向点B运动（当P，Q两点其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动）如果点P，Q从点A同时出发，设运动时间为t秒.
（1）如果点Q的速度为每秒 个单位长度，那么当t＝5时，求证：△APQ∽△ABO；
（2）如果点Q的速度为每秒2个单位长度，那么多少秒时，△APQ的面积为16？
（3）若点H为平面内任意一点，当t＝4时，以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出此时点H的坐标.
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数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．一元二次方程 x2-3x=﹣6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1、3、6 B．1、3、-6 C．1、-3、6 D．1、-3、-6
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程可化为：x2-3x+6=0，
二次项系数为1、一次项系数为-3、常数项为6.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
2．一元二次方程3x2－6x＝1化为－般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝－6，c＝1
C．a＝－3，b＝－6，c＝1 D．a＝3，b＝－6，c＝－1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：，
，
，，，
故答案为：D．
【分析】 一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，据此解答即可.
3．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵3m-2n=0，
∴3m=2n，
∴．
故答案为：B．
【分析】由3m-2n=0得3m=2n，从而求出n：m的值.
4．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2＋4x 7＝0，
∴（x＋2）2＝11，
故答案为：B．
【分析】利用配方法解一元二次方程即可。
5．某蔬菜种植基地2019年蔬菜产量为520吨，2021年蔬菜产量为1170吨．设该基地这两年蔬菜产量的年平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．520（1+x）+520（1+x）2＝1170
B．520（1+x）2＝1170
C．520（1+2x）＝1170
D．520+520（1+x）+520（1+x）2＝1170
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该基地这两年蔬菜产量的年平均增长率为x，
由题意得： ，
故答案为：B．
【分析】根据 某蔬菜种植基地2019年蔬菜产量为520吨，2021年蔬菜产量为1170吨 ，列方程求解即可。
6．如图，点 是线段 的黄金分割点（ ），下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A不符合题意；
AC2=AB BC，故B符合题意，
，故C不符合题意；
，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，再化简并逐项判断即可。
7．若
，则下列变形错误的是（ ）
A．
B．
C．3a=2b
D．2a=3b
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，即A正确；
∴，即B正确；
∴3a=2b，即C正确；
∴D选项错误。
故答案为：D.
【分析】根据比例的基本性质，判断得到答案即可。
8．如图，在中，点、分别在边、上，四边形是平行四边形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①、②皆正确 D．①、②皆错误
【答案】C
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，故①正确；
设交于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，故②正确；
故答案为：C．
【分析】证明△BDF∽△BAN，△CEG∽△CAN，可推导出，，可证明‰正确，证明△ADE∽△ABC，△ADH∽△ABN，可，，推导出可证明②正确。
9．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB，进而即可判断B、C、D，进而根据∠GEC=∠FOC=90°，而判断A选项.
10．如图， 中， ， ，点 在反比例函数 的图象上， 交反比例函数 的图象于点 ，且 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴
∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°
∵
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE∽△OBF∽△AOD
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵点 在反比例函数 的图象上
∴
∴
∴ ，解得k=±8
又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，由平行线的性质可得∠CEO=∠BFO=90°，根据同角的余角相等可得∠ECO=∠FOB，证明△COE∽△OBF∽△AOD，根据已知条件结合相似三角形的性质可得，根据反比例函数k的几何意义可得S△BOF=1，进而求出S△COE，再次利用反比例函数k的几何意义就可求出k的值.
11．如图，点P是边长为 的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM PH；④EF的最小值是 ．其中正确结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM；
②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴OF＝OC，
∴∠OCF＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD＝90°，
∴∠GFM+∠AMD＝90°，
∴∠FGM＝90°，
∴AH⊥EF．
③正确．∵AD∥BH，
∴∠DAP＝∠H，
∵∠DAP＝∠PCM，
∴∠PCM＝∠H，
∵∠CPM＝∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴ ＝ ，
∴PC2＝PM PH，
根据对称性可知：PA＝PC，
∴PA2＝PM PH．
④错误．∵四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，
∵AC＝2，
∴PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1．
故答案为：B．
【分析】根据图形的对称性以及相似三角形的对应边成比例，可判断出正确的结论。
12．已知：如图，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，两动点 ， 分别以 个单位长度/秒和 个单位长度/秒的速度从 、 两点同时出发向 点运动（运动到 点停止）；过 点作 交抛物线 于 、 两点，交 于点 ，连结 、 ．若抛物线的顶点 恰好在 上且四边形 是菱形，则 、 的值分别为（ ）
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；含30°角的直角三角形；菱形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：在直线解析式 中，令x=0，得y= 3；令y=0，得x=1，
∴A（1，0），B（0， ），OA=1，OB= ，
∴AB= =2，
∴∠OBA=30°，
∴BF=2EF，
∵BE= ，BF2=EF2+BE2，
∴EF=t，
若平行四边形ADEF是菱形，则DE=AD=t，
由DE=2OD，即：t=2（1-t），解得：t= ，
∴t= 时，四边形ADEF是菱形，
此时BE= ，则E（0， ），G（2， ），
设直线BG的解析式为：y=kx+b，将（0， ），（2， ）代入得： ，
解得： ，
故直线BG的解析式为：y=- x+ ，
当x=1时，y= ，即M点坐标为（1， ），
故抛物线y=a（x-1）2+ ，
将（0， ）代入得：a=- ，
则a、h的值分别为： 、 ，
故答案为：A．
【分析】根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A，B两点的坐标，从而得出OA，OB的长度，根据勾股定理算出AB的长度，Rt△ABO中，根据含30°直角三角形边的关系的逆用判断出∠OBA=30°，进而在Rt△BEF中，根据含30°直角三角形边的关系得出BF=2EF，根据路程等于速度乘以时间得出BE= ，利用勾股定理表示出EF=t，根据菱形的性质得出DE=AD=t，由DE=2OD，建立方程，求解得出t的值，进而得出BE，的长，E，G两点的坐标，利用待定系数法求出直线BG的解析式，然后将顶点M的横坐标代入直线BG的解析式即可算出对应的函数值，从而求出M点的坐标，将M，E的坐标分别代入抛物线 抛物线 即可算出a，h的值。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知，是方程的两实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）分析求解即可.
14．如图，在中，若，点D是的中点，，则的长度是 ．
【答案】2
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，点D是的中点，，
∴．
故答案为：2．
【分析】本题考查角三角形的性质.根据可得AB边为斜边，又因为点D是的中点，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长度．
15．已知点C是线段AB的黄金分割点（ ），AB=4，则AC= ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得：
，
∵AB=4，
∴ ；
故答案为 ．
【分析】根据黄金分割的定义即可得到AC和AB之间的关系，将AB=4代入计算得到答案即可。
16．方程 的根是 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴ ，
∴x-3=0，或x-5=0，
∴ ， ．
故答案为： ， ．
【分析】利用提公因式的因式分解法求解即可。
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若 ＝ ，则CE＝ ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，
由折叠得：EC＝EF，BC＝BF＝ ，∠C＝∠BFE＝90°，
∵tan∠BAF＝ ＝ ，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：
x2+（4﹣2x）2＝（ ）2，
解得：x1＝1，x2＝ ＞2舍去，
∴FM＝1，AM＝BM＝2，
∴FN＝ ﹣1，
易证△BMF∽△FNE，
∴ ，即： ，
解得：EF＝ ＝EC．
故答案为： ．
【分析】已知 = ，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出FM、BM，进而求出FN，再利用三角形相似和折叠的性质求出EC．
18．已知在 中，∠B=36°，AB=AC，D为BC上一点，满足AD=CD，则 = .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠
∴∠
∵
∴∠
∴∠ ，∠
∴∠ ，
∴
设AD=CD=x，BD=BA=y，
在△ABC和△DAC中
∠B=∠DAC，∠C=∠C
∴△ABC∽△DAC
∴ ，即
∴
解得， 或 （舍去）
∴
故答案为： .
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=36°，∠DAC=∠DCA=36°，结合内角和定理可得∠BAC=108°，则∠BAD=∠BAC-∠DAC=72°，由外角的性质可得∠ADB=∠DAC+∠C=72°，推出BA=BD，设AD=CD=x，BD=BA=y，易证△ABC∽△DAC，然后由相似三角形的性质求解即可.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF= AB．
（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB，AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE，AB，CF之间的数量关系．
【答案】（1）解：如图1中，
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，
∵点D是线段BC的中点，
∴BD=DC= BC=2，
∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，
∴∠CDF=30°，
又∵∠EDF=120°，
∴∠EDB=30°，
∴∠BED=90°
∴BE= BD=1
（2）解：如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD= AB
（3）解：结论不成立．结论：BE﹣CF= AB．
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD= AB
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）如图1中，只要证明∠BED=90°，根据直角三角形30度角性质即可解决问题．（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要证明△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解决问题．（3）（2）中的结论不成立．结论：BE﹣CF= AB，证明方法类似（2）．
20．
（1）解方程 （直接开平方法）
（2）若关于x的一元二次方程 的常数项为0，求m的值．
【答案】（1）解： （直接开平方法）
，
∴ ，
∴ ， ．
（2）解：∵关于x的一元二次方程 的常数项为0，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴m的值为4．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）根据常数项为0得出关于m的方程，解之求出m的值，结合一元二次方程的定义可得答案。
21．已知：关于x的方程x2+2x+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2019的值．
【答案】（1）解：∵△＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）
＝4k2﹣4k2+4
＝4＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝3代入x2+2x+k2﹣1＝0的9+6k+k2﹣1＝0，
∴k2+6k＝﹣8，
∴2k2+12k+2019＝2（k2+6k）+2019＝﹣16+2019＝2003．
【知识点】代数式求值；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用一元二次方程根的定义得到k2+6k＝﹣8，再把2k2+12k+2019变形为2（k2+6k）+2019，然后利用整体代入的方法计算．
22．如图，在 中， ，以AC为直径的⊙O与BC交于点D， ，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2， ，求CF的长．
【答案】（1）证明：连接
在 上，
是 的切线．
（2）解： ⊙O的半径为2， ，
经检验： 符合题意．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接 由 证明 证明： 可得： 从而可得答案；（2）由圆的半径为 求解 再证明： 由相似三角形的性质可得答案．
23．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（ ：特别好， ：好， ：一般， ：较差）.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，陈老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；求扇形统计图中 类学生所对应的圆心角；
（3）为了共同进步，陈老师从被调查的 类和 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率.
【答案】（1）20
（2）解：C类学生人数：20×25%=5（名），
C类女生人数：5-2=3（名），
D类学生占的百分比：1-15%-50%-25%=10%，
D类学生人数：20×10%=2（名），
D类男生人数：2-1=1（名），
补充条形统计图如图
类学生所对应的圆心角： ×360°=36°
（3）解：由题意画树形图如下：
所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种.
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）= = ；
解法二：列表如下，A类学生中的两名女生分别记为A1和A2，
女A1 女A2 男A
男D （女A1，男D） （女A2，男D） （男A，男D）
女D （女A1，女D） （女A2，女D） （男A，女D）
共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，
所以所选两名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率为 ＝ .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：（6+4）÷50%=20；
故答案为：20；
【分析】（1）由题意根据对应人数除以所占比值即可求出陈老师一共调查了多少名学生；
（2）根据题意补充条形统计图并 类学生所对应的整个数据的比例乘以360°即可求值；
（3）根据题意利用列表法或树状图法求概率即可.
24．综合与探究：如图，一次函数与反比例函数交于，两点，与两坐标轴分别交于，两点，其中的横坐标为，的坐标为，且满足．
（1）求，的表达式；
（2）反比例函数是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在轴上是否存在一点，使得与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：过点作轴，交轴于点，
，
∽，
，
的坐标为，，
，
，
，
把代入，得：；
，
把，，代入，得：
，
解得：，
；
（2）解：存在；理由如下：
，
当时，，
，
，
联立，
解得：或，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
或；
（3）存在，或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】解：存在；理由如下：
，，，
，，；
，
，
当与相似时，点在点上方，，有两种情况，
∽，则：，
，
，
；
∽，则：，
，
，
；
综上：或．
【分析】（1）过点作轴，交轴于点， 根据，证明∽，得到，结合已知求得点A的坐标，利用待定系数法求得，从而求解；
（2）存在，当时，， 求得点，联立方程组解得点B的坐标，由，代入数据求得的值，结合 求得，进而求得的值，从而求解；
（3）存在，根据B、C、D的坐标求得BD、CD、OC、OD的值，进一步得到，，进行分类讨论：当与相似时；∽时；利用相似三角形的性质分别列出比例式求得CM的值，从而求解.
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点Q在边AB上，连接CQ，将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，延长QN交直线CD于点M．
（1）求证：MC＝MQ
（2）当BQ＝1时，求DM的长；
（3）过点D作DE⊥CQ，垂足为点E，直线QN与直线DE交于点F，且 ，求BQ的长．
【答案】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC AB
即∠MCQ=∠CQB，
∵△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN
∴∠CQN=∠CQB，
即∠MCQ=∠MQC，
∴MC=MQ．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，
∴∠CNM=∠B=90°，
设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x，
在Rt△CNM中，MB2=BN2+MN2，
即（x+6）2=42+（x+5）2，
解得：x= ，
∴DM= ，
∴DM的长2.5．
（3）解：解：分两种情况：
①当点M在CD延长线上时，如图所示：
由（1）得∠MCQ=∠MQC，
∵DE⊥CQ，
∴∠CDE=∠F，
又∵∠CDE=∠FDM，
∴∠FDM=∠F，
∴MD=MF．
过M点作MH⊥DF于H，则DF=2DH，
又 ，
∴ ，
∵DE⊥CQ MH⊥DF，
∴∠MHD=∠DEC=90°，
∴△MHD∽△DEC
∴ ，
∴DM=1，MC=MQ=7，
∴MN＝
∴BQ＝NQ＝
②当点M在CD边上时，如图所示，类似可求得BQ=2．
综上所述，BQ的长为 或2．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=90°，AB=CD=6，CD∥AB，得出∠MCQ=∠CQB，由折叠的性质得出△CBQ≌△CNQ，求出BC=NC=4，NQ=BQ=1，∠CNQ=∠B=90°，∠CQN=∠CQB，得出∠CNM=90°，∠MCQ=∠CQN，证出MC=MQ．（2）设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x，在Rt△CNM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．（3）分两种情况：①当点M在CD延长线上时，由（1）得：∠MCQ=∠CQM，证出∠FDM=∠F，得出MD=MF，过M作MH⊥DF于H，则DF=2DH，证明△MHD∽△CED，得出 ，求出MD= CD=1，MC=MQ=7，由勾股定理得出MN即可解决问题．
②当点M在CD边上时，同①得出BQ=2即可．
26．如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点P从点A开沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q从点A开始沿AB向点B运动（当P，Q两点其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动）如果点P，Q从点A同时出发，设运动时间为t秒.
（1）如果点Q的速度为每秒 个单位长度，那么当t＝5时，求证：△APQ∽△ABO；
（2）如果点Q的速度为每秒2个单位长度，那么多少秒时，△APQ的面积为16？
（3）若点H为平面内任意一点，当t＝4时，以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出此时点H的坐标.
【答案】（1）证明：根据题意，得
当t＝5时，AP＝5，AQ＝3，
∴B（8，0），A（0，6），
∴OB＝8，OA＝6，∴AB＝10，
∴ ＝ ＝ ，∠PAQ＝∠BAO，
∴△APQ∽△ABO；
（2）解：如图：
过点Q作QE⊥OA于点E，
在Rt△AOB和Rt△AQE中，
sin∠BAO＝ ＝ ，sin∠QAE＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴QE＝ t，
∴S△APQ＝ AP QE＝16，
即 ×t× t＝16
∴t＝2 .
答：那么2 秒时，△APQ的面积为16.
（3）解：如图：
设点Q的速度为每秒x个单位长度，
当t＝4时，AP＝4，AQ＝4x，
∵以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，
∴PQ∥OB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴PQ＝ ，
∴H（ ，6）.
设点Q的速度为每秒x个单位长度，
当t＝4时，AP＝4，AQ＝4x，
∵以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，
当AP为矩形对角线时，
＝
解得x＝
∴Q′C＝ ＝ .
∴H（﹣ ，4）.
所以点H的坐标为：（ ，6）.（﹣ ，4）.
【知识点】矩形的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据已知得：直线与x、y轴的交点B（8，0）、A（0，6），AP＝5，AQ＝3，对应边成比例且夹角相等即可证明；
（2）作QE⊥y轴于点E，用含t的式子表示AP和QE，利用三角形的面积即可求解；
（3）根据题意画出矩形即可写出点H的坐标.
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