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北师大版九年级上册期中真题汇编严选卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+y＝1 B．9y＝3y﹣1 C． ﹣2x2＝8 D．2x2＝1
2．a， b，c，d 是成比例线段，若 a = 3cm， b = 2cm，c = 6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．已知 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
5．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图， 为 的黄金分割点（ ），如果 的长度为10 cm，那么 的长度为（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm．
6．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且EF垂直于BE，若AB＝8，BE＝10，则ABEF的周长为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
7．如图，在 中， ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图像经过点，则的值是（ ）
A．-8 B．-9 C．-10 D．-12
10．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD，其中点D（2，0），点B在y轴上，点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC，若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（1，2+） B．（2+，﹣1）
C．（﹣1，﹣2﹣） D．（﹣2﹣，﹣1）
11．下列说法中正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似
C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似
12．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．一元二次方程的二次项系数是 ．
14．已知， 则 的值为 ．
15．已知线段a=3，b=27，则线段a、b的比例中项为 ．
16．若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则c的值可以是 （写出一个即可）.
17．如图，在矩形ABCD中，E为C边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．若AB＝8，BC＝10，则EC＝ ；P，Q分别是AE，AD上的动点，PD＋PQ的最小值＝ ．
18．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.
（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；
（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.
20．一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．请用列表法或画树形图法求下列事件的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球．
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．
（3）再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为 ，求放入了几个黑球？
21．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 （k≠0）图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中A点坐标为（﹣2，3）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式．
（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积．
（3）根据图象，直接写出不等式 的解集．
22．
（1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求线段c的长；
（2）已知 ，且a+b﹣5c＝15，求c的值．
23．某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x(元/箱)与销售量y(箱)有如表关系：
每箱售价x(元) 68 67 66 65 … 40
每天销量y(箱) 40 45 50 55 … 180
已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？
（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在(2)的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%(m＜100)，7月份(按31天计算)降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值．
24．如图，点E是正方形ABCD的边AB上一动点，点A与点F关于DE对称，点F在正方形ABCD的内部，作射线CF交DE延长线于点P，连接AP，EF，DF．
（1）若，求∠DPC的度数；
（2）试探究点E在边AB的任意位置时，AP与PC的位置关系，并说明理由；
（3）若，直接写出BF的最小值．
25．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．
（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；
（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；
（3）求△FCG的面积的最小值．
26．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 的两个根是 和 ，则方程 就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程 是“倍根方程”，则c＝ ．
（2）若关于x的一元二次方程 是“倍根方程”，则 ， ， 之间的关系为 ．
（3）若 是“倍根方程”，求代数式 的值．
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北师大版九年级上册期中真题汇编严选卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+y＝1 B．9y＝3y﹣1 C． ﹣2x2＝8 D．2x2＝1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．含有二个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
2．a， b，c，d 是成比例线段，若 a = 3cm， b = 2cm，c = 6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，
∴d＝4cm；
故答案为：B．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则三条线段叫成比例线段，根据定义，将a、b、c的值代入即可求出d的值。
3．已知 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质得出3a-3b=a，得出2a=3b，即可得出.
4．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得： ，
，
即 ，
解得： 或 ，
而当 时，原方程 ，无实数根，不符合题意，应舍去，
∴
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可以得到 ，再根据求出m的值，再利用一元二次方程根的判别式判断即可。
5．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图， 为 的黄金分割点（ ），如果 的长度为10 cm，那么 的长度为（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设 米，则 米
∵点P为线段AB的黄金分割点
∴
即：
化简得：
解得：
∵PB＜AB
∴
即 的长度为 米
故答案为：A
【分析】设 米，则 米，根据点P为线段AB的黄金分割点，可得
即，据此求出x值即可.
6．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且EF垂直于BE，若AB＝8，BE＝10，则ABEF的周长为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，由题意可知：
设 ，
在 中，
在 中，
在 中， ，∴
在 中， ，即
解得 ，即
，
ABEF的周长为
【分析】设 ， ，根据勾股定理求得AF，即可求得ADEF的周长。
7．如图，在 中， ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： ， ，
.
故答案为：B.
【分析】直接根据平行线分线段成比例的性质进行求解.
8．如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得．
故答案为：D．
【分析】设，则，根据题意列出方程，再求解即可。
9．如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图像经过点，则的值是（ ）
A．-8 B．-9 C．-10 D．-12
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定
【解析】【解答】如图，过分别作的垂线，垂足分别为，，
平分，平分，
，
，
，
四边形是正方形
，，
故答案为：B
【分析】利用全等三角形的判定与性质，勾股定理，结合函数图象求解即可。
10．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD，其中点D（2，0），点B在y轴上，点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC，若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（1，2+） B．（2+，﹣1）
C．（﹣1，﹣2﹣） D．（﹣2﹣，﹣1）
【答案】A
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；正方形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】如图，过点作轴交于点，交于点，
，四边形是正方形，
，，
，
等边三角形，，
，，，
，
，
将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，
旋转4次为一个循环，
，
刚好循环了505次，
第2020次旋转结束时，点A的坐标为．
故答案为：A．
【分析】过点作轴交于点，交于点，根据正方形的性质可求，B（0，2），即得EF=2，由等边三角形的性质及勾股定理可求出AF、BF，从而求出AE，即得A的坐标，由旋转可得规律每旋转4次为一个循环，进而求出第2020次旋转结束时刚好与起点重合，即得结论.
11．下列说法中正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似
C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】A、只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故选项错误；
B、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误；
C、因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故选项正确；
D、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
12．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝ ∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝ DA'＝ ，
∴菱形ABCD的面积＝4× ×A'D×A'C＝2 ，
如图，
由平移的性质得， ABCD∽ A'ECF，且A'C＝ AC，
∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，
∴阴影部分的面积＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，即可求解.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．一元二次方程的二次项系数是 ．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得一元二次方程的二次项系数是5，
故答案为：5
【分析】根据一元二次方程的定义结合题意即可求解。
14．已知， 则 的值为 ．
【答案】4
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
可设a=3k，b=5k，
∴.
故答案为：4.
【分析】由 ，可设a=3k，b=5k，然后代入计算即可.
15．已知线段a=3，b=27，则线段a、b的比例中项为 ．
【答案】9
【知识点】比例线段
【解析】【解答】设比例中项为c，
∵c是线段a，b的比例中项，
∴c2=ab，
∵a=3，b=27，
∴c2=81，
∴c=9，即线段a、b的比例中项为9，
故答案为：9．
【分析】利用已知c是线段a，b的比例中项，可得出c2=ab，再代入计算可求解。
16．若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则c的值可以是 （写出一个即可）.
【答案】答案不唯一（只要c<4即可），如：0，1等
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△=16-4c＞0，解得c＜4，只要符合这个条件c的值即可.
【分析】开放性的命题，答案不唯一；已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，故其根的判别式的值应该大于0，从而列出不等式，求解即可得出c的取值范围，在其取值范围内随便取一个值即可。
17．如图，在矩形ABCD中，E为C边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．若AB＝8，BC＝10，则EC＝ ；P，Q分别是AE，AD上的动点，PD＋PQ的最小值＝ ．
【答案】3；8
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠C=∠B=90°，
设EC=x，则EF=ED=8-x，
∵由翻折可知AF=AD=10，
∴ ，
∴CF=BC-BF=10-6=4，
∵在Rt△EFC中，EF2=EC2+CF2，
∴（8-x）2=x2+42，
解得，x=3，
∴EC的长为3；
如图，作FQ′⊥AD于点Q′，交AE于点P′，连结DP′；
连结QF，交AE于点P，连结DF、DP，
由翻折得，AE垂直平分DF，
∴PD=PF，P′D=P′F，
∴PD+PQ=PF+PQ=QF，P′D+P′Q′=P′F+P′Q′=Q′F，
由“两点之间，线段最短”可知，线段QF的长即表示PD+PQ的最小值；
由“垂线段最短”可知，当点Q与点Q′重合时，QF=Q′F，此时QF的值最小，
PD+PQ的最小值；
∵∠FQ′A=∠Q′AB=∠B=90°，
∴四边形ABFQ′是矩形，
∴Q′F=AB=8，
∴PD+PQ的最小值是8．
故答案为：3，8．
【分析】由翻折可知AF=AD=10，勾股定理求出BF=6，则CF=4，设EC=x，则EF=ED=8-x，在Rt△EFC中，EF2=EC2+CF2，即可求出CE的长；作FQ′⊥AD于点Q′，交AE于点P′，连结DP′，连结QF，交AE于点P，连结DF、DP，由翻折得，AE垂直平分DF，由“两点之间，线段最短”可知，线段QF的长即表示PD+PQ的最小值，再求解即可。
18．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为 ．
【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.
（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；
（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.
【答案】（1）解：相似；
根据题意，四边形ABCD中， ，BC=1，CD=2，AD= ；四边形EFGH中， ，FG=2，GH=4，EH= ；
∴ ，即 ，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为： .
（2）解：根据题意，设相似比为 ，则四边形MNPQ的各边为：
MN=2，NP= ，PQ= ，MQ= ，
如图，四边形MNPQ即为所求.
.
【知识点】相似多边形；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案；（2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形.
20．一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．请用列表法或画树形图法求下列事件的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球．
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．
（3）再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为 ，求放入了几个黑球？
【答案】（1）解：根据题意，恰好摸到白球有2种，
∴将“恰好是白球”记为事件A，P(A)＝ ；
（2）解：由树状图，如下：
∴事件总数有12种，恰好抽到2个白球有2种，
∴将“2个都是白球”记为事件B，P(B)＝ ；
（3）解：设放入n个黑球，由题意得： ＝ ，
解得：n＝10．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）摸到白球的可能为2种，根据求概率公式即可得到答案；（2）利用树状图法，即可得到概率；（3）设放入黑球n个，根据摸到黑球的概率，即可求出n的值.
21．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 （k≠0）图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中A点坐标为（﹣2，3）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式．
（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积．
（3）根据图象，直接写出不等式 的解集．
【答案】（1）∵一次函数y＝﹣ x+b的图象与反比例函数y＝ （k≠0）图象交于A（﹣3，2）、B两点，
∴3＝﹣ ×（﹣2）+b，k＝﹣2×3＝﹣6
∴b＝ ，k＝﹣6
∴一次函数解析式y＝﹣ ，反比例函数解析式y＝ .
（2）根据题意得： ，
解得： ，
∴S△ABF＝ ×4×（4+2）＝12
（3）由图象可得：x＜﹣2或0＜x＜4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入解析式，可求解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式组成方程组，求出点B坐标，即可求△ABF的面积；（3）直接根据图象可得．
22．
（1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求线段c的长；
（2）已知 ，且a+b﹣5c＝15，求c的值．
【答案】（1）解：∵a，b，c，d是成比例线段
∴ ，
，
∴c=4；
（2）解：设 =k，则a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b-5c=15
∴2k+3k-20k=15
解得：k=-1
∴c=-4．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）根据比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把a=2cm，b=3cm，d=6cm代入进行计算即可；（2）设 =k，得出a=2k，b=3k，c=4k，代入a+b-5c=15，求出k的值，从而得出c的值．
23．某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x(元/箱)与销售量y(箱)有如表关系：
每箱售价x(元) 68 67 66 65 … 40
每天销量y(箱) 40 45 50 55 … 180
已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？
（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在(2)的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%(m＜100)，7月份(按31天计算)降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值．
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系是：y=kx+b， 根据题意可得： ，解得： ， 故y与x之间的函数关系是：y=﹣5x+380
（2）解：由题意可得：（x﹣40）（﹣5x+380）=1600，解得：x1=56，x2=60， 顾客要得到实惠，售价低，所以x=60舍去，所以x=56， 答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元
（3）解：在（2）的条件下，x=56时，y=100，由题意得到方程： 1600×16=[56×（1﹣m%）﹣40×（1﹣10%）]×100×（1+2m%）×15+7120， 解得：m1=20，m2=﹣ （舍去）， 答：m的值为20．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由于 y与x之间的函数关系是一次函数． 故随便根据表中的两对对应值，利用待定系数法即可求出 y与x之间的函数关系；
（2）每箱水蜜桃的利润为 （x﹣40） 元，根据单箱的利润乘以销售的数量等于该超市每天销售水蜜桃盈利1600元 ，列出方程，求解并根据 要使顾客获得实惠 检验即可得出答案；
（3） 在（2）的条件下，x=56时，y=100， 由于 从7月17号开始水蜜桃销售价格在(2)的条件下，下降了m% ，故每箱的售价为 56×（1﹣m%） 元，由于水蜜桃的进货成本下降了10% ，故每箱的进价为 40×（1﹣10%） 元，根据售价减去进价等于利润得出每箱的利润为 [56×（1﹣m%）﹣40×（1﹣10%）] 元，由于降价的原因， 销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m% ，故每天的销售量为 100×（1+2m%) 箱，根据单箱的利润乘以销售数量即可得出每天的总利润，用每天获得的总利润乘以销售时间即可算出7月份后15天获得的总利润，然后根据 7月份(按31天计算)降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元， 即可列出方程，求解并检验即可。
24．如图，点E是正方形ABCD的边AB上一动点，点A与点F关于DE对称，点F在正方形ABCD的内部，作射线CF交DE延长线于点P，连接AP，EF，DF．
（1）若，求∠DPC的度数；
（2）试探究点E在边AB的任意位置时，AP与PC的位置关系，并说明理由；
（3）若，直接写出BF的最小值．
【答案】（1）解：∵，点A与点F关于DE对称，
∴，，
∴．
∵ ，
∴．
又∵，
∴
（2）解：AP与PC垂直．
理由如下：
∵A、F关于DE对称，
∴．
设，可得，．
∵，
∴．
又，
∴，
即，
所以AP与PC垂直；
（3）解：
【知识点】两点之间线段最短；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】(3)解：点F始终在以点D为圆心，4为半径的圆上运动，根据两点之间线段最短，
可知当点D、F、B三点共线时，BF有最小值，
此时，
所以最小值为．
【分析】（1）根据对称性及正方形的性质可得∠FDE=∠ADE=20°，DC=AD=DF，从而求出∠CDF=50°，利用等腰三角形的性质可求出∠DFC=∠DCF=65°，根据三角形外角的性质可得∠DFC=∠DPC+∠FDP，继而求解；
（2）垂直．理由：由对称性可得∠APD=∠DPF，设，则，由DC=AD=DF可求，根据三角形外角的性质可得∠DFC=∠DPC+∠FDP，据此求出∠DPC=45°，即得∠APF=90°，即得结论；
（2）点F始终在以点D为圆心，4为半径的圆上运动，根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，BF有最小值，由勾股定理求出BD，利用BF=BD-DF即得结论.
25．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．
（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；
（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；
（3）求△FCG的面积的最小值．
【答案】（1）解：∵四边形EFGH为正方形，
∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）解：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG= ×FM×GC= ×2×（7-6）=1；
（3）解：设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤ ，
∴S△FCG的最小值为7- ，此时DG= ，
∴当DG= 时，△FCG的面积最小为（7- ）．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得HG=HE，∠EAH=∠D=90°，从而求出∠DGH=∠AHE，根据AAS可证△AHE≌△DGH， 可得DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE， 根据平行线的性质可得∠AEG=∠MGE，∠AEH=∠MGF，根据AAS可证△AHE≌△MFG，可得FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2.根据S△FCG= ×FM×GC计算即得；
（3）设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7， 可得HE2≤53，即得x2+16≤53，解出x≤ ，可求出S△FCG的最小值为7- ，此时DG=
26．如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 的两个根是 和 ，则方程 就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程 是“倍根方程”，则c＝ ．
（2）若关于x的一元二次方程 是“倍根方程”，则 ， ， 之间的关系为 ．
（3）若 是“倍根方程”，求代数式 的值．
【答案】（1）2
（2）
（3）解：∵ 是“倍根方程”
∴方程的两个根分别为x=2和x= ，
∴ =4或 =1，即n=4m或n=m
当n=4m时，原式为（m-n）（4m-n）=0，
当n=m时，原式为（m-n）（4m-n）=0，
∴代数式 =0
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】（1）∵一元二次方程 是“倍根方程”
∴令2x1=x2，有x1+ x2=3，x1x2=c
∴c=2（2）设x=m，x=2m是方程 的解
∴2m+m=- ，2m2=
消去m解得2b2=9ac
所以 ， ， 之间的关系为
【分析】（1）根据“倍根方程”的定义以及根与系数的关系求解即可；（2）设x=m或x=2m是方程的解，然后根据根与系数的关系求解即可；（3）根据定义可求出n=4m或n=m，代入原式即可求出答案。
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