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沪科版九年级上册期中复习精选模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知2a=3b(ab≠0)，则下列比例式成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
2．下列命题中真命题是（ ）
A．四个内角都相等的两个四边形一定相似
B．所有菱形都一定相似
C．所有的等边三角形都相似
D．一条线段只有一个黄金分割点
3．将二次函数 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A． B． C． D．
4．要得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
5．已知，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
6．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（ ）
A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
7．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点G，正方形的边在x轴上，E，F在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
9．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3及一次函数y＝x+m，将该二次函数y＝﹣x2﹣2x+3在x轴下方的图象沿x轴进行翻折，其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m＜ D．5＜m＜
10．如图，在菱形 中， ， ， 分别交 、 于点 、 ， ，连结 ，以下结论：① ；②点 到 的距离是 ；③ 与 的面积比为 ；④ 的面积为 ，其中一定成立的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知函数是反比例函数，则 ．
12．若，则 ．
13．如图，
在 中， 点 分别在边 上， 与 相交于点 ， 若 ， 则 的长是
14．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象上两点A， 的横坐标分别为 ，2.若 为直角三角形，则 的值为 .
15．如图，在平面直角坐标系中，，，第个正方形面积记为，第个正方形面积记为，第个正方形面积记为，，以此规律，则第个正方形的面积 ．
16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝-1，且过点（-3，0），有以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a-b≤m（am+b）（m为任意实数）；④若方程a（x+3）（1-x）＝-1的两根为x1，x2，且x1＜x2，则-3＜x1＜x2＜1，其中说法正确的有 ．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若将该抛物线绕原点旋转180°，请直接写出旋转后的抛物线函数表达式。
18．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3 cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：
（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；
（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．
19．如图所示，在平行四边形 中， 是 的延长线上一点， ，连接 与 ， ， 分别交于点 ， ．
（1）若 的面积为2，求平行四边形 的面积．
（2）求证 ．
20．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长．
21．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且 ），求出y关于x的函数关系式；
（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
22．如图①，在四边形中，，，点在边上，当 时，可知．（不要求证明）
（1）探究：如图②，在四边形中，点在边上，当时，求证：．
（2）拓展：如图③，在中，点是边的中点，点、分别在边、上若，，，则的长为 ．
23．四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝100°，∠ADC＝130°，BD≠BC，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（2）如图2，已知格点△ABC，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形ABCD，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；（注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）
（3）如图3，四边形AOBC中，点A在射线OP： （x≥0）上，点B在x轴正半轴上，对角线OC平分∠AOB，连接AB.若OC是四边形AOBC的“相似对角线”，S△AOB＝6 ，求点C的坐标.
24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B．一次函数y＝kx+4（k≠0）图像与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D．若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图像与一次函数y＝kx+4（k≠0）图像交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？
25．如图，在矩形中，为边上一点，，的平分线交的延长线于点.
（1）求的度数；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接，作交的延长线于点，当时，求的长.
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沪科版九年级上册期中复习精选模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知2a=3b(ab≠0)，则下列比例式成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A、∵，∴ab=6，不能证出2a=3b，∴A不符合题意；
B、∵，∴2a=3b，∴B符合题意；
C、∵，∴3a=2b，不能证出2a=3b，∴C不符合题意；
D、∵，∴2b=3a，不能证出2a=3b，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用比例的性质逐项分析判断即可.
2．下列命题中真命题是（ ）
A．四个内角都相等的两个四边形一定相似
B．所有菱形都一定相似
C．所有的等边三角形都相似
D．一条线段只有一个黄金分割点
【答案】C
【知识点】图形的相似；真命题与假命题
【解析】【解答】A：四个内角都相等的两个四边形不一定相似，还需要对应边成比例，A错误；B：所有菱形不一定都相似，还需要对应角相等；B错误；C：所有的等边三角形都相似，C错误；D：一条线段有2个黄金分割点，D错误。故答案为：C
【分析】根据相似多边形的定义可知：多边形相似需要对应角相等，对应边成比例。根据定义判断即可。
3．将二次函数 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；平移的性质
【解析】【解答】解：将二次函数 的图象向右平移2个单位，可得：
再向下平移3个单位，可得：
故答案为：C.
【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案.
4．要得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将向上平移3个单位即可得到：；
故答案为：C.
【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规则进行解答.
5．已知，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设a=3x，b=5x，
∴.
故答案为：A
【分析】利用已知，设a=3x，b=5x，再将其代入代数式进行化简.
6．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（ ）
A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵点E，G分别为CD，AD的中点，
∴，，
∴，
又题意可得，，
∴，
∴，
而EF＝30步，GH＝750步，
即，
∴，
解得：，
∴步；
故答案为：D.
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出，再求出步即可.
7．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点G，正方形的边在x轴上，E，F在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，设ED交BG于点H，
∵是正三角形，，
∴
∴
设过的抛物线解析式为，
将点A代入，得
∴
∴抛物线解析式为，
∵四边形CDEF是正方形，且关于y轴对称，
∴
设，
∵在上，
∴，
解得（舍去）
∵，
设直线的解析式为，
∴
∴
∴直线的解析式为
∵H在上，
∴H的横坐标为
代入
得
∴
∴
∴阴影部分面积为
故答案为：D.
【分析】设ED交BG于点H，根据等边三角形的性质可得AO=BO=1，利用勾股定理算出OG的长，从而得出点G、A、B的坐标，利用待定系数法求出经过这三点的抛物线的解析式，根据正方形的性质设E（m，2m），将该点坐标代入抛物线的解析式，可算出m的值；利用待定相反数求出直线BG的解析式，将H的横坐标代入直线BG，算出对应的函数值可得点H的坐标，从而可得DH、OG、OD的长，进而根据阴影部分的面积=2梯形ODHG的面积，利用梯形面积公式计算即可.
8．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，作 垂直 于H，延长 和 交于点M，
∵ ，
∴ ， ，
菱形 的边长为4，
， ，
是 的中点，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ， ，
由 ，
，
∴ ，
，
解得 .
故答案为：B.
【分析】作 垂直 于H，延长 和 交于点M，由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，利用等腰三角形的性质及平行线的性质可得BH=CH=BE=1，，利用平行线的性质及角平分线的定义可得，可得AG=GF，设 ，则，，，根据平行线可证 ，利用相似三角形对应边成比例建立关于x方程并解之即可.
9．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3及一次函数y＝x+m，将该二次函数y＝﹣x2﹣2x+3在x轴下方的图象沿x轴进行翻折，其余部分不变，得到一个新的函数图象，当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜5 B．﹣1＜m＜3 C．3＜m＜ D．5＜m＜
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0，
得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方的部分图象的解析式为y＝（x﹣1）（x+3），
即y＝x2+2x﹣3（x＜﹣3或x＞1），
当直线y＝x+m经过点A（﹣3，0）时，﹣3+m＝0，解得m＝3；
当直线y＝x+m与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3（﹣3≤x≤1）有唯一公共点时，方程﹣x2﹣2x+3＝x+m有相等的实数解，解得m＝，
所以当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为3＜m＜．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数解析式，由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标；将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方的部分图象的解析式为y＝（x﹣1）（x+3），根据当直线y＝x+m与新图象有4个交点时，可知当直线y＝x+m经过点A（﹣3，0）时；当直线y＝x+m与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3（﹣3≤x≤1）有唯一公共点时；分别求出m的值，即可得到m的取值范围.
10．如图，在菱形 中， ， ， 分别交 、 于点 、 ， ，连结 ，以下结论：① ；②点 到 的距离是 ；③ 与 的面积比为 ；④ 的面积为 ，其中一定成立的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠DAB=120°，
∴∠ABD=∠CBD=60°，
又∵BF=BF，
∴ （SAS），故①正确；
②∵BC=AB=6， ，
∴BE=4，
过点E作EH⊥AB交AB的延长线于点H，如图1，
在Rt△EBH中，∠EBH=180°-∠ABC=60°，
∴ ，
∴点E到AB的距离是 ，故②错误；
③∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴相似比为 ，
∴ 与 的面积比为 ，故③错误；
④过点F作FG⊥AB于点G，
∵AB=AD， ，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
由③知△ADF∽△EBF，
∴ ，
∴BF= ，
在Rt△BFG中，∠ABD=60°，
∴FG= ，
∴ 的面积为 = ，故④正确；
故答案为：B.
【分析】由菱形的性质可得AB=BC，∠ABC=180°-∠DAB=120°，则∠ABD=∠CBD=60°，然后利用全等三角形的判定定理可判断①；易得BE=4，过点E作EH⊥AB交AB的延长线于点H，求出∠EBH的度数，然后根据三角函数的概念求出EH，据此判断②；易证△ADF∽△EBF，然后根据相似三角形的性质可判断③；过点F作FG⊥AB于点G，易得△ABD是等边三角形，则BD=AB=6，由相似三角形的性质可得BF，根据三角函数的概念求出FG，然后利用三角形的面积公式可判断④.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知函数是反比例函数，则 ．
【答案】3
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵是反比例函数，
∴
解得：
的值为．
故答案为：．
【分析】形如y=（k≠0）的函数，叫做反比例函数，据此可得，从而求解即可.
12．若，则 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
，
故答案为：．
【分析】由得，然后代入原式进行化简即可.
13．如图，
在 中， 点 分别在边 上， 与 相交于点 ， 若 ， 则 的长是
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵DE//AB，
∴△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，
∴
∵ ，
∴.
故答案为： .
【分析】由已知条件可得，由DE//AB可得△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，然后根据相似三角形的性质进行求解.
14．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象上两点A， 的横坐标分别为 ，2.若 为直角三角形，则 的值为 .
【答案】a=1或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，当 时，
A， 的横坐标分别为 ，2，
，
过 作 于 则
解得： （负根舍去）
当
同理可得：
解得： （负根舍去）
综上：a=1或 .
故答案为：a=1或 .
【分析】当∠OAB=90°，OA2+AB2=OB2，根据点A、B的横坐标可得A（-1，a），B（2，4a），表示出AB2，过A作AQ⊥BM于M，则 AE=QM=a，AQ=EM=3，BQ=3a，表示出AB2，据此可得a的值；当∠AOB=90°，同理表示出AB2，得到a的值.
15．如图，在平面直角坐标系中，，，第个正方形面积记为，第个正方形面积记为，第个正方形面积记为，，以此规律，则第个正方形的面积 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意得，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴∠DAO+∠ADO=∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
由上可得，，
当时，，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理得到，代入正方形面积公式得，由相似三角形的判定得到，根据相似三角形对应边成比例建立方程得到，进而得到，又由相似三角形的判定得到，得到，，由此得到规律：，把代入，计算求解即可.
16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝-1，且过点（-3，0），有以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a-b≤m（am+b）（m为任意实数）；④若方程a（x+3）（1-x）＝-1的两根为x1，x2，且x1＜x2，则-3＜x1＜x2＜1，其中说法正确的有 ．
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】抛物线开口向上，
a>0，
抛物线对称轴为直线
b=2a>0，
c<0，
abc<0，故①错误；
抛物线对称轴为直线且过点(-3，0)，
抛物线过点（1，0），
x=2时，y>0，
4a+2b+c>0，故②正确；
抛物线对称轴为直线
当时，y有最小值，
a-b≤m（am+b）（m为任意实数），故③正确；
方程a（x+3）（1-x）＝-1的两根为x1，x2，且x1＜x2，
抛物线与直线y=-1有两个交点（x1，1），（x2，1），
由图象可知 -3＜x1＜x2＜1， 故④正确，
故答案为：②③④
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点可判断 ① ；根据抛物线的对称性可得x=2时，y>0，可判断②；根据二次函数的性质可判断③；根据函数与方程的关系可判断④.
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若将该抛物线绕原点旋转180°，请直接写出旋转后的抛物线函数表达式。
【答案】（1）解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把点（0，3）代入得a+4＝3，
解得：a＝﹣1，∴这个二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4．
（2）解：y＝（x+1）2-4
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据函数的顶点坐标设函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，再把B的坐标代入计算即可.
（2）若将该抛物线绕原点旋转180°，求旋转后抛物线的关系式，把二次项系数的符号该变即可.
18．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3 cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：
（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；
（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=3cm，
∴AB=6，
由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，
∵△APC∽△ACB，
∴t= ；
（2）解：存在，
理由：如图②，由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，CQ= ，
∵点P是CQ的垂直平分线上，
过点P作PM⊥AC，
∴QM=CM=
∴AM=AQ+QM= = (3+t)
∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC
∴
∴解得t=1；
（3）解：不存在
理由：由运动知，BP=2t， ，
∴AP=6﹣2t，
假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，
∴PQ∥BG，PQ=BG，
∴△APQ∽△ABC， ，
∴ ，
∴BP=2t=3，
∴PQ≠BP，
∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）结合直角三角形性质，由△APC∽△ACB，得 ；（2）过点P作PM⊥AC，根据线段垂直平分线性质，求QM，AM的表达式，证△APM∽△ABC，得 ， ；（3）假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，则PQ∥BG，PQ=BG，由△APQ∽△ABC，得 ， 得BP=2t=3，故PQ≠BP.
19．如图所示，在平行四边形 中， 是 的延长线上一点， ，连接 与 ， ， 分别交于点 ， ．
（1）若 的面积为2，求平行四边形 的面积．
（2）求证 ．
【答案】（1）解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
又 ，
；
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形 的面积为： ．
（2）证明： ，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得对边相等，对边分别平行，从而可判定，，从而可得相似比，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及三角形DEF的面积为2，可求得答案；
（2）由AD//BC，AB//DC，分别判定，，从而可得比例式，等量代换，再变形即可得出结论。
20．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长．
【答案】（1）解：设 （ ），
把A（0，3）代入得， ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：①把 代入 ，
化简得 ，
解得 （舍去）， ，
∴ ．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）设 （ ），将A（0，3）代入求解即可；
（2）把 代入 ，解方程求出x，即可得出OD的值。
21．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且 ），求出y关于x的函数关系式；
（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
【答案】（1）解：生产第x档次的产品每件利润为[6+2（x－1）]元，可生产[95－5（x－1）]件，故总利润 （其中x是正整数，且1≤x≤10），
（2）解：令 ，则 ，即 ，
解得： ， （舍去），
答：该产品的质量档次为第6档.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）先求出 ， 再解方程求解即可。
22．如图①，在四边形中，，，点在边上，当 时，可知．（不要求证明）
（1）探究：如图②，在四边形中，点在边上，当时，求证：．
（2）拓展：如图③，在中，点是边的中点，点、分别在边、上若，，，则的长为 ．
【答案】（1）证明：．
，，
．
，
．
，
；
（2）
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（2）解：，
点是边的中点，
，
，
，
，
，
即且，
，，
在中，．
故答案为：．
【分析】（1）利用三角形外角的性质和角的构成，可证得∠BAP=∠CPD，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论；
（2）同理可证得△BDP∽△CPE，利用相似三角形的对应边成比例，可证得，据此可求出BD的长；再证明∠A=90°，根据AD=AB-BD，可求出AD的长；利用AE=AC-CE，可求出AE的长；然后利用勾股定理求出DE的长.
23．四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝100°，∠ADC＝130°，BD≠BC，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（2）如图2，已知格点△ABC，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形ABCD，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；（注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）
（3）如图3，四边形AOBC中，点A在射线OP： （x≥0）上，点B在x轴正半轴上，对角线OC平分∠AOB，连接AB.若OC是四边形AOBC的“相似对角线”，S△AOB＝6 ，求点C的坐标.
【答案】（1）解：∵对角线 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是四边形 的“相似对角线”；
（2）解：如下图所示：
∵∠ABC=∠ACD1=90°，
，
∴△ABC∽△ACD1，
故：以AC为“相似对角线”的四边形有：ABCD1，
同理可得：以AC为“相似对角线”的四边形还有：ABCD2、ABCD3、ABCD4；
（3）解：如图，作 于 ， 于 ，
∵点 在射线 ： 上，
∴ ，即 ，
∵对角线 平分 ，
∴ ，
∵ 是四边形 的“相似对角线”，
∴ 与 相似且不全等，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 .
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠ABD=∠DBC=50°，由内角和定理可得∠BDC+∠C=130°，由角的和差关系可得∠ADB+∠BDC=130°，推出∠ADB=∠C，证明△BAD∽△BDC，据此证明；
（2）易证△ABC∽△ACD1，故以AC为“相似对角线”的四边形有：ABCD1，同理可得：以AC为“相似对角线”的四边形还有：ABCD2、ABCD3、ABCD4；
（3）作AM⊥OB于M，CN⊥OB于N，由题意可得∠AOB=60°，根据角平分线的概念可得∠AOC=∠COB=30°，易得△AOC∽△COB，由相似三角形的性质可得OA·OB=OC2，由△AOB的面积可得OC，进而求出CN、ON，据此可得点C的坐标.
24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B．一次函数y＝kx+4（k≠0）图像与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D．若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图像与一次函数y＝kx+4（k≠0）图像交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？
【答案】（1）解：如图，过点 作 轴，交 轴于点 ，
，
，
，
令 ，代入 得： ，
，
，
，
，
，
点 的纵坐标为16，
令 ，代入 得： ，
解得： 或 ，
；
（2）解：如图， 点 是抛物线 的顶点，
，
， ， ，
，
，
；
（3）解：如图，设抛物线平移了 个单位长度，则抛物线为 ，
，
把 代入 得： ，
一次函数为 ，
令 ，代入 得： ，
，
把 代入 得： ，
解得： 或 （舍去），
抛物线平移了8个单位长度．
【知识点】二次函数图象的几何变换；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）过点 作 轴，交 轴于点 ，先证明，得到，再求出点B的坐标，结合AB=3BD，可得，求出AE的长，可得点A的纵坐标，再将y=16代入即可求出点A的坐标；
（2）利用，将数据代入计算即可；
（3）设抛物线平移了 个单位长度，则抛物线为 ，得到M的坐标，将点A的坐标代入计算求出一次函数解析式，得到N的坐标，再将N的坐标代入即可求出h的值。
25．如图，在矩形中，为边上一点，，的平分线交的延长线于点.
（1）求的度数；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接，作交的延长线于点，当时，求的长.
【答案】（1）解：，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于.
，
可以假设，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
；
（3）解：由（2）可知，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得 ， 由角平分线的定义可得 ， 根据三角形外角的性质可得∠AED=∠APD+∠PAE，据此列出等式即可求解；
（2）过点作于，过点作于，过点作于，由DE：EP=4：3，可设，，从而求出PH=5k， ，利用勾股定理求出AD=k， 由 可求出EK的长，证明四边形是矩形，可得AB=EK，从而求出AB与AD的比值；
（3） 由（2）可知，求出k值，即得，证明 ， 利用相似三角形的对应边成比例可求出PJ=15，再利用勾股定理求出AK=21，继而求出DK，EJ，BJ，根据勾股定理求出PB即可.
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