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浙教版九年级上册期中名校真题精选卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（ ）
A．(2，﹣1) B．(﹣2，1) C．(﹣2，﹣1) D．(2，1)
2．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=x（x+1） B．x2y=1
C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—0.5
3．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米
4．下列关于抛物线的性质说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是(2，3)
C．对称轴是直线x=-2 D．当-55．如图，是的直径，是弦，于E，，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是必然事件
B．“从一个装有6个红球的不透明的袋中摸出一个球是红球”是随机事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
7．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．二次函数的图象如图所示. 下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则；⑥. 其中正确的有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
9．二次函数 ，对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
10．将2张相同的正方形纸片和2张相同的小长方形纸片按如图所示摆放在矩形ABCD内，中间留有一个小正方形未被覆盖.经过EF的直线交AD于点，交BC于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为 ．
12．抛物线y＝（x﹣7）2﹣4的对称轴是直线x＝ ．
13．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．
14．直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是 ．
15．已知函数y＝ ，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范是 ．
16．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠B＝90°，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接CB1，则点B1到直线AC的距离为 .
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项.
（2）已知x：y＝4：3，求的值.
18．每个小方格都是边长为1个单位长度，正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示．
（1）画出正方形ABCD关于原点中心对称的图形；
（2）画出正方形ABCD绕点D点顺时针方向旋转90°后的图形；
（3）求出正方形ABCD的点B绕点D点顺时针方向旋转90°后经过的路线长．
19．物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营．据了解，该超市每天调运一批成本价为8元/千克的大蒜，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示．
（1）求出每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系式；
（2）该超市将大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
（3）求该超市大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润最大，并求出最大利润．
20．某学校游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图，A转盘被分成三个面积相等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，先转动A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动B转盘，记下指针所指区域内的数字（当指针在边界线上时，重新转动一次，直到指针指向一个区域内为止），然后，将两次记录的数据相乘.
（1）请利用画树状图或列表的方法，求出乘积为负数的概率；
（2）如果乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？
21．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证 ．此时， ＝ ．
（2）将三角板DEF由图所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问 的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设2＜x＜4，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．
22．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数.
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.
23．如图，在直角坐标系中，直线BC经过点B（﹣4，0）和点C（0，3），A点坐标为（3，0），点P为直线BC上一点，连接AC、AP．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图，当点P在线段BC上，∠APC＝45°时，求P点坐标；
（3）点P在直线BC上移动，当△APB与△BOC相似时，求点P的坐标．
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浙教版九年级上册期中名校真题精选卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（ ）
A．(2，﹣1) B．(﹣2，1) C．(﹣2，﹣1) D．(2，1)
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】∵y=-x2-4x-3=-（x2+4x+4-4+3）=-（x+2）2+1
∴顶点坐标为（-2，1）；
故答案为：B.
【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，从而求出结论.
2．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=x（x+1） B．x2y=1
C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—0.5
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、该函数符合二次函数的定义，故符合题意；
B、整理后：y= ，不符合二次函数形式，故不符合题意；
C、整理后，该函数的自变量的最高次数是1，属于一次函数，故不符合题意；
D、该函数属于一次函数，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】把一个函数解析式化为一般形式后，形如“y=ax2+bx+c (a≠0）”的函数就是二次函数，根据定义即可一一判断得出答案。
3．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形，
∴CE=BD=9.6米，BE=CD=2米，
由题意可得：，
∴AE=8(米)，
∴AB=AE+BE=8+2=10(米).
故答案为：C.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形，可得CE=BD=9.6米，BE=CD=2米，根据同一时刻物高：物影=杆高：杆影，求出AE的长，利用AB=AE+BE即可求解.
4．下列关于抛物线的性质说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是(2，3)
C．对称轴是直线x=-2 D．当-5【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线解析式可知二次项系数为-1<0，
∴抛物线开口向下，A不符合题意；
由抛物线解析式可知顶点坐标是(-2，3)，B不符合题意；
由抛物线解析式可知对称轴是直线x=-2，C符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=-2，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴当-5故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象和性质逐项判断即可。
5．如图，是的直径，是弦，于E，，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴，
设，则，
在Rt△OAE中，，
即，
解得：，
∴，
∴，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，求出，利用线段的和差求出CE的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可。
6．下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是必然事件
B．“从一个装有6个红球的不透明的袋中摸出一个球是红球”是随机事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
【答案】D
【知识点】事件发生的可能性；真命题与假命题
【解析】【解答】解：“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是随机事件，A不符合题意；
“一个不透明的袋中装有6个红球，从中摸出1个球是红球”是必然事件，B不符合题意；
“概率为0.0001的事件”是随机事件，C不符合题意；
“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
7．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，
∴BE∥DF∥CG
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，
∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴ ， ，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH
∴ ，
∴
∴S2=4S1，S3=9S1，
∵S1+S3=20，
∴S1=2，
∴S2=8．
故答案为：B．
【分析】
8．二次函数的图象如图所示. 下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则；⑥. 其中正确的有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①抛物线开口方向向下，则．
抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于正半轴，则．
所以．
故①错误．
②抛物线对称轴为直线，
，即，
故②正确；
③抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为：；
，即，
故③错误；
④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
当时，，
，
故④错误；
⑤，
，
，
，
而，
，即，
，
，
故⑤正确．
∵当时，，，
∴，
故⑥正确；
综上所述，正确的有②⑤⑥．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小；）分析求解即可.
9．二次函数 ，对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∵关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，
∴ 且 ，
∴ 时， ，
时， ，即 ．
故答案为： ．
【分析】利用抛物线的对称轴求出m的值，再将二次函数解析式转化为顶点式，再根据关于 x 的一元二次方程 x2+mx t=0 （ t 为实数）在 210．将2张相同的正方形纸片和2张相同的小长方形纸片按如图所示摆放在矩形ABCD内，中间留有一个小正方形未被覆盖.经过EF的直线交AD于点，交BC于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设MD=x，AI=y，则OG=MD=x，过M作BC的垂线，分别交FG、BC于O、P，
∴四边形MOGD是矩形，四边形OGCP是矩形，
∵，∴DG=2x，∴MO=DG=2x，
∵四边形HLGD与四边形JKJB是相同的长方形，
∴HL=DG=IB=KJ=2x.
∵四边形AHEI与四边形FGCJ是相同的正方形，
∴HE=FJ=IE=AI=y.
∵四边形LFKE是正方形，
∴EK=FK，∠EFK=45°，
∵∠GFK=90°，∠EFK+∠GFK+∠MFG=180°，
∴45°+90°+∠MFG=180°，解得∠MFG=45°.
∴FO=MO=2x.
∴FG=FO+OG=2x+x=3x.
∴LF=EK=FK=LE=HE-HL=y-2x.
∴BJ=IK=IE+EK=y+y-2x=2y-2x.
LG=FL+FG=y-2x+3x.
∵BJ=LG，
∴2y-2x=y-2x+3x，即y=3x.
∴
故答案为：A.
【分析】设MD=x，正方形的边长为y，结合图形推导出x与y的关系式，用含有x、y的代数式分别表示出AB、BC，再求出比值.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为 ．
【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长==2π.
故答案为：2π.
【分析】根据弧长的计算公式，l=，其中n指圆心角的度数.
12．抛物线y＝（x﹣7）2﹣4的对称轴是直线x＝ ．
【答案】7
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：根据抛物线的解析式的顶点式，可得其对称轴为直线x=7.
故答案为：7.
【分析】根据二次函数的性质，由抛物线的顶点式可直接确定其对称轴.
13．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．
【答案】800
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵
，
∴当时y的值最大，最大值为 ，所以该型号飞机着陆后需要滑行米才能停下来，
故答案为800．
【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可。
14．直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是 ．
【答案】(7，3)
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：根据题意令x=0，得y=4；令y=0，得 x=3 ．
∴A(3，0)， B(0，4)．
由旋转可知，∠O′AO=∠ B′O′A=90°，OA=O′A，OB=O′B′，如图．
∴点B′ 的纵坐标为OA长，即为3；横坐标为OA+O′B′=OA+OB=3+4=7 ．
故点B′的坐标是(7，3) ．
故答案为：(7，3)．
【分析】先求出点A、B的坐标，利用旋转的性质可得∠O′AO=∠ B′O′A=90°，OA=O′A，OB=O′B′，再求出点B′的坐标是(7，3) 即可。
15．已知函数y＝ ，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范是 ．
【答案】k＝1或k＜-8
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：y＝-（x-1）2+1的顶点坐标为（1，1），
y＝-（x-7）2+1的顶点坐标为（7，1），
当 得：x＝4，
则抛物线y＝-（x-1）2+1和抛物线y＝-（x-7）2+1相交于点（4，-8），
如图，直线y＝-8与函数图象有三个交点，
当k＜-8时，直线y＝k与函数图象有2个交点，
当k＝1时，直线y＝k与函数图象有2个交点，
所以使y＝k成立的x值恰好有2个时，k＝1或k＜-8．
故答案为：k＝1或k＜-8．
【分析】根据抛物线的解析式求出顶点坐标，再作图求解即可。
16．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠B＝90°，AB＝2，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接CB1，则点B1到直线AC的距离为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接CC1，过点B1作B1H⊥AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝2 ，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1＝2 ，∠CAC1＝60°，AB1＝AB＝2，BC＝B1C1＝2，
∴△ACC1是等边三角形，
∴C1C＝AC，B1C＝B1C，AB1＝B1C1，
∴△AB1C≌△C1B1C（SSS）
∴ ×（2 ）2＝ ×2×2+2× ×2 ×B1H，
∴B1H＝ ，
故答案为： .
【分析】连接CC1，过点B1作B1H⊥AC，由旋转的性质可得AC=AC1=2 ，∠CAC1=60°，AB1=AB=2，BC=B1C1=2，可得∴△ACC1是等边三角形，由“SSS”可证△AB1C≌△C1B1C，可得S△AB1C=S△C1B1CS，由三角形的面积关系可求解.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项.
（2）已知x：y＝4：3，求的值.
【答案】（1）解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）.
∴线段a，b的比例中项是3.
（2）解：设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝.
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1） 设线段x是线段a，b的比例中项 ，根据比例的性质可得x2=ab，据此建立方程，求解检验即可；
（2）根据比例的性质这x＝4k，y＝3k，再代入待求式子合并约分即可得出答案.
18．每个小方格都是边长为1个单位长度，正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示．
（1）画出正方形ABCD关于原点中心对称的图形；
（2）画出正方形ABCD绕点D点顺时针方向旋转90°后的图形；
（3）求出正方形ABCD的点B绕点D点顺时针方向旋转90°后经过的路线长．
【答案】（1）解：如图，正方形A′B′C′D′为所作；
（2）解：如图，正方形CFED为所作；
（3）解：BD ，
所以正方形ABCD的点B绕点D点顺时针方向旋转90°后经过的路线长 π．
【知识点】弧长的计算；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的定义作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用勾股定理求出 BD ， 再利用弧长公式计算求解即可。
19．物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营．据了解，该超市每天调运一批成本价为8元/千克的大蒜，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示．
（1）求出每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系式；
（2）该超市将大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
（3）求该超市大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（9，110），（10，108）代入，得 ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+128（8≤x≤12）
（2）解：根据题意得：（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣2x+128）＝318，
解得：x＝11或61（舍去），
∴x＝11．
即：超市将大蒜销售单价定为11元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；
（3）解：设每天的销售利润为W（元），则：
W＝（x﹣8）y，
＝（x﹣8）（﹣2x+128），
＝﹣2（x﹣8）（x﹣64），
∵a＝﹣2＜0，
∴当 即x＜36时，W随x的增大而增大，
∵8≤x≤12，
∴当x＝12时，W取得最大值，最大值为416．
答：当超市大蒜销售单价定为12元时，每天销售大蒜的利润最大，最大利润是416元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意求出 （x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣2x+128）＝318， 再求解即可；
（3）先求出W ＝﹣2（x﹣8）（x﹣64）， 再根据函数的性质求解即可。
20．某学校游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图，A转盘被分成三个面积相等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，先转动A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动B转盘，记下指针所指区域内的数字（当指针在边界线上时，重新转动一次，直到指针指向一个区域内为止），然后，将两次记录的数据相乘.
（1）请利用画树状图或列表的方法，求出乘积为负数的概率；
（2）如果乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？
【答案】（1）解：列表如下：
1.5 -3 -
0 0 0 0 0
1 1.5 -3 -
-1 -1.5 3 -
所有等可能的情况有12种，
乘积结果为负数的情况有4种，则P（乘积结果为负数）= ；
（2）解：乘积是无理数的情况有2种，
则P（乘积为无理数）= .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出乘积为负数的情况数，即可求出所求的概率；（2）找出乘积为无理数的情况数，即可求出一等奖的概率.
21．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证 ．此时， ＝ ．
（2）将三角板DEF由图所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问 的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设2＜x＜4，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．
【答案】（1）8
（2）解： 的值不会改变，理由如下：
在 与 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
．
．
；
∴ 的值不会改变；
（3）解：
当 ，即 时， ，
此时两三角板重叠部分为四边形 ，过D作 于G， 于N，
，
由（2）知： ，
∴ ，
则
，
与x的函数关系式为： ．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1） ， ，
．
．
，
，斜边中点为 ，
，
；
故答案为：8；
【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解；
（2）不会改变，理由：证明，可得 ，从而得出；
（3）当 时，此时两三角板重叠部分为四边形 ，过D作 于G， 于N，可得DG=DN=2，利用即可得出函数关系式.
22．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数.
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令 ，代入直线解析式可得C点坐标（0，3），令y＝0，代入直线解析式可得B点坐标（3，0），
将点B，C代入抛物线得：
，
解得： ，
∴抛物线解析式 ；
（2）解：如图，
∵ ， ，
∴ 等腰直角三角形，
∴ ，
根据圆周角定理可得： ；
（3）解：存在点P使 为等腰三角形；
理由如下：如图，
由（1）可知抛物线 ，
∴抛物线对称轴 ，顶点D坐标（1，4），
设P点坐标为（1，m），
∴ ，
，
，
①当 时， ，解得 ；
②当 时， ，解得 ， ；
③当 时， ，解得 ， ；
综上所述，当点P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1， ）、（1， ）时， 为等腰三角形.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；线段上的两点间的距离；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直线求得点B与点C坐标，再由待定系数法求解抛物线解析式；
（2）由题意易得△OBC是等腰直角三角形，再由圆周角定理可求解；
（3）由直角坐标系内两点间距离公式，分三种情况：①当PC=PD时，可得关于m的方程，解方程可求解；②当PC=CD时，可得关于m的方程，解方程可求解；③当PD=CD时，可得关于m的方程，解方程可求解；讨论求解．
23．如图，在直角坐标系中，直线BC经过点B（﹣4，0）和点C（0，3），A点坐标为（3，0），点P为直线BC上一点，连接AC、AP．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图，当点P在线段BC上，∠APC＝45°时，求P点坐标；
（3）点P在直线BC上移动，当△APB与△BOC相似时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：设直线的解析式为：，
∵直线BC经过点B（﹣4，0）和点C（0，3），
∴，解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：当点P在线段BC上，
∵C（0，3），A（3，0），
∴，为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
过点作轴于点，
在中，，
即，
∴（舍去正值），
∴，
此时，
∴；
（3）解：过点作交延长线于点，
∵，，
∴，
过点作轴于点，
∵B（﹣4，0），C（0，3），A（3，0），
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
过点作交直线于点，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上：当点的坐标为或时，△APB与△BOC相似．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）证明，可得，据此求出CP=，设， 过点作轴于点，由勾股定理得，据此建立关于m方程并解之，即得点P坐标；
（3）分两种情况：当或时，据此分别解答即可.
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