2024-2025学年云南省红河州开远一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年云南省红河州开远一中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则等于( )
A. B. C. D.
2.函数在区间上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
3.在中，若为边上的中线，点在上，且，则( )
A. B. C. D.
4.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的周期为，当时，如果，那么的零点个数是( )
A. B. C. D.
6.已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知在三棱锥中，平面，，，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下述四个结论正确的是( )
A. 过点与圆相切的直线方程为
B. 是直线与圆相交的充分不必要条件
C. 直线表示过点的所有直线
D. 过点且在坐标轴上截距相等的直线方程是
10.设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，函数的图象的一条对称轴为
B. 已知，，且的最小值为，则
C. 当时，函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数
D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是
11.已知函数，则下列说法中正确的是( )
A. 的值域是 B. 的图象关于直线对称
C. 当时，有 D. 方程有四个不同的根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则______．
13.已知，，则 ______．
14.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两个不同的点，如果，，成等差数列，那么 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若的面积是，，求．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，分别是，的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过的部分按元收费，超过但不超过的部分按元收费，超过的部分按元收费．
求某户居民用电费用单位：元关于月用电量单位：的函数解析式；
为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年月份户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这户居民中，今年月份电费不超过元的占，求，的值；
在的条件下，计算月用电量的第百分位数．
19.本小题分
设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．
Ⅰ求椭圆的方程和抛物线的方程；
Ⅱ设上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程．
参考答案
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13.．
14.
15.解：设等比数列的公比为，
由，，得，
即，
解得舍或．
．
，
，，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则数列的前项和
．
16.解：由，得，
得，
得，
由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
因为，所以．
若的面积是，，
则，解得，
所以．
由余弦定理，可得，
所以．
17.证明：因为，分别为，的中点，
所以，
如图，取的中点，连接，，
则，，
因为四边形为正方形，
所以，，
则，，
故四边形是平行四边形，
则，
因为平面，平面，
故DE平面；
解：连接，因为，则，
又为的中点，则，
由勾股定理可得，
以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故，
所以，
故二面角的余弦值为．
18.解：当时，，
当时，，
当时，，
所以；
由可知，当时，，即用电量低于的占，
结合频率分布直方图可知，
解得，；
设第百分位数为，
因为用电量低于的所占比例为，
用电量低于的占，所以第百分位数在内，
所以，解得，
即用电量的第百分位数为．
19.解：Ⅰ设的坐标为，
依题意可得
解得，，，
于是，
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为．
Ⅱ直线的方程为，由题意，设直线的方程为，
联立方程组
解得点，故，
联立方程组
消去，整理得，
解得，或，
，
直线的方程为
，
令，解得，故D，
，
又的面积为，
，
整理得，
解得，，
直线的方程为，或．
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