2024-2025学年四川省遂宁市射洪中学强基班高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省遂宁市射洪中学强基班高一（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四组函数中，不是同一个函数的一组是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.函数为幂函数，则函数为( )
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数
6.若函数是定义在上的偶函数，则( )
A. B. C. D.
7.函数的部分图像如图，则的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
8.我国南宋著名数学家秦九韶约独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作数书九章中具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式，就是现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，
若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个结论中正确的是( )
A. ，，
B. 命题“，”的否定是“”
C. “”的充要条件是“”
D. “”是“”的必要不充分条件
10.已知函数，则关于函数正确的说法是( )
A. 函数的定义域为 B. 函数在单调递减
C. 函数值域为 D. 不等式的解集为
11.我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是( )
A. 已知，，则
B. 已知或，，则或
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______．
13.已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数的取值范围是______．
14.下列说法正确的有 填序号
若函数为奇函数，则；
函数在上是单调减函数；
若函数的定义域为，则函数的定义域为；
将的图象向右平移个单位，可得的图象．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，已知集合．
当时，求；
若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
16.本小题分
解不等式组
Ⅰ；
Ⅱ．
17.本小题分
我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为元，售价为元，月销售万瓶．
据市场调查，若售价每提高元，月销售量将减少瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润月总利润月销售总收入月总成本，该饮料每瓶售价最多为多少元？
为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
18.本小题分
已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有．
求，的值；
证明：为偶函数；
当，，证明在上单调递增，并求不等式的解集．
19.本小题分
已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
求函数图象的对称中心；
用定义判断在区间上的单调性；
已知函数的图象关于点对称，且当时，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围，
参考答案
1.
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4.
5.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由得，
当时，，
．
“”是“”的必要不充分条件，
，
由得或，
当，即时，，不满足．
当，即时，，不满足题意；
当，即时，，
，
，解得，
综上，的取值范围为．
16.解：Ⅰ，
原不等式化为：，则有，
综上，原不等式的解集为．
Ⅱ，
当时，原不等式；
当时，原不等式；
当时，恒成立，故或．
当时．
当时，即时，此时．
当时，即时，无解．
当时，即时，此时．
17.解：设提价元，由题意，每瓶饮料利润为元，月销量为万瓶，
所以提价后月总销售利润为万元，
因为原来月销售总利润为万元，月利润不低于原来月利润，
所以，，
即，，
所以，所以售价最多为，
故该饮料每瓶售价最多为元；
由题意，每瓶利润为元，月销售量万瓶，
设下月总利润为，，
整理得，
，
因为，所以，
，
当且仅当时取到等号，
故当售价为元时，下月的利润最大为万元．
18.解：令，得，故，
令，得，故．
所以，；
证明：令，
则有，
由可知，
所以．
因为是定义在非零实数集上的函数，
所以为偶函数．
证明：设任意的，，，
，
因为，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
因为在上单调递增，且为偶函数，
所以在上是减函数，
因为，
所以，
所以且，解得且，
所以不等式的解集为或．
19.解：设函数的图象的对称中心为，
则，
即，
整理得，
可得，
解得，
所以的对称中心为；
函数在上单调递增；
证明如下：任取，且，
则，
因为，且，
可得且，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
由对任意，总存在，使得，
可得函数的值域为值域的子集，
由知在上单调递增，
故的值域为，
所以原问题转化为在上的值域，
当时，即时，在单调递增，
又由，
即函数的图象恒过对称中心，
可知在上单调递增，
故在上单调递增，
又因为，，故A，
因为，
所以，解得；
当时，
即时，在单调递减，在单调递增，
因为过对称中心，
故在单调递增，在单调递减，
故此时，
欲使，只需，
且，
解不等式，可得，
又，此时；
当时，即时，在单调递减，在上单调递减，
由对称性知在上单调递减，所以，
因为，
所以，解得，
综上可得：实数的取值范围是．
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