2024-2025学年山东省济南市平阴实验高级中学高二(上)学情检测数学试卷(10月份)(含答案)

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名称 2024-2025学年山东省济南市平阴实验高级中学高二(上)学情检测数学试卷(10月份)(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-11-03 08:55:00

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2024-2025学年山东省济南市平阴实验高级中学高二(上)学情检测
数学试卷(10月份)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.直线的斜率及在轴上的截距分别为( )
A. , B. , C. , D. ,
2.已知空间向量,,,,若,则( )
A. B. C. D.
3.圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离
4.在四面体中,点,满足,,若,则( )
A. B. C. D.
5.已知两点,,直线过点且与线段有交点,则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知矩形中,,,将矩形沿对角线折起,使平面与平面垂直,则( )
A. B. C. D.
7.若圆上至少有三个点到直线的距离为,则半径的取值范围( )
A. B. C. D.
8.若直线与直线交于点,则到坐标原点距离的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.对于直线:与圆:,下列说法正确的是( )
A. 过定点 B. 的半径为
C. 与可能相切 D. 被截得的弦长最小值为
10.数学著作圆锥曲线论中给出了圆的一种定义:平面内,到两个定点,距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点,,动点满足,则下列说法正确的是( )
A. 点的轨迹围成区域的面积为
B. 面积的最大值为
C. 点到直线距离的最大值为
D. 若圆:上存在满足条件的点则半径的取值范围为
11.在棱长为的正方体中,为侧面的中心,是棱的中点,若点为线段上的动点,则下列说法正确的是( )
A. 的长最小值为
B. 的最小值为
C. 若,则平面截正方体所得截面的面积为
D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合,则的值可以是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若直线沿轴向左平移个单位长度,再沿轴向上平移个单位长度后,回到原来的位置,请写出一条与垂直的直线方程______.
13.正方体的棱长为,点满足,则到的距离为______.
14.已知直线:的图象与曲线:有且只有一个交点,则实数的取值范围是______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线:,直线:.
Ⅰ当时,求两直线的交点坐标;
Ⅱ当时,求两直线间的距离.
16.本小题分
已知圆过三个点,,.
求圆的标准方程;
若点的坐标为,求过点的切线方程.
17.本小题分
如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,,是的中点.
求直线到平面的距离;
求平面与平面夹角的余弦值.
18.本小题分
已知线段的端点的坐标是,端点的运动轨迹是曲线,线段的中点的轨迹方程是.
求曲线的方程;
已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点、,直线,的斜率分别为,,且若,为垂足,证明:存在定点,使得为定值.
19.本小题分
如图,是以为直径的圆上异于,的点,平面平面,为正三角形,,分别是,上的动点.
求证:;
若,,求三棱锥的外接球体积;
若,分别是,的中点且异面直线与所成角的正切值为,记平面与平面的交线为直线,点为直线上动点,求直线与平面所成角的取值范围.
参考答案
1.
2.
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5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.直线方程的斜率为即可
13.
14.
15.解:Ⅰ由于直线:,直线:互相垂直,
所以,解得或;
当时,直线:,直线:,解得交点坐标为;
当时,直线:,直线:,所以,解得,故交点的坐标为
Ⅱ当时,所以,解得或,
当时,两直线重合,不符合题意;
故当时,两直线的方程为和;
故两平行线的距离.
16.解:根据题意,设圆的一般方程为,
将三个点,,代入方程,
则有,
解得,,,
所以圆的一般方程为,
化为标准方程为.
根据题意,圆:的圆心,半径,
当切线斜率不存在时,易知切线方程为,
当切线斜率存在时,设切线方程为,即,
则依题意可得,解得,
此时切线方程为,即,
综上所述,过点的切线方程为和.
17.解:连接交于点,底面,,则建立以为原点,以、、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系,如图所示:
底面为矩形,为的中点,
是的中点,,
平面,平面,
平面,
直线到平面的距离即为点到平面的距离,
,则,,,,
,,,
设平面的一个法向量为,
则,即,取,则,,
平面的一个法向量为,
,,
点到平面的距离为,,
故直线到平面的距离为;
由得平面的一个法向量为,,,,
则,,
设平面的一个法向量为,
则,即,取,则,,
故平面的一个法向量为,
,,
平面与平面夹角的余弦值为.
18.解:设,,,是的中点,

线段的中点的轨迹方程是,
,即,
故曲线的方程为;
证明:由得曲线的方程为,
由题意设直线的方程为,、,,
联立直线与曲线的方程为,整理得,
由韦达定理得,,
,即,
又,即,
直线的方程为,
直线过定点,
为定值,为直角三角形,为斜边,
当是的中点时,为定值,
,,
存在定点,使得为定值.
19.证明:因为是以为直径的圆上异于,的点,所以,
又平面平面,且平面平面,平面,
所以平面,平面.
所以.
解:取中点,连接,,设是正的中心,过作交过的平面的垂线于,
由已知可得,,是二面角的平面角,
平面平面,,平面,平面,平面,
是的外心,故是三棱锥的外接球的球心,
,,,,

,,
三棱锥的外接球体积;
解:由,分别是,的中点,连结,,,所以,
由知,所以,
所以在中,就是异面直线与所成的角.
因为异面直线与所成角的正切值为,
所以,即,
又平面,平面,
所以平面,又平面,平面平面,
所以,
所以在平面中,过点作的平行线即为直线.
以为坐标原点,,所在直线分别为轴,轴,过且垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,设.
因为为正三角形,所以,从而,
由已知,分别是,的中点,所以,
则,,,所以,,
所以,,
因为,所以可设,平面的一个法向量为,
则,取,得,
又,则,
设直线与平面所成角为,则
所以直线与平面所成角的取值范围为
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