2024-2025学年云南省德宏州民族一中大联考高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年云南省德宏州民族一中大联考高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，或，则( )
A. ， B.
C. D.
2.数据，，，，，，，，，的上四分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知，为非零向量，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.函数图象的对称中心为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.的展开式中项的系数为( )
A. B. C. D.
7.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是正方形，，且，均为正三角形，，则与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足，若函数在上的零点为，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为复数，则下列说法中正确的有( )
A. 若，，其中，，，，且，，则
B. 若为纯虚数，则
C. 若关于的方程，，的一个虚根为，则
D. 若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限
10.已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，设，，的中点为，则下列说法中正确的有( )
A. 若直线过焦点，则
B. 若直线过焦点，则的最小值为
C. 若直线的斜率存在，则其斜率与无关，与有关
D. 若为坐标原点，直线的方程为，则
11.已知函数的定义域为，其导函数为，，，且，则( )
A. B. 为奇函数
C. 是函数的周期 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若定义在上的函数满足，且，则曲线在点处的切线方程为______．
13.已知椭圆的长轴长为，离心率为若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为______．
14.已知不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且，．
求；
若是边上一点，且，，求．
16.本小题分
为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动已知该校学生人数为，参加体能训练活动的男生人数为，不参加体能训练活动的男生人数为，参加体能训练活动的女生人数为．
若该校有名学生，根据题意完成如图所示的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；
参加 不参加 合计
男生
女生
按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取人，再从这人中随机抽取人，设这人中参加体能训练活动的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
17.本小题分
如图，在正三棱锥中，，，的中点为，过点作底面的垂线，垂足为，是线段上的一个动点．
证明：；
若是正三棱锥外接球的球心，且，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，，，是平面内的动点，且内切圆的圆心在直线上．
求动点的轨迹的方程；
过点作三条不同的直线，，，且轴，与交于，两点，与交于，两点，，都在第一象限，直线，与分别交于点，，证明：为定值．
19.本小题分
一般地，元有序实数组称为维向量如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度模等，如，则若存在不全为零的个实数，，，，使得，则称向量组，，，是线性相关的，否则，称向量组，，，是线性无关的．
判断向量组，，是否线性相关．
已知函数，，且恒成立．
求的值；
设，其中，若，，数列的前项和为；证明：当时，．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理得，
即，
又，所以，，
所以，又，
所以，即；
由题意得，
则，
即，
左右两侧平方得，
又因为，所以，
整理得，解得或舍去，
由余弦定理得，
解得．
16.解：由题意可知，参加体能训练活动的男生人数为人，
不参加体能训练活动的男生人数为人，
参加体能训练活动的女生人数为人，
所以列联表如下：
参加 不参加 合计
男生
女生
合计
零假设：学生参加体能训练活动的意愿与性别无关联，
则，
因为，
所以根据小概率的独立性检验，我们推断成立，即没有证据说明学生参加体能训练活动的意愿与性别有关联；
按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取人，
则抽取参加体能训练人数为人，不参加的为人，
由题意可得的可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
所以，
17.证明：连接，，
为正三棱锥，为等边三角形的中心，且平面，
又平面，，
又为的中点，，，
且，平面，平面，平面，
平面，．
解：由题意可知：，则，
设正三棱锥外接球的半径为，则，，
，，
解得，，
则，可得，
平面，平面，则，
取的中点，连接，，，则，且，，
可知，
过作，垂足为，连接，则，
即为二面角的平面角，
由的面积可得，解得，
可知，
在中，由余弦定理可得，
平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：设内切圆的圆心为，且与三边切于点，，，
此时，，，
所以，
又，，，
所以，，
则，
所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右半支顶点除外，
此时，
则动点的轨迹的方程为；
易知直线的方程为，双曲线的渐近线为，
设直线的方程为，直线的方程为，，，，，，
联立，消去并整理得，
此时恒成立，
由韦达定理得，
易知，
即，
同理得，
所以直线，
令，
解得
，
此时，
同理得
．
故为定值．
19.解：假设，，线性相关，则存在不全为零的个实数，，，使得，
因为，，，
则，
可得，解得，
故假设不成立，即，，是线性无关的．
令，依题意，对任意恒成立，
，
注意，可得，解得；
若，则，，
令，解得，在内单调递增；
令，解得，在内单调递减；
则，符合题意；
综上所述：；
证明：由可知：，则，，
则，
可得，
又因为，
则，
即，，则，
可得，
因为，且为递增数列，则，
可得为递增数列，则，
综上所述：．
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