2024-2025学年广东省江门市高三（上）调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省江门市高三（上）调研数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. ，则 D. 若，则
4.已知函数则( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
6.在正方形中，与交于点，则( )
A. B. C. D.
7.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间天满足的函数解析式为若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为结果保留一位小数，
A. B. C. D.
8.已知各项都为正数的数列满足，，，则下列结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数在处取得极大值，则( )
A. ，或 B. 的解集为
C. 当时， D.
10.在中，，，，点在边上，为的角平分线，点为中点，则( )
A. 的面积为 B.
C. D.
11.已知，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调减区间为______．
13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， ______．
14.已知，，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
求的值；
若角满足，求的值．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明：数列为等差数列；
记数列的前项和为，若，求满足条件的最大整数．
17.本小题分
已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，记的面积为，内切圆半径为，外接圆半径为．
若，求；
记，证明：；
求的取值范围．
18.本小题分
设函数．
求在处的切线方程；
证明：；
若方程有两个实根，求实数的取值范围，
19.本小题分
如果定义域为的函数同时满足以下三个条件：对任意的，总有；；当，，且时，恒成立则称为“友谊函数”请解答下列问题：
已知为“友谊函数”，求的值；
判断函数是否为“友谊函数”？并说明理由；
已知为“友谊函数”，存在，使得，且，证明：．
参考答案
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15.解：终边过点则，
，，
；
，所以，
所以，
当，所以，
当，所以，
综上可知，的值为或．
16.证明：由，
得，即；
当时，有，
得：，即，
又适合，
，
设，则，
即数列为以为首项为公差的等差数列；
解：由可得，
则，
，
则，
即，，
解得，
即满足条件的最大整数．
17.解：因为，，，
由余弦定理可得，
因为，所以，
所以；
证明：因为的面积为，内切圆半径为，
所以，
又因为，
所以，
所以；
解：由正弦定理得，因为，，
得，
可得，
由得，
又因为，
可得，
因为且，
即且，
解得，
令，，
则在上单调递增，
所以，
即，
故的取值范围为．
18.解：易知的定义域为，
可得，
此时，
又，
所以在处的切线方程为，
即；
证明：令，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即；
令，
可得，
若方程有两个实根，
则在上有两个零点，
当时，，在上单调递减，
所以至多只有一个零点，不满足条件；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
当时，，只有一个零点，不满足条件，
令，
可得，
当时，，
所以在上单调递增，
则，
因为，，，
所以，使得，
则满足条件；
当时，，
所以在上但带哦递减，
则，
因为，，，
所以，使得，
则满足条件．
综上所述：实数的取值范围为．
19.解：因为对任意的，总有，
所以；
因为当，，且时，恒成立，
令，
此时，
则．
故；
函数是“友谊函数”，理由如下：
对条件：因为，，
当时，，
所以在上单调递增，
所以当时，，
对条件：，
对条件：设，，且，
此时
．
所以，
综上可知，函数是“友谊函数”；
证明：设且，
此时，
所以，
所以函数在上单调递增，
假设，
此时或，
若，
则，这与矛盾；
若，
此时，这与矛盾．
则假设不成立，故．
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