2024-2025学年江西省上饶市玉山文苑学校高三（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省上饶市玉山文苑学校高三（上）第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数已知函数是“函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.若圆：与圆：交于、两点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有，两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏只考虑、两个易损部分的条件下，，两个部位都损坏的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 为递增数列 C. 为递减数列 D.
8.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，，设，则( )
A. B.
C. D.
10.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为的正方形，则( )
A. 该几何体的体积为
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 异面直线与的夹角正弦值为
D. 存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上
11.设函数，则( )
A. 当时，是的极大值点
B. 当时，有三个零点
C. 若满足，则
D. 当时，若在上有最大值，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用如图，某楔体形构件可视为一个五面体，其中面为正方形若，，且与面的距离为，则该楔体形构件的体积为______．
13.已知为曲线上的动点，则的最大值为______．
14.已知曲线上有不同的两点和，若点，关于直线的对称点，在曲线上，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求据市场分析，公共充电桩的历年总利润单位：万元与营运年数是正整数成一元二次函数关系，营运三年时总利润为万元，营运六年时总利润最大，最大为万元．
求出关于的函数关系式；
求营运的年平均总利润的最大值注：年平均总利润历年总利润营运年数．
16.本小题分
已知向量，函数．
求的最小正周期；
若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，侧面平面．
证明：平面；
证明：平面；
若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知为坐标原点，双曲线：的焦距是实轴长的倍，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且．
求双曲线的标准方程；
过双曲线的右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值．
19.本小题分
记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．
求的通项公式；
证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
求证：对于任意正整数，．
参考答案
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15.解：已知公共充电桩的历年总利润单位：万元与营运年数是正整数成一元二次函数关系，营运三年时总利润为万元，营运六年时总利润最大，最大为万元，
则二次函数的开口向下，且顶点坐标为，
所以设该函数为，
营运三年时总利润为万元，
即，
解得，
所以
即
由知，
所以营运的年平均总利润为，
当且仅当，即时，等号成立，
故营运的年平均总利润的最大值为万元．
16.解：因为向量，函数，
所以，
所以的最小正周期；
由题知在区间上恰有两个不同的实数根，
即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，
令，
因为，
所以，
作出的图象与直线，如图，
由图知，当时，的图象与直线有两个交点，
所以实数的取值范围为．
17.解：证明：在中，取的中点，连接，
，所以，
侧面平面，且侧面平面，平面，
平面，
平面，，
又，，，平面，
平面．
证明：由知平面，又平面，
，
在中，，
，
即，
在同一平面中，，，
，
平面，平面，
平面．
由知平面，连接，
则为直线与平面所成的角．
在中，，，，
在中，，
直线与平面所成角的正切值为，
，
即．
三棱锥的体积．
18.解：设，则，即，
过点作的两条渐近线的平行线方程分别为：，
，
则不妨取，，，
于是，
又，且，
可得，，
所以双曲线方程为．
设直线，
，
联立方程，
可得，
，，
，，
由于直线与双曲线的左右两支相交，所以方程有两个同号的实根，
故，
由，，三点共线得，
由得，
由解得，
由可知，
四边形是平行四边形，
所以，
，
，
，
令，则，
则，
令，
则
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，当且仅当，即时取等号．
19.解：设等差数列的公差为，
由，可得，解得：，
．
证明：由知：，则，
由得：，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
证明：由，
可得．
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