2024-2025学年江西省九年级上学期期中专题复习第四章 图形的相似部分（含解析）

2024-2025学年度江西省九年级上学期期中专题复习
图形的相似部分
本资料以2023年江西省各大市期中考试题目汇编而成，旨在为学生期中复习理清方向！
一、单选题
1．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形 B．两个直角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个锐角三角形
2．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
3．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

B．
C．D．
二、填空题
4．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）已知，则 ．
5．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ．
6．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ．
7．（23-24九年级上·江西吉安·期中）如图，线段，点C是线段的黄金分割点，且，设以为边的正方形的面积为，以为一边，长为另一边的矩形的面积为 （填：“”、“”或“”）．

8．（23-24九年级上·江西萍乡·期中）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，则的长为 ．
9．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，，，，，，点在上移动，当与相似时，的值为 ．
三、解答题
10．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为4，求的长．
11．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：______，______；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
12．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？

13．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）杭州第届亚洲运动会开幕式在杭州奥体中心主体育场举行，奥运会游泳冠军汪顺和代表火炬线上传递参与者的“虚拟数字火炬手”一同点燃了杭州亚运会的主火炬台．某校社会实践小组为了测量这座主火炬台顶端距离地面的高度，如图，小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，火炬台的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点．在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到火炬顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米．已知点与火炬台的底端在同一直线上，，，．（平面镜大小忽略不计）
(1)求与的等量关系；
(2)请你根据以上数据，计算该火炬台的高度．
14．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)如图1，在边上找一点P，使得．
(2)如图2，在边上找一点Q，使得．
15．（23-24九年级上·江西吉安·期中）已知，如图所示的四边形ABCD为菱形，AC、BD交于O，AF⊥BC于F，交于点E．
(1)求证：
(2)求证：；
(3)过点E作，若，交于点G，若菱形ABCD的面积为，求的长．
16．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，=．
（1）如果AD=4，求BD的长度；
（2）如果S△ADE=2，求S四边形DBCE的值．
17．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图1，在纸片中，，，，D，E分别是，边上的动点，且，连接，将沿翻折，点B落在点F的位置，连接．
(1)如图2，当点F在边上时，求的长．
(2)如图3，点在运动过程中，当时，求的长．
18．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．
19．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当时， ；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.

20．（23-24九年级上·江西萍乡·期中）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：．
应用拓展：
（2）如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长．

21．（23-24九年级上·江西吉安·期中）如图，在四边形ABCD中，G是DC上的点，连接BG，点F是BG上的点，在BC上取点H，使，连接HF，CF，AF．
(1)①如图1，点F为正方形ABCD中对角线AC上一点，求证：；
②如图2，在正方形ABCD中，若于F，求证：．
(2)如图3，若四边形ABCD为菱形，
①直接写出与之间的数量关系；
②若，．，，求AH的长；
22．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为　 　：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　．
参考答案：
1．A
【详解】解：、任意两个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，两腰分别相等，它们两边的比值成比例，夹角为直角相等，根据相似三角形的判定定理可得任意两个等腰直角三角形相似，故符合题意；
、任意两个直角三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个直角三角形相似，故不符合题意；
、任意两个等腰三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个等腰三角形相似，故不符合题意；
、任意两个锐角三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个锐角三角形相似，故不符合题意；
故选：．
2．A
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故选：A．
3．C
【详解】解：A、∵，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，故本选项不符合题意；
C、由图形可知，只有，不能判断，故本选项符合题意；
D、∵，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
5．/
【详解】解：∵点是线段的中点，
∴，
∵四边形与四边形是位似图形，
∴，
故答案为：．
6．
【详解】解：由相似多边形的性质可知，，
∴，解得，，
故答案为：．
7．
【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
8．1
【详解】解：∵C，D两点都是的黄金分割点，
∴，
，，
∴，
将，代入，
得：，
∴，
整理得：，
，
故答案为：1．
9．2或或12
【详解】解：与，，，
当与为对应边，
，
，，，
，
，
，
当与为对应边，
，
，，，
，
，
或12，
综上所述：当的值为2或或12时相似．
故答案为：2或8.4或12．
10．(1)证明见详解；
(2)；
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长为4，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
11．(1)；
(2)，理由见解析
【详解】（1）解：，
；
故答案为； ；
（2）解：．
证明：在的正方形方格中，
，，
．
，， ，
，．
∴
．
12．这双高跟鞋的高度偏高
【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例，
由题意得：，
解得：，
，
这双高跟鞋的高度偏高．
13．(1)，理由见解析；
(2)该火炬台的高度米．
【详解】（1）解：，理由：
∵点与火炬台的底端在同一直线上，，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：米，
∴（米），
∵点与火炬台的底端在同一直线上，，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，即，
由（）得：，
∴，
∴（米），
答：该火炬台的高度为米．
14．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）如图所示，点P即为所求．

证明：由网格的特点可得，，，
∴
又∵
∴；
（2）如图所示，确定点M，然后连接连接交于点Q，点Q即为所求．

证明：由网格的特点可得，
是横4竖2的长方形的对角线，是横2竖4的长方形的对角线，
∴
∴
∴
∵
∴
又∵
∴；
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）证明：∵对顶角相等
∴
∵菱形
∴且平分与（菱形两对角线互相垂直平分）
∵
∴
∵
∴
∴（两角对应相等的两三角形相似）
（2）由（1）得，
∴
∵菱形
∴，BD=2OD
∴即
∴，
∴（两角对应相等的两三角形相似）
∴
∴
∴．
（3）∵菱形面积为，
∴
∵D
∴
∴
设，则,BD=3m
由（2）得：
∴
在中，，
∴
此时
（舍去负值）
则
∵，
∴
∴
∴．
16．（1）BD=6；（2）S四边形DBCE=．
【详解】（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∵=，AD=4，
∴=，
∴BD=6；
（2）∵△ADE∽△ABC，=，
∴=（）2，
∵S△ADE=2，
∴=（）2，
解得：S四边形DBCE=．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：由翻折的性质可得： ，
∵
∴
∴四边形是菱形
∴
∴
∴
∴
在中，，，
∴
∴
设 ，则:
∵
∴
解得：
∴；
（2）解：如图，作，交于点；
∵
∴
∵四边形是菱形
∴ ，
∵
∴四边形是平行四边形
∴ ，
∴ ，
∴
在中
在中
．
18．（1）见解析；（2）；（3）见解析
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠EAD=90 ，AO=BC，AD∥BC，
在△EAF和△DAB，
，
∴△EAF≌△DAB(SAS)，
∴∠E=∠BDA，
∵∠BDA+∠ABD=90 ，
∴∠E+∠ABD=90 ，
∴∠EGB=90 ，
∴BG⊥EC；
（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，
∵AF∥BC，∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC，
∴，又AF=AB=1，
∴即，
解得：，（舍去）
即AE=；
（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，
在△EAH和△DAG，
，
∴△EAH≌△DAG(SAS)，
∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，
∵∠EAH+∠DAH=90 ，
∴∠DAG+∠DAH=90 ，
∴∠HAG=90 ，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴即，
∴GH=AG，
∵GH=EG-EH=EG-DG，
∴．
19．（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），.
【详解】（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴,BD=8÷2=4，
∴．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴
（2）如图2，
，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3，
，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC=，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE==2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD=．
综上所述，BD的长为或．
20．（1）见解析（2）
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处，
∴，，
由（1）可知，，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
∴．
21．(1)①见解析；②见解析
(2)①＋＝180°；②
【详解】（1）①∵点F为正方形ABCD中对角线AC上一点，
∴AC平分，
∴∠GCF=∠HCF
又∵，
∴，
∴；
②∵由，，，
可得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）①＋＝180°,
理由:∵∠CFB=∠BCD，∠FBC=∠FBC，
∴△BFC∽ △BCG，
∴，，
又∵CG=CH，AB=BC，
∴，
∵∠ABF=∠FCB，
∴△CFH ∽△BFA，
∴∠CHF=∠FAB，
∵∠CHF＋∠BHF＝180°，
∴＋＝180°；
②由，，
得，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，得，
∵∠CHF＋∠BHF＝180°，
∴＋＝180°，
∵，
∴，与互补，
将AH绕着点H逆时针旋转120度至，可得，
连接，可得，
∴，，
∴点A、B、共线，
∵．
∴是以120°为顶点的等腰三角形，
易得，即，
∴．
22．（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3
【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故答案为；
（2）连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
=、=，
∴=，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；
（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴，
设BC=CD=AD=a，则AC=a，
则由得，
∴AH=a，
则DH=AD﹣AH=a，CH==a，
∴由得，
解得：a=3，即BC=3，
故答案为3