7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 同步练习 （含解析）- 高中数学人教B版（2019）必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 同步练习 （含解析）- 高中数学人教B版（2019）必修第三册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-04 10:30:39 | ||
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文档简介
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7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（同步练习）- 高中数学人教B版（2019）必修第三册
一、选择题
1．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2)，经测量知，，，则该玉佩的面积为( )
A. B. C. D.
2．某扇形的圆心角为2,弧长为4,则该扇形的面积为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3．已知扇形弧长为,圆心角为2,则该扇形面积为( )
A. B. C. D.1
4．将化为弧度制,正确的是( )
A. B. C. D.
5．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为( )
A. B. C. D.
6．已知扇形的半径为3,圆心角弧度数为2,则其面积为( )
A.18 B.12 C.9 D.6
7．如图,已知C是半径为1的扇形OAB内的一点,且,,,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
8．已知扇形的圆心角为,周长为,则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列转化结果正确的是( )
A.化成弧度是 B.化成角度是
C.化成弧度是 D.化成角度是
10．下列弧度与角度的转化正确的是( )
A. B. C. D.
11．已知某扇形的周长和面积均为18,则扇形圆心角的弧度数可能为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
12．如图,A,B是单位圆上的两个点,点B的坐标为,,点A以的角速度、点B以的角速度均按逆时针方向开始在单位圆上运动,则( )
A.时,的弧度数为
B.时,扇形AOB的弧长为
C.时,扇形AOB的面积为
D.时,点A,点B在单位圆上第一次重合
三、填空题
13．圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形,若圆锥的底面圆半径是,则圆锥的母线_______________.
14．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为________.
15．已知圆心角为1的扇形的面积为8,则该扇形的弧长l为______________.
16．已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为________.
四、解答题
17．已知扇形AOB的周长为10cm.
（1）若这个扇形的面积为,求扇形圆心角的弧度数;
（2）求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
18．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.设圆弧、所在圆的半径分别为、米,圆心角为(弧度).
（1）若,,,求花坛的面积;
（2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米,已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,求当装饰费用最低时线段AD的长.
19．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿.
（1）当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；
（2）当小轮的转速是时，大轮每秒转过的弧长是，求大轮的半径.
20．已知角.
（1）将角改写成（，）的形式，并指出角是哪个象限的角；
（2）在区间上找出与角终边相同的角.
参考答案
1．答案：A
解析：延长、，交于点O，如图，由，得，所以，又，，，所以，解得，所以，
所以为等边三角形，则，故，
.
所以玉佩的面积为.
故选：A
2．答案：C
解析：由弧度制定义,该扇形的半径为,
所以该扇形的面积为,
故选:.
3．答案：B
解析：设扇形所在圆的半径为r,
因为扇形弧长为,圆心角为2,可得,可得,
由扇形的面积公式,可得.
故选:B.
4．答案：C
解析：.
故选:C.
5．答案：A
解析：由扇形面积公式（其中l为扇形弧长，为扇形圆心角，r为扇形半径）可得，扇环面积.
故选：A
6．答案：C
解析：已知扇形的半径,圆心角弧度数,
则由扇形弧长公式与面积公式得.
故选：C.
7．答案：A
解析：设,则,
.则在中,由正弦定理可得
在中,由正弦定理可得,解得,,,,且
,
8．答案：B
解析：因为,设扇形的半径为,所以,解得,
所以该扇形的面积.
故选：B.
9．答案：AD
解析：因为,所以选项A正确;
因为,所以选项B不正确;
因为,所以选项C不正确;
因为,所以选项D正确,
故选：AD.
10．答案：AC
解析：对于A，，A对；
对于B，，B错；
对于C，，C对；
对于D，，D错.
故选：AC
11．答案：AD
解析：设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为,
则,解得或,则或1.
故选：AD.
12．答案：BC
解析：时,点A按逆时针方向运动,点B按逆时针方向运动,此时的弧度数为,故A不正确;
时,的弧度数为,故扇形AOB的弧长为,故B正确;
时,的弧度数为,故扇形AOB的面积为,故正确;
设ts时,点A,点B在单位圆上第一次重合,则,解得,故D不正确.故选BC.
13．答案：
解析：设圆锥的底面半径为,扇形的圆心角为,可得圆锥底面周长为,
圆锥的母线为l,该圆锥的侧面展开图弧长为解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：圆心角为，即，所以扇形的面积为.
15．答案：4
解析：由,可得,所以.
从而可得.
故答案为：4.
16．答案：16
解析：设扇形半径为r，圆心角为，弧长为l
扇形的周长为，所以，
扇形的面积为.
故答案为：16
17．答案：（1）;
（2）圆心角,弧长5cm.
解析：设扇形圆心角的弧度数为,
弧长为l,半径为r,面积为S,
（1）依题意有,解得或4.
当时,,此时,,舍去;
当时,,此时,.
（2）由得,
.
当时,S取得最大值,这时,
.
18．答案：（1）
（2）线段AD的长为8米时,花坛的装饰费用最小
解析：（1）设花坛的面积为S,则.
所以花坛的面积为
（2）的长为米,的长为米,线段AD的长为米
由题意知,
则,
记,则,装饰总费用为y,
则
根据均值不等式得到当时,y有最小值为1440,
故当线段AD的长为8米时,花坛的装饰费用最小.
19.
（1）答案：
解析：当小轮转动一周时，设大轮转动的周数为x.
因为大轮与小轮转动的齿数是一样的，
所以，解得，
所以大轮转动的弧度数为.
（2）答案：
解析：设大轮的半径为.
当小轮的转速是时，大轮的转速是，
所以大轮每秒转过的周数是，
所以大轮每秒转过的弧长是，
则，解得，
所以大轮的半径为.
20．答案：（1）角化成（，）的形式是，角是第三象限角
（2），，
解析：（1），，
所以角化成（，）的形式是.
是第三象限角，所以角是第三象限角.
（2）由，得，
又，所以，对应的角依次为，，.
所以在区间上与角终边相同的角为，，.
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一、选择题
1．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2)，经测量知，，，则该玉佩的面积为( )
A. B. C. D.
2．某扇形的圆心角为2,弧长为4,则该扇形的面积为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3．已知扇形弧长为,圆心角为2,则该扇形面积为( )
A. B. C. D.1
4．将化为弧度制,正确的是( )
A. B. C. D.
5．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为( )
A. B. C. D.
6．已知扇形的半径为3,圆心角弧度数为2,则其面积为( )
A.18 B.12 C.9 D.6
7．如图,已知C是半径为1的扇形OAB内的一点,且,,,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
8．已知扇形的圆心角为,周长为,则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列转化结果正确的是( )
A.化成弧度是 B.化成角度是
C.化成弧度是 D.化成角度是
10．下列弧度与角度的转化正确的是( )
A. B. C. D.
11．已知某扇形的周长和面积均为18,则扇形圆心角的弧度数可能为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
12．如图,A,B是单位圆上的两个点,点B的坐标为,,点A以的角速度、点B以的角速度均按逆时针方向开始在单位圆上运动,则( )
A.时,的弧度数为
B.时,扇形AOB的弧长为
C.时,扇形AOB的面积为
D.时,点A,点B在单位圆上第一次重合
三、填空题
13．圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形,若圆锥的底面圆半径是,则圆锥的母线_______________.
14．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为________.
15．已知圆心角为1的扇形的面积为8,则该扇形的弧长l为______________.
16．已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为________.
四、解答题
17．已知扇形AOB的周长为10cm.
（1）若这个扇形的面积为,求扇形圆心角的弧度数;
（2）求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
18．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.设圆弧、所在圆的半径分别为、米,圆心角为(弧度).
（1）若,,,求花坛的面积;
（2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米,已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,求当装饰费用最低时线段AD的长.
19．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿.
（1）当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；
（2）当小轮的转速是时，大轮每秒转过的弧长是，求大轮的半径.
20．已知角.
（1）将角改写成（，）的形式，并指出角是哪个象限的角；
（2）在区间上找出与角终边相同的角.
参考答案
1．答案：A
解析：延长、，交于点O，如图，由，得，所以，又，，，所以，解得，所以，
所以为等边三角形，则，故，
.
所以玉佩的面积为.
故选：A
2．答案：C
解析：由弧度制定义,该扇形的半径为,
所以该扇形的面积为,
故选:.
3．答案：B
解析：设扇形所在圆的半径为r,
因为扇形弧长为,圆心角为2,可得,可得,
由扇形的面积公式,可得.
故选:B.
4．答案：C
解析：.
故选:C.
5．答案：A
解析：由扇形面积公式（其中l为扇形弧长，为扇形圆心角，r为扇形半径）可得，扇环面积.
故选：A
6．答案：C
解析：已知扇形的半径,圆心角弧度数,
则由扇形弧长公式与面积公式得.
故选：C.
7．答案：A
解析：设,则,
.则在中,由正弦定理可得
在中,由正弦定理可得,解得,,,,且
,
8．答案：B
解析：因为,设扇形的半径为,所以,解得,
所以该扇形的面积.
故选：B.
9．答案：AD
解析：因为,所以选项A正确;
因为,所以选项B不正确;
因为,所以选项C不正确;
因为,所以选项D正确,
故选：AD.
10．答案：AC
解析：对于A，，A对；
对于B，，B错；
对于C，，C对；
对于D，，D错.
故选：AC
11．答案：AD
解析：设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为,
则,解得或,则或1.
故选：AD.
12．答案：BC
解析：时,点A按逆时针方向运动,点B按逆时针方向运动,此时的弧度数为,故A不正确;
时,的弧度数为,故扇形AOB的弧长为,故B正确;
时,的弧度数为,故扇形AOB的面积为,故正确;
设ts时,点A,点B在单位圆上第一次重合,则,解得,故D不正确.故选BC.
13．答案：
解析：设圆锥的底面半径为,扇形的圆心角为,可得圆锥底面周长为,
圆锥的母线为l,该圆锥的侧面展开图弧长为解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：圆心角为，即，所以扇形的面积为.
15．答案：4
解析：由,可得,所以.
从而可得.
故答案为：4.
16．答案：16
解析：设扇形半径为r，圆心角为，弧长为l
扇形的周长为，所以，
扇形的面积为.
故答案为：16
17．答案：（1）;
（2）圆心角,弧长5cm.
解析：设扇形圆心角的弧度数为,
弧长为l,半径为r,面积为S,
（1）依题意有,解得或4.
当时,,此时,,舍去;
当时,,此时,.
（2）由得,
.
当时,S取得最大值,这时,
.
18．答案：（1）
（2）线段AD的长为8米时,花坛的装饰费用最小
解析：（1）设花坛的面积为S,则.
所以花坛的面积为
（2）的长为米,的长为米,线段AD的长为米
由题意知,
则,
记,则,装饰总费用为y,
则
根据均值不等式得到当时,y有最小值为1440,
故当线段AD的长为8米时,花坛的装饰费用最小.
19.
（1）答案：
解析：当小轮转动一周时，设大轮转动的周数为x.
因为大轮与小轮转动的齿数是一样的，
所以，解得，
所以大轮转动的弧度数为.
（2）答案：
解析：设大轮的半径为.
当小轮的转速是时，大轮的转速是，
所以大轮每秒转过的周数是，
所以大轮每秒转过的弧长是，
则，解得，
所以大轮的半径为.
20．答案：（1）角化成（，）的形式是，角是第三象限角
（2），，
解析：（1），，
所以角化成（，）的形式是.
是第三象限角，所以角是第三象限角.
（2）由，得，
又，所以，对应的角依次为，，.
所以在区间上与角终边相同的角为，，.
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