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安徽省2025年中考数学模拟卷（七）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）如果|a|＝2，b＝﹣1，那么|a+b|的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．﹣1或﹣3
2．（3分）如图所示组合体的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）关于x的一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，2），则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．
4．（3分）“了解病毒，防控新冠，保卫健康”．某类新型冠状病毒的直径约为0.000000125米，它比流感病毒的基因组大两倍．数据0.000000125用科学记数法表示为（ ）
A．1.25×107 B．1.25×10﹣6 C．1.25×10﹣7 D．1.25×10﹣9
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．（xy2）3x3y6
C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3 D．4
6．（3分）下列调查方式合适的是（ ）
A．为了了解一批手机的使用寿命，采用普查的方式
B．调查某市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，采用普查的方式
C．调查某中学七年级一班学生视力情况，采用抽样调查的方式
D．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式
7．（3分）在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带将纸条沿AB折叠一下，若∠1＝130°，则∠2的度数为（ ）
A．115° B．120° C．130° D．110°
8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2（k+1）＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根
D．没有实数根
9．（3分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆心O到水面的距离OC＝6，截面半径OB＝10，则水面宽AB等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．（3分）《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人数及该物品的价格，小明用二元一次方程组解决此问题，若已经列出一个方程8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（ ）
A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C． D．
11．（3分）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝3m，则灯顶A到地面的高度为（ ）
A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25°
C． D．
12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A和C分别在反比例函数
y与y（k1≠0，k2≠0）的图象（部分）上，且AC∥y轴，顶点B在y轴上，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2（k1﹣k2） B．k1﹣k2 C．（k1﹣k2） D．k2﹣k1
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（2分）因式分解：2a2b+6ab2＝ ．
15．（2分）如果一个二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，则该二次函数表达式可以为 ．（任意写出一个符合条件的即可）
16．（2分）学校有一块校园试验田，七年级同学种植青椒、西红柿、茄子三种蔬菜，统计其数量，绘制扇形统计图如图所示，若种植西红柿秧苗90株，该校七年级同学一共种植蔬菜 株．
17．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，AC＝6，BC＝8，则△ABD的周长为 ．
18．（2分）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处，连接CB'．
（1）如图1，当CB'∥AE时，BE的长为 ．
（2）如图2，当点B'恰好在矩形ABCD的对角线AC上，则AE的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：|﹣2|+32+6（﹣1）2023．
20．（6分）解不等式组：．
21．（10分）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（3，2），C（5，2）．
（1）以O为位似中心，在第三象限内把△ABC放大2倍，得到△A1B1C1，写出△A1B1C1各顶点坐标，并画出图形；
（2）若△A2B2C2与△A1B1C1关于x轴对称，请写出△A2B2C2各顶点坐标，并画出图形．
22．（10分）某校举行“汉字听写大赛，九年级A，B两班学生的成绩情况如下：
【信息一】九A班40名学生成绩的频数分布直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
【信息二】图中，从左到右第4组成绩如表：
120 120 120 121 122 122
124 125 125 126 127 129
【信息三】九年级A，B两班各40名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（135分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
班级 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
九A班 127.2 130 30% 190
九B班 127.2 127 132 25% 210
根据以上信息，回答下列问题：
（1）九A班40名学生成绩的中位数为 分；
（2）求从A，B两班共80人中随机抽取一人成绩为优秀的概率；
（3）请你选择适合的统计量，尽量从多个角度，综合阐述哪个班级的整体水平较高．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：EF2＝4OD OP；
（3）若BC＝6，tan∠F，求AC的长．
24．（10分）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品，商店每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元（单价均为整数）．小华发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．
（1）分别求出硬面笔记本和软面笔记本的单价．
（2）小华打算购买两种类型笔记本共50本，且购买的软面笔记本的数量不超过硬面笔记本的2倍，则小华的最低费用是多少？
25．（10分）小明在学习矩形知识后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB'C'D'，连结BD．
【探究1】如图1，当α＝90°时，点C'恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
【探究2】如图2，连结AC'，过点D'作D'M∥AC'交BD于点M．线段D'M与DM相等吗？请说明理由．
【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交AD'，AC'于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
26．（10分）甲、乙两企业之间建了一个贮存同种原料的仓库，其中甲企业在仓库贮存原料40吨，乙企业在仓库贮存原料80吨，已知两个企业之间的距离为10千米，经测算可知，每吨原料由仓库运往企业的费用与仓库到企业的距离的平方成正比，设仓库到甲企业的距离为x（千米），把40吨原料运往甲企业的费用为W甲（元），当x＝10时，W甲＝10000．
（1）求W甲与x的函数关系式；
（2）设把80吨原料运往乙企业的费用为W乙（元），Q＝W甲﹣W乙
①求Q与x的函数关系式；
②若Q＝5600，求x的值．
【注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围】中小学教育资源及组卷应用平台
安徽省2025年中考数学模拟卷（七）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）如果|a|＝2，b＝﹣1，那么|a+b|的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．﹣1或﹣3
【分析】根据绝对值的意义求a的值，再分情况讨论求|a+b|的值．
【解答】解：∵|a|＝2，
∴a＝±2，
∴|a+b|＝|﹣2﹣1|＝3，
或|a+b|＝|2﹣1|＝1．
故选：C．
2．（3分）如图所示组合体的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是一个矩形，上层中间是一个梯形，
故选：A．
3．（3分）关于x的一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，2），则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．
【分析】把点（﹣1，2）代入y＝kx+3求出k的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，2），
∴2＝﹣k+3，
∴k＝1，
故选：C．
4．（3分）“了解病毒，防控新冠，保卫健康”．某类新型冠状病毒的直径约为0.000000125米，它比流感病毒的基因组大两倍．数据0.000000125用科学记数法表示为（ ）
A．1.25×107 B．1.25×10﹣6 C．1.25×10﹣7 D．1.25×10﹣9
【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：0.000000125＝1.25×10﹣7，
故选：C．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．（xy2）3x3y6
C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3 D．4
【分析】分别根据二次根式的性质，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及立方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、和不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、（xy2）3x3y6，故本选项不合题意；
C、（﹣x）5÷（﹣x）2＝﹣x3，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）下列调查方式合适的是（ ）
A．为了了解一批手机的使用寿命，采用普查的方式
B．调查某市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，采用普查的方式
C．调查某中学七年级一班学生视力情况，采用抽样调查的方式
D．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式
【分析】普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、为了了解一批手机的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，不符合题意；
B、调查某市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，适合采用抽样调查的方式，不符合题意；
C、调查某中学七年级一班学生视力情况，适合采用全面调查的方式，不符合题意；
D、为了了解人们保护水资源的意识，适合采用抽样调查的方式，符合题意；
故选：D．
7．（3分）在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带将纸条沿AB折叠一下，若∠1＝130°，则∠2的度数为（ ）
A．115° B．120° C．130° D．110°
【分析】根据两直线平行，内错角相等与翻折的性质求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】解：∵宽度相等的纸条沿AB折叠，
∴纸条两边互相平行，
∴∠31130°＝65°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2（k+1）＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根
D．没有实数根
【分析】先计算根的判别式得到Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×2（k+1）＝（k﹣1）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×2（k+1）＝（k﹣1）2，
∵（k﹣1）2≥0，
即△≥0，
∴方程有两个实数根．
故选：C．
9．（3分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆心O到水面的距离OC＝6，截面半径OB＝10，则水面宽AB等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由垂径定理即可得出结论．
【解答】解：∵截面圆心O到水面的距离OC＝6，截面半径OB＝10，
∴BC8．
∵AB⊥OC，
∴AB＝2BC＝16．
故选：D．
10．（3分）《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人数及该物品的价格，小明用二元一次方程组解决此问题，若已经列出一个方程8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（ ）
A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C． D．
【分析】由已经列出的方程，可得出x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格，结合“每人出7文，少4文”，即可列出另一方程，此题得解．
【解答】解：∵每人出8文，多3文，且已经列出一个方程8x﹣3＝y，
∴x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格．
又∵每人出7文，少4文，
∴7x+4＝y．
故选：B．
11．（3分）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝3m，则灯顶A到地面的高度为（ ）
A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25°
C． D．
【分析】连接AB，延长CD交AB于点E，由题意可知：∠ACE∠ACB＝65°，然后利用锐角三角函数的定义可求出CE的长度．
【解答】解：连接AB，延长DC交AB于点E，
由题意可知：∠ACE∠ACB＝65°，
在Rt△ACD中，
cos∠ACE＝cos65°，
∴CE＝1.2cos65°（m），
∴点A到地面的高度为：CE+CD＝（1.2cos65°+3）m，
∵cos65°＝sin25°，
∴CE+CD＝（1.2sin25°+3）m，
故选：B．
12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A和C分别在反比例函数
y与y（k1≠0，k2≠0）的图象（部分）上，且AC∥y轴，顶点B在y轴上，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2（k1﹣k2） B．k1﹣k2 C．（k1﹣k2） D．k2﹣k1
【分析】连接AO，CO，设AC交x轴于点E，通过反比例函数系数k的几何意义求出S△AOEk1，S△COEk2，进而求解．
【解答】解：连接AO，CO，设AC交x轴于点E，
∵点A在图象y上，点C在图象y上，
∴S△AOEk1，S△COEk2，
∵AC∥y轴，
∴S△AOC＝S△ABC＝S△AOE+S△COEk1k2，
∴菱形ABCD的面积为2S△ABC＝k1﹣k2，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
14．（2分）因式分解：2a2b+6ab2＝ 2ab（a+3b） ．
【分析】利用提取公因式法即可得结论．
【解答】解：2a2b+6ab2＝2ab（a+3b）．
故答案为：2ab（a+3b）．
15．（2分）如果一个二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，则该二次函数表达式可以为 y＝﹣（x﹣1）2（答案不唯一） ．（任意写出一个符合条件的即可）
【分析】根据题意，可知a＜0，对称轴为直线x＝1，从而可以写出一个符合题意的函数解析式，本题得以解决．
【解答】解：∵一个二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴该函数的解析式可以为y＝﹣（x﹣1）2，
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2（答案不唯一）．
16．（2分）学校有一块校园试验田，七年级同学种植青椒、西红柿、茄子三种蔬菜，统计其数量，绘制扇形统计图如图所示，若种植西红柿秧苗90株，该校七年级同学一共种植蔬菜 150 株．
【分析】用西红柿数量除以所占百分比即可．
【解答】解：90÷60%＝150（株），
故答案为：150．
17．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，AC＝6，BC＝8，则△ABD的周长为 12 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC，
∵AB＝4，BC＝8，
∴△ABD的周长＝4+8＝12，
故答案为：12．
18．（2分）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处，连接CB'．
（1）如图1，当CB'∥AE时，BE的长为 4 ．
（2）如图2，当点B'恰好在矩形ABCD的对角线AC上，则AE的长为 3 ．
【分析】（1）由矩形性质得∠ABE＝90°，由折叠得：B′E＝BE，∠AEB′＝∠AEB，由平行线的性质得：∠AEB＝∠ECB′，∠AEB′＝∠EB′C，进而得出：∠ECB′＝∠EB′C，B′E＝EC，即BE＝ECBC＝4；
（2）利用勾股定理可得AC10，由折叠得：AB′＝AB，B′E＝BE，∠AB′E＝∠ABE＝90°，设BE＝x，则B′E＝x，CE＝8﹣x，利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝90°，
由折叠得：B′E＝BE，∠AEB′＝∠AEB，
∵CB′∥AE，
∴∠AEB＝∠ECB′，∠AEB′＝∠EB′C，
∴∠ECB′＝∠EB′C，
∴B′E＝EC，
∴BE＝ECBC，
∵BC＝8，
∴BE＝4，
故答案为：4；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
由折叠得：AB′＝AB，B′E＝BE，∠AB′E＝∠ABE＝90°，
∴B′C＝AC﹣AB′＝10﹣6＝4，∠CB′E＝180°﹣∠AB′E＝90°，
设BE＝x，则B′E＝x，CE＝8﹣x，
在Rt△CB′E中，B′E2+B′C2＝CE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴BE＝3，
在Rt△ABE中，AE3，
故答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：|﹣2|+32+6（﹣1）2023．
【分析】先算绝对值、有理数的乘方，再算乘法，然后算加法即可．
【解答】解：|﹣2|+32+6（﹣1）2023
＝2+9+6（﹣1）
＝2+9+（﹣4）+（﹣1）
＝6．
20．（6分）解不等式组：．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
21．（10分）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（3，2），C（5，2）．
（1）以O为位似中心，在第三象限内把△ABC放大2倍，得到△A1B1C1，写出△A1B1C1各顶点坐标，并画出图形；
（2）若△A2B2C2与△A1B1C1关于x轴对称，请写出△A2B2C2各顶点坐标，并画出图形．
【分析】（1）根据以O为位似中心，在第三象限内把△ABC放大2倍，可得到△A1B1C1各顶点坐标，依次连接各顶点即可；
（2）根据△A2B2C2与△A1B1C1关于x轴对称，可得到△A2B2C2各顶点坐标，依次连接各顶点即可．
【解答】解：（1）∵A（2，4），B（3，2），C（5，2）．
∴以O为位似中心，在第三象限内把△ABC放大2倍，得到△A1B1C1各顶点坐标为：A1（﹣4，﹣8），B1（﹣6，﹣4），C1（﹣10，﹣4），依次连接各顶点如图，
（2）∵A1（﹣4，﹣8），B1（﹣6，﹣4），C1（﹣10，﹣4）
∴△A2B2C2各顶点坐标为：A2（﹣4，8），B2（﹣6，4），C2（﹣10，4）依次连接各顶点如图，
22．（10分）某校举行“汉字听写大赛，九年级A，B两班学生的成绩情况如下：
【信息一】九A班40名学生成绩的频数分布直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
【信息二】图中，从左到右第4组成绩如表：
120 120 120 121 122 122
124 125 125 126 127 129
【信息三】九年级A，B两班各40名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（135分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
班级 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
九A班 127.2 128 130 30% 190
九B班 127.2 127 132 25% 210
根据以上信息，回答下列问题：
（1）九A班40名学生成绩的中位数为 128 分；
（2）求从A，B两班共80人中随机抽取一人成绩为优秀的概率；
（3）请你选择适合的统计量，尽量从多个角度，综合阐述哪个班级的整体水平较高．
【分析】（1）由中位数的定义求解即可；
（2）先求出A，B两班优秀的学生人数，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：九A班40名学生成绩的中位数为128（分），
故答案为：128；
（2）九年级A，B两班成绩优秀的学生人数分别为：40×30%＝12（人），40×25%＝10（人），
∴从A，B两班共80人中随机抽取一人成绩为优秀的概率为；
（3）九A班的整体水平较高，理由如下：
①九A班的中位数大于九B班的中位数；
②九A班的优秀率大于九B班的优秀率；
③九A班的方差小于九B班的方差，因此九A班的成绩更稳定．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：EF2＝4OD OP；
（3）若BC＝6，tan∠F，求AC的长．
【分析】（1）连接OB，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，再利用SAS得出△PAO≌△PBO，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为⊙O的切线；
（2）由一对直角相等，一对公共角，得出△OAD与△OPA相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证．
（3）根据OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，得出OD的长，设AD＝x，根据tan∠F，从而用含x的式子表示出FD，OA及OF．在Rt△AOD中，由勾股定理求得x后即可求得半径，从而求得直径．
【解答】解：（1）连接OB
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°
∵OA＝OB，BA⊥PO于D
∴AD＝BD，∠POA＝∠POB
又∵PO＝PO
∴△PAO≌△PBO（SAS）
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°
∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OPA+∠AOP＝90°
∴∠OAD＝∠OPA
∴△OAD∽△OPA
∴
∴OA2＝OD OP
又∵EF＝2OA
∴EF2＝4OD OP；
（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6
∴ODBC＝3
设AD＝x
∵tan∠F
∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x﹣3）2＝x2+32
解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）
∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5
∵AC是⊙O的直径
∴AC＝2OA＝10．
∴AC的长为10．
24．（10分）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品，商店每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元（单价均为整数）．小华发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．
（1）分别求出硬面笔记本和软面笔记本的单价．
（2）小华打算购买两种类型笔记本共50本，且购买的软面笔记本的数量不超过硬面笔记本的2倍，则小华的最低费用是多少？
【分析】（1）设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为（x﹣3）元，根据用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买硬面笔记本m本，则购买软面笔记本（50﹣m）本，根据购买的软面笔记本的数量不超过硬面笔记本的2倍，列出一元一次不等式，解得m，则m的最小值为17，再设购买两种类型笔记本的费用为w元，由题意得出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为（x﹣3）元，
根据题意得：，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意，
∴x﹣3＝16﹣3＝13，
答：硬面笔记本的单价为16元，软面笔记本的单价为13元；
（2）设购买硬面笔记本m本，则购买软面笔记本（50﹣m）本，
由题意得：50﹣m≤2m，
解得：m，
∵m为正整数，
∴m的最小值为17，
设购买两种类型笔记本的费用为w元，
由题意得：w＝16m+13（50﹣m）＝3m+650，
∵m＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝17时，w有最小值＝3×17+650＝701，
答：小华的最低费用是701元．
25．（10分）小明在学习矩形知识后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB'C'D'，连结BD．
【探究1】如图1，当α＝90°时，点C'恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
【探究2】如图2，连结AC'，过点D'作D'M∥AC'交BD于点M．线段D'M与DM相等吗？请说明理由．
【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交AD'，AC'于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
【分析】（1）如图1，设BC＝x，由旋转的性质得出AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，证明△D'C'B∽△ADB，由相似三角形的性质得出，由比例线段得出方程，求出x的值即可得出答案；
（2）连接DD'，证明△AC'D'≌△DBA（SAS），由全等三角形的性质得出∠D'AC'＝∠ADB，由等腰三角形的性质得出∠ADD'＝∠AD'D，证出∠MDD'＝∠MD'D，则可得出结论；
（3）连接AM，证明△AD'M≌△ADM（SSS），由全等三角形的性质得出∠MAD'＝∠MAD，得出MN＝AN，证明△NPA∽△NAD，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，设BC＝x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，
∴点A，B，D'在一条线上，
∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C'＝AB'＝AB＝1，
∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，
∵∠BAD＝∠D'＝90°，
∴D'C'∥DA，
又∵点C'在DB的延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，
∴，解得x1，x2（不合题意，舍去），
∴BC；
（2）D'M＝DM，理由如下：
如图2，连接DD'，
∵D'M∥AC'，
∴∠AD'M＝∠D'AC'，
∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，
∴△AC'D'≌△DBA（SAS），
∴∠D'AC'＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠AD'M，
∵AD'＝AD，
∴∠ADD'＝∠AD'D，
∴∠MDD'＝∠MD'D，
∴D'M＝DM；
（3）关系式为MN2＝PN DN，理由如下：
如图3，连接AM，
∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，
∴△AD'M≌△ADM（SSS），
∴∠MAD'＝∠MAD，
∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，
∵∠NDA＝∠NAP，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴MN＝AN，
在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，
∴△NPA∽△NAD，
∴，
∴AN2＝PN DN，
∴MN2＝PN DN．
26．（10分）甲、乙两企业之间建了一个贮存同种原料的仓库，其中甲企业在仓库贮存原料40吨，乙企业在仓库贮存原料80吨，已知两个企业之间的距离为10千米，经测算可知，每吨原料由仓库运往企业的费用与仓库到企业的距离的平方成正比，设仓库到甲企业的距离为x（千米），把40吨原料运往甲企业的费用为W甲（元），当x＝10时，W甲＝10000．
（1）求W甲与x的函数关系式；
（2）设把80吨原料运往乙企业的费用为W乙（元），Q＝W甲﹣W乙
①求Q与x的函数关系式；
②若Q＝5600，求x的值．
【注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围】
【分析】（1）先设出函数解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①根据Q＝W甲﹣W乙，和（1）中的a的值列出函数解析式即可；②把q＝5600代入②解析式，解方程即可．
【解答】解：（1）设W甲＝40×ax2
∵x＝10时，W甲＝10000，
∴10000＝40×a×102，
解得a＝2.5，
∴W甲与x的函数关系式为W甲＝100x2；
（2）①由题意得，Q＝100x2﹣80×2.5×（10﹣x）2＝﹣100x2+4000x﹣20000，
∴Q与x的函数关系式为Q＝﹣100x2+4000x﹣20000；
②当Q＝5600时，﹣100x2+4000x﹣20000＝5600，
解得x1＝8，x2＝32（不符题意，舍去），
∴当x＝8时，Q＝5600．
