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安徽省2025年中考数学模拟卷（六）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）若a＜0，则4a+7|a|等于（ ）
A．11a B．﹣11a C．﹣3a D．3a
2．（3分）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）若一次函数y＝kx﹣（k﹣2）在y轴上的截距为正数，则k为（ ）
A．k＞2 B．k＜2 C．k＞2且k≠0 D．k＜2且k≠0
4．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.000000201kg，将0.000000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣7 B．0.201×10﹣7
C．2.01×10﹣8 D．20.1×10﹣6
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．（xy2）3x3y6
C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3 D．4
6．（3分）下列调查中，不适合用普查的是（ ）
A．旅客上飞机前的安检
B．某大学师生新冠疫苗接种情况
C．了解一批口罩的质量
D．全国第七次人口普查
7．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．85° B．95° C．105° D．115°
8．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．无法判断
9．（3分）嘉嘉的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，经测量弦BC的长为6cm，则该镜子的直径为（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm
10．（3分）《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人数及该物品的价格，小明用二元一次方程组解决此问题，若已经列出一个方程8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（ ）
A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C． D．
11．（3分）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝3m，则灯顶A到地面的高度为（ ）
A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25°
C． D．
12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A和C分别在反比例函数
y与y（k1≠0，k2≠0）的图象（部分）上，且AC∥y轴，顶点B在y轴上，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2（k1﹣k2） B．k1﹣k2 C．（k1﹣k2） D．k2﹣k1
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）已知y22．那么x＝ ．
14．（2分）因式分解：3m2﹣mn＝ ．
15．（2分）已知二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象如图所示，函数图象的对称轴是 ，顶点坐标P ．
16．（2分）某中学共40位同学参加了演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下（分数为整数，满分为100分）
分数段（分） 61～70 71～80 81～90 91～100
人数 5 10 16 m
（1）m＝ ；
（2）若制作成扇形统计图，那么81～90分数段所对应扇形的圆心角为 °．
17．（2分）如图，△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是 ．
18．（2分）如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝9，BC＝6，将B点折到AD的中点E，则AM的长度为 ，折痕MN的长度为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解不等式组：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在第一象限中出画出△A2B2C2，使得△A1B1C1与△A2B2C2位似，且相似比为1：3．
22．（10分）某校举行“汉字听写大赛，九年级A，B两班学生的成绩情况如下：
【信息一】九A班40名学生成绩的频数分布直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
【信息二】图中，从左到右第4组成绩如表：
120 120 120 121 122 122
124 125 125 126 127 129
【信息三】九年级A，B两班各40名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（135分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
班级 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
九A班 127.2 130 30% 190
九B班 127.2 127 132 25% 210
根据以上信息，回答下列问题：
（1）九A班40名学生成绩的中位数为 分；
（2）求从A，B两班共80人中随机抽取一人成绩为优秀的概率；
（3）请你选择适合的统计量，尽量从多个角度，综合阐述哪个班级的整体水平较高．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：EF2＝4OD OP；
（3）若BC＝6，tan∠F，求AC的长．
24．（10分）某精品店直接从工厂购进A、B两款雨伞，第一次用600元购进A款雨伞，用250元购进B款雨伞，A款雨伞所购数量是B款雨伞所购数量的2倍，同时每把A款雨伞的进价比B款雨伞多5元．
（1）求这两款雨伞每把的进价分别是多少元？
（2）若该精品店A款的售价为55元/把，B款的售价为45元/把，第一次购进的雨伞售完后，该精品店计划再次购进A、B两款雨伞共80把（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款雨伞，才能使所获得的销售利润W最大？最大利润值为多少？
25．（10分）正方形ABCD中，点P是BC边上任意一点．
（1）如图1，连接DP，BD，作PE⊥BD于E，连接AE，请补全图形：
（2）在（1）的条件下，用等式表示线段AE与DP之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若点M在射线AP上，过点A作线段AN，使线段AN⊥AP于点A，且AN＝AM，若点D，M，N恰好在同一条直线上，用等式表示线段DN、DM、AB之间的数量关系为： .（直接写出结果）
26．（10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．中小学教育资源及组卷应用平台
安徽省2025年中考数学模拟卷（六）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）若a＜0，则4a+7|a|等于（ ）
A．11a B．﹣11a C．﹣3a D．3a
【分析】本题考查有理数的绝对值问题，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零
【解答】解：∵a＜0，
∴|a|＝﹣a.4a+7|a|＝4a+7|﹣a|＝4a﹣7a＝﹣3a．
本题选C．
2．（3分）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：它的俯视图是同心圆．
故选：C．
3．（3分）若一次函数y＝kx﹣（k﹣2）在y轴上的截距为正数，则k为（ ）
A．k＞2 B．k＜2 C．k＞2且k≠0 D．k＜2且k≠0
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出一次函数y＝kx﹣（k﹣2）的图象与y轴的交点坐标，利用一次函数的定义及一次函数y＝kx﹣（k﹣2）在y轴上的截距为正数，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，此题得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝kx﹣（k﹣2）＝2﹣k，
∴一次函数y＝kx﹣（k﹣2）的图象与y轴交于点（0，2﹣k）．
∵一次函数y＝kx﹣（k﹣2）在y轴上的截距为正数，
∴，
∴k＜2且k≠0．
故选：D．
4．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.000000201kg，将0.000000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣7 B．0.201×10﹣7
C．2.01×10﹣8 D．20.1×10﹣6
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：0.000000201＝2.01×10﹣7．
故选：A．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．（xy2）3x3y6
C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3 D．4
【分析】分别根据二次根式的性质，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及立方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、和不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、（xy2）3x3y6，故本选项不合题意；
C、（﹣x）5÷（﹣x）2＝﹣x3，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）下列调查中，不适合用普查的是（ ）
A．旅客上飞机前的安检
B．某大学师生新冠疫苗接种情况
C．了解一批口罩的质量
D．全国第七次人口普查
【分析】根据全面调查与抽样调查适用的范围和各自优缺点逐一判断即可．
【解答】解：A．旅客上飞机前的安检事关安全，必须普查，不合题意；
B．某大学师生新冠疫苗接种情况事关人民健康安全，需要普查，不合题意；
C．了解一批口罩的质量，工作量大，不适用普查，符合题意；
D．全国第七次人口普查事关国家决策制定，需要普查，不合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．85° B．95° C．105° D．115°
【分析】首先根据平行线的性质可得出∠1+∠2+∠3＝180°，据此可得出∠3的度数．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝35°，∠2＝50°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝95°．
故选：B．
8．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】求出根的判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×5＝9﹣40＝﹣31＜0，
∴2x2﹣3x+5＝0没有实数根，
故选：C．
9．（3分）嘉嘉的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，经测量弦BC的长为6cm，则该镜子的直径为（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm
【分析】连接OC，OB，根据圆周角定理得出∠COB＝2∠A＝60°，继而得出△OCB是等边三角形，即可求解．
【解答】解：如图所示，作AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心O，连接OC，OB，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
又∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴OB＝6cm，
∴该镜子的直径为12cm，
故选：C．
10．（3分）《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人数及该物品的价格，小明用二元一次方程组解决此问题，若已经列出一个方程8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（ ）
A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C． D．
【分析】由已经列出的方程，可得出x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格，结合“每人出7文，少4文”，即可列出另一方程，此题得解．
【解答】解：∵每人出8文，多3文，且已经列出一个方程8x﹣3＝y，
∴x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格．
又∵每人出7文，少4文，
∴7x+4＝y．
故选：B．
11．（3分）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝3m，则灯顶A到地面的高度为（ ）
A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25°
C． D．
【分析】连接AB，延长CD交AB于点E，由题意可知：∠ACE∠ACB＝65°，然后利用锐角三角函数的定义可求出CE的长度．
【解答】解：连接AB，延长DC交AB于点E，
由题意可知：∠ACE∠ACB＝65°，
在Rt△ACD中，
cos∠ACE＝cos65°，
∴CE＝1.2cos65°（m），
∴点A到地面的高度为：CE+CD＝（1.2cos65°+3）m，
∵cos65°＝sin25°，
∴CE+CD＝（1.2sin25°+3）m，
故选：B．
12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A和C分别在反比例函数
y与y（k1≠0，k2≠0）的图象（部分）上，且AC∥y轴，顶点B在y轴上，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2（k1﹣k2） B．k1﹣k2 C．（k1﹣k2） D．k2﹣k1
【分析】连接AO，CO，设AC交x轴于点E，通过反比例函数系数k的几何意义求出S△AOEk1，S△COEk2，进而求解．
【解答】解：连接AO，CO，设AC交x轴于点E，
∵点A在图象y上，点C在图象y上，
∴S△AOEk1，S△COEk2，
∵AC∥y轴，
∴S△AOC＝S△ABC＝S△AOE+S△COEk1k2，
∴菱形ABCD的面积为2S△ABC＝k1﹣k2，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）已知y22．那么x＝ 3 ．
【分析】根据二次根式被开方数是非负数求得x＝3．
【解答】解：根据题意知，3﹣x≥0且x﹣3≥0．
所以x＝3．
故答案为：3．
14．（2分）因式分解：3m2﹣mn＝ m（3m﹣n） ．
【分析】找到公因式，用提公因式法分解即可．
【解答】解：原式＝m（3m﹣n），
故答案为：m（3m﹣n）．
15．（2分）已知二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象如图所示，函数图象的对称轴是 直线x＝2.5 ，顶点坐标P （2.5，﹣2.25） ．
【分析】由图象可以得出与x轴的交点坐标，进而得出对称轴，然后把与x轴交点（1，0）（4，0）代入解析式，可得二次函数的解析式，再根据二次函数顶点坐标公式可得顶点的坐标．
【解答】解：观察图象可知，
抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）（4，0），函数图象对称轴为x2.5，
将（1，0）（4，0）代入y＝ax2﹣5x+c中可得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+4，
根据二次函数顶点坐标公式为
x，
y
，
故顶点坐标为（，），
故答案为：直线x＝2.5，（，）．
16．（2分）某中学共40位同学参加了演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下（分数为整数，满分为100分）
分数段（分） 61～70 71～80 81～90 91～100
人数 5 10 16 m
（1）m＝ 9 ；
（2）若制作成扇形统计图，那么81～90分数段所对应扇形的圆心角为 144 °．
【分析】（1）根据总人数以及表格中的数据据，即可得m的值；
（2）用360°乘以81～90分数段的同学所占比例即可．
【解答】解：（1）m＝40﹣5﹣10﹣16＝9，
故答案为：9；
（2）若制作成扇形统计图，那么81～90分数段所对应扇形的圆心角为360°144°，
故答案为：144．
17．（2分）如图，△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是 110° ．
【分析】根据垂直平分线性质和等腰三角形的性质得到，∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．则有∠B+∠C+2∠DAE＝150°，即 180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°，再与∠BAC+∠DAE＝150°联立解方程组即可．
【解答】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．
∵∠BAC+∠DAE＝150°①，
∴∠B+∠C+2∠DAE＝150°．
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°，
即∠BAC﹣2∠DAE＝30°②，
由①②组成的方程组，
解得∠BAC＝110°．
故答案为：110°．
18．（2分）如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝9，BC＝6，将B点折到AD的中点E，则AM的长度为 4 ，折痕MN的长度为 ．
【分析】过M作MH⊥CD于H，延长CD、ME交于点P，则四边形AMHD是矩形，根据矩形性质和折叠性质以及勾股定理得到PM＝PN，AM＝4，再证明△AEM≌DEP（ASA）得到AM＝PD＝4，进而得到PH＝PD+DH＝8，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：过M作MH⊥CD于H，延长CD、ME交于点P，则∠MHD＝∠MHN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝6，CD∥AB，
∴四边形AMHD是矩形，∠MNP＝∠NMB，
∴MH＝AD＝6，AM＝DH，
由折叠性质得∠NMB＝∠NME，BM＝ME，
∴∠MNP＝∠NMP，则PM＝PN，
∵E为AD的中点，
∴，
又∵AB＝9，
在Rt△AME中，由AE2+AM2＝ME2得32+AM2＝（9﹣AM）2，
∴AM＝4；
在△AEM和△DEP中，
，
∴△AEM≌△DEP（ASA），
∴AM＝PD＝4，则PH＝PD+DH＝8，
在Rt△PHM中，，
∴PN＝10，
∴HN＝PN﹣PH＝2，
在Rt△MHN中，，
故答案为：4；．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：．
【分析】根据有理数混合运算法则运算即可．
【解答】解：
＝18﹣4+15
＝29．
20．（6分）解不等式组：．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤3．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在第一象限中出画出△A2B2C2，使得△A1B1C1与△A2B2C2位似，且相似比为1：3．
【分析】（1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；
（2）由（1）及位似的性质进行作图即可．
【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图2所示，△A2B2C2即为所求．
22．（10分）某校举行“汉字听写大赛，九年级A，B两班学生的成绩情况如下：
【信息一】九A班40名学生成绩的频数分布直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
【信息二】图中，从左到右第4组成绩如表：
120 120 120 121 122 122
124 125 125 126 127 129
【信息三】九年级A，B两班各40名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（135分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
班级 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
九A班 127.2 128 130 30% 190
九B班 127.2 127 132 25% 210
根据以上信息，回答下列问题：
（1）九A班40名学生成绩的中位数为 128 分；
（2）求从A，B两班共80人中随机抽取一人成绩为优秀的概率；
（3）请你选择适合的统计量，尽量从多个角度，综合阐述哪个班级的整体水平较高．
【分析】（1）由中位数的定义求解即可；
（2）先求出A，B两班优秀的学生人数，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：九A班40名学生成绩的中位数为128（分），
故答案为：128；
（2）九年级A，B两班成绩优秀的学生人数分别为：40×30%＝12（人），40×25%＝10（人），
∴从A，B两班共80人中随机抽取一人成绩为优秀的概率为；
（3）九A班的整体水平较高，理由如下：
①九A班的中位数大于九B班的中位数；
②九A班的优秀率大于九B班的优秀率；
③九A班的方差小于九B班的方差，因此九A班的成绩更稳定．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：EF2＝4OD OP；
（3）若BC＝6，tan∠F，求AC的长．
【分析】（1）连接OB，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，再利用SAS得出△PAO≌△PBO，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为⊙O的切线；
（2）由一对直角相等，一对公共角，得出△OAD与△OPA相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证．
（3）根据OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，得出OD的长，设AD＝x，根据tan∠F，从而用含x的式子表示出FD，OA及OF．在Rt△AOD中，由勾股定理求得x后即可求得半径，从而求得直径．
【解答】解：（1）连接OB
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°
∵OA＝OB，BA⊥PO于D
∴AD＝BD，∠POA＝∠POB
又∵PO＝PO
∴△PAO≌△PBO（SAS）
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°
∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OPA+∠AOP＝90°
∴∠OAD＝∠OPA
∴△OAD∽△OPA
∴
∴OA2＝OD OP
又∵EF＝2OA
∴EF2＝4OD OP；
（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6
∴ODBC＝3
设AD＝x
∵tan∠F
∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x﹣3）2＝x2+32
解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）
∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5
∵AC是⊙O的直径
∴AC＝2OA＝10．
∴AC的长为10．
24．（10分）某精品店直接从工厂购进A、B两款雨伞，第一次用600元购进A款雨伞，用250元购进B款雨伞，A款雨伞所购数量是B款雨伞所购数量的2倍，同时每把A款雨伞的进价比B款雨伞多5元．
（1）求这两款雨伞每把的进价分别是多少元？
（2）若该精品店A款的售价为55元/把，B款的售价为45元/把，第一次购进的雨伞售完后，该精品店计划再次购进A、B两款雨伞共80把（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款雨伞，才能使所获得的销售利润W最大？最大利润值为多少？
【分析】（1）设A款雨伞每把的进价是x元，则B款雨伞每把的进价是（x﹣5）元，根据用600元购进A款雨伞，用250元购进B款雨伞，A款雨伞所购数量是B款雨伞所购数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A款雨伞m把，则购进B款雨伞（80﹣m）把，根据进货总价不高于2200元．列出一元一次不等式，解得m≤40，再求出W关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设A款雨伞每把的进价是x元，则B款雨伞每把的进价是（x﹣5）元，
由题意得：2，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣5＝30﹣5＝25，
答：A款雨伞每把的进价是30元，B款雨伞每把的进价是25元；
（2）设购进A款雨伞m把，则购进B款雨伞（80﹣m）把，
由题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，
解得：m≤40，
∵W＝（55﹣30）m+（45﹣25）（80﹣m）＝5m+1600，
∵5＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝40时，W有最大值＝5×40+1600＝1800，
此时，80﹣m＝40，
答：购进A款雨伞40把，B款雨伞40把，才能使所获得的销售利润W最大，最大利润值为1800元．
25．（10分）正方形ABCD中，点P是BC边上任意一点．
（1）如图1，连接DP，BD，作PE⊥BD于E，连接AE，请补全图形：
（2）在（1）的条件下，用等式表示线段AE与DP之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若点M在射线AP上，过点A作线段AN，使线段AN⊥AP于点A，且AN＝AM，若点D，M，N恰好在同一条直线上，用等式表示线段DN、DM、AB之间的数量关系为： DM2+DN2＝2AB2 .（直接写出结果）
【分析】（1）根据要求补全图形即可；
（2）将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ，连接EQ、DQ．证明△ABE≌△ADQ，可得DQ＝BE，∠ADQ＝∠ABE＝45°，∠EDQ＝90°＝∠DEP，可得DQ∥PE，DQ＝BE，得出四边形EPDQ是平行四边形，则DP＝EQ，根据等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）连接BD，BM，由“SAS”可证△ADN≌△ABM，可得DN＝BM，∠N＝∠AMB，由勾股定理可得结论．
【解答】解：（1）补全图形如图：
（2）DPAE．
证明：将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ，连接EQ、DQ．
∴AE＝AQ，∠EAQ＝∠EAD+∠DAQ＝90°，
∴EQAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠EAD+∠BAE＝90°，∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝45°，
∴∠BAE＝∠DAQ，
∴△ABE≌△ADQ（SAS），
∴DQ＝BE，∠ADQ＝∠ABE＝45°，
∴∠EDQ＝∠ADQ+∠ADE＝90°＝∠DEP，
∴DQ∥PE，
∵∠DBC＝45°，PE⊥BD，
∴BE＝PE，
∵DQ＝BE，
∴DQ＝PE，
∴四边形EPDQ是平行四边形，
∴DP＝EQ，
∵EQAE，
∴DPAE；
（3）连接BD，BM，如图，
∵AN⊥AP于点A，且AN＝AM，
∴∠MAN＝90°，∠AMN＝∠N＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAN＝∠BAM．
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴DN＝BM，∠N＝∠AMB＝45°，
∴∠BMD＝∠AMB+∠AMN＝90°，
在Rt△BMD中，DM2+BM2＝BD2，
又∵DN＝BM，BD2＝2AB2，
∴DM2+DN2＝2AB2．
故答案为：DM2+DN2＝2AB2．
26．（10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（﹣8，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为yx2+bx，代入点（12，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于y轴对称，
∴第二象限抛物线的顶点坐标为（﹣3，5），
设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y＝a（x+3）2+5（a≠0），
将（﹣8，0）代入y＝a（x+3）2+5，得：25a+5＝0，
解得：a，
∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y（x+3）2+5（﹣8＜x＜0）；
（2）当y＝1.8时，有（x+3）2+5＝1.8，
解得：x1＝﹣7，x2＝1，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；
（3）当x＝0时，y（x+3）2+5，
设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为yx2+bx，
∵该函数图象过点（﹣12，0），
∴0（﹣12）2+（﹣12）b，
解得：b，
∴改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为yx2x（x）2，
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米．
