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安徽省2025年中考数学模拟卷（五）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）0.2的绝对值是（ ）
A． B． C．﹣5 D．5
【思路点拔】根据绝对值的定义求解．
【解答】解：0.2是正数，绝对值是它本身0.2即．
故选：A．
【点评】本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，从它正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】画出这个组合体的主视图即可．
【解答】解：这个组合体从正面看到的图形为：
故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的前提．
3．（3分）点（2，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，则b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】点（2，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，可以得到3×2﹣b＝1，然后计算出b的值即可．
【解答】解：∵点（2，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，
∴3×2﹣b＝1，解得b＝5，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．
4．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.000000201kg，将0.000000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣7 B．0.201×10﹣7
C．2.01×10﹣8 D．20.1×10﹣6
【思路点拔】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：0.000000201＝2.01×10﹣7．
故选：A．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C．3a5﹣a5＝2 D．（﹣2a）3＝﹣8a3
【思路点拔】利用二次根式的化简，立方根，合并同类项的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、3，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、3a5﹣a5＝2a5，故C不符合题意；
D、（﹣2a）3＝﹣8a3，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查积的乘方，算术平方根，立方根，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对青岛市初中学生对网络安全知识的了解程度的调查
B．对“神舟十六号”飞船零部件安全性的检查
C．对某品牌手机电池待机时间的调查
D．对中央电视台2022年春节联欢晚会满意度的调查
【思路点拔】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、对青岛市初中学生对网络安全知识的了解程度的调查，适合抽样调查方式，不符合题意；
B、对“神舟十六号”飞船零部件安全性的检查，适合采用全面调查方式，符合题意；
C、对某品牌手机电池待机时间的调查，适合抽样调查方式，不符合题意；
D、对中央电视台2022年春节联欢晚会满意度的调查，适合抽样调查方式，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，掌握对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查是关键．
7．（3分）如图，直线a∥b，将直角三角板ABC按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【思路点拔】先求出∠1+∠BAC的度数，再由平行线的性质求出∠ACD的度数，根据平角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵∠BAC＝30°，∠1＝20°，
∴∠1+∠BAC＝20°+30°＝50°，
∵直线a∥b，
∴∠ACD＝∠1+∠BAC＝50°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣90°＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
8．（3分）一元二次方程4x2﹣3x＝x+1的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【思路点拔】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，最后判断方程根的情况．
【解答】解：方程4x2﹣3x＝x+1化为一元二次方程的一般形式为4x2﹣4x﹣1＝0．
这里a＝4，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）
＝16+16
＝32＞0．
∴一元二次方程4x2﹣3x＝x+1有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式及根的判别式是解决本题的关键．
9．（3分）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米 D．1米
【思路点拔】根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径（直径）．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：设半径为r，则OD＝r﹣DE＝r﹣0.2，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，
则ADAB0.8＝0.4米，
在Rt△OAD中，OA2＝AD2+OD2，即r2＝0.42+（r﹣0.2）2，
解得r＝0.5米，
故此输水管道的直径＝2r＝2×0.5＝1米．
故选：D．
【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
10．（3分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格．用二元一次方程组解答该问题，若已经列出一个方程8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（ ）
A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C．4＝x D．4＝x
【思路点拔】由已经列出方程，可得出x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格，结合“每人出7元，少4元”，即可列出另一方程，此题得解．
【解答】解：∵每人出8元，多3元，且已经列出一个方程8x﹣3＝y，
∴x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格．
又∵每人出7元，少4元，
∴7x+4＝y．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
11．（3分）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝3m，则灯顶A到地面的高度为（ ）
A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25°
C． D．
【思路点拔】连接AB，延长CD交AB于点E，由题意可知：∠ACE∠ACB＝65°，然后利用锐角三角函数的定义可求出CE的长度．
【解答】解：连接AB，延长DC交AB于点E，
由题意可知：∠ACE∠ACB＝65°，
在Rt△ACD中，
cos∠ACE＝cos65°，
∴CE＝1.2cos65°（m），
∴点A到地面的高度为：CE+CD＝（1.2cos65°+3）m，
∵cos65°＝sin25°，
∴CE+CD＝（1.2sin25°+3）m，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A和C分别在反比例函数
y与y（k1≠0，k2≠0）的图象（部分）上，且AC∥y轴，顶点B在y轴上，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2（k1﹣k2） B．k1﹣k2 C．（k1﹣k2） D．k2﹣k1
【思路点拔】连接AO，CO，设AC交x轴于点E，通过反比例函数系数k的几何意义求出S△AOEk1，S△COEk2，进而求解．
【解答】解：连接AO，CO，设AC交x轴于点E，
∵点A在图象y上，点C在图象y上，
∴S△AOEk1，S△COEk2，
∵AC∥y轴，
∴S△AOC＝S△ABC＝S△AOE+S△COEk1k2，
∴菱形ABCD的面积为2S△ABC＝k1﹣k2，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与图形的结合，解题关键是掌握反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，通过添加辅助线求解．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）若二次根式有意义，实数则x的取值范围是 x≥0 ．
【思路点拔】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：若二次根式有意义，则x≥0．
故答案为x≥0．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
14．（2分）因式分解：3m2﹣mn＝ m（3m﹣n） ．
【思路点拔】找到公因式，用提公因式法分解即可．
【解答】解：原式＝m（3m﹣n），
故答案为：m（3m﹣n）．
【点评】本题考查了因式分解的提公因式法，确定公因式是解决本题的关键．
15．（2分）若二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称，则m的值为 ﹣2 ．
【思路点拔】代入对称轴公式直接求得m的值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称，
∴对称轴为：x1，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】考查了二次函数的性质及图象，了解对称轴公式是解答本题的关键．
16．（2分）如图，用整个圆表示某班同学参加四个兴趣小组的总人数，如果扇形A代表12人，那么扇形D代表 24 人．
【思路点拔】由扇形统计图可得某班参加A兴趣小组和D兴趣小组的百分比，用扇形A代表的人数除以A的百分比可得某班参加四个兴趣小组的总人数，再用某班参加四个兴趣小组的总人数乘以D的百分比即可得答案．
【解答】解：由题意可得，某班参加四个兴趣小组的总人数为1248（人），
∴扇形D代表4824（人）．
故答案为：24．
【点评】本题考查扇形统计图，能够读懂扇形统计图是解答本题的关键．
17．（2分）如图，直线CD垂直平分线段AB，AC＝6，则BC＝ 6 ．
【思路点拔】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵直线CD垂直平分线段AB，AC＝6，
∴BC＝AC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E在边AD上，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A对应点为点F，当直线BF恰好经过CD的中点M时，AE的长为 ．
【思路点拔】首先结合题意得到CM＝DM＝5，BM＝13，由折叠的性质可得：AE＝EF，AB＝BF＝10，进而得到FM＝3，设AE＝AF＝x，则ED＝12﹣x，利用勾股定理得到x2+32＝（12﹣x）2+52，进一步解答即可得解．
【解答】解：如图，连接EM，
在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，直线BF恰好经过CD的中点M，
∴CM＝DM＝5，
∴BM13，
由折叠的性质可知：AE＝EF，AB＝BF＝10，
∴FM＝BM﹣BF＝3，
设AE＝AF＝x，则ED＝12﹣x，
由勾股定理得：EM2＝EF2+FM2＝ED2+DM2，
∴x2+32＝（12﹣x）2+52，
解得：x，
∴AE，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：
（1）（﹣4）﹣（﹣1）+（﹣6）+2；
（2）（﹣2）4×（﹣1）3﹣3×[﹣1﹣（﹣2）]；
（3）；
（4）．
【思路点拔】（1）先去括号，再从左到右依次计算即可；
（2）先算括号里面的，再算乘方，乘法，最后算加减即可；
（3）先算括号里面的，再算乘除即可；
（4）先算括号里面的乘方、乘法，再算加减，最后算括号外面的数即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣4+1﹣6+2
＝﹣7；
（2）原式＝16×（﹣1）﹣3×（﹣1+2）
＝﹣16﹣3×1
＝﹣16﹣3
＝﹣19；
（3）原式（）÷（）
（）×（）
（）×（）
（）
；
（4）原式＝﹣4[25×（）+20]
＝﹣4（﹣15+5）
＝﹣4（﹣10）
＝﹣4
．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
20．（6分）解不等式组：．
【思路点拔】分别求出两个不等式的解集，再取它们的公共部分，即可得出答案．
【解答】解：解不等式，得x＜﹣6，
解不等式x+8＞0，得x＞﹣8，
∴不等式组的解集为：﹣8＜x＜﹣6．
【点评】本题主要考查解不等式组，掌握大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解，是解题的关键．
21．（10分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，并求出：的值．
【思路点拔】（1）作出A，B，C关于y轴的对称点，再连接AB，BC，CA即可；
（2）分别作出A，B，C的对应点，即可得△A2B2C2，根据位似的性质可得：的值．
【解答】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如下：
△A1B1C1即为所求；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，如图：
△A2B2C2，即为所求；
∵△ABC与△A2B2C2是位似图形，
∴△ABC∽△A2B2C2，且相似比位1：2，
∴S△ABC：1：4，
∵△ABC≌△A1B1C1，
∴S△ABC，
∴：1：4．
【点评】本题考查作图﹣位似变化与对称变换，解题的关键是作出A，B，C的对应点．
22．（10分）某校举行“汉字听写大赛，九年级A，B两班学生的成绩情况如下：
【信息一】九A班40名学生成绩的频数分布直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
【信息二】图中，从左到右第4组成绩如表：
120 120 120 121 122 122
124 125 125 126 127 129
【信息三】九年级A，B两班各40名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（135分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
班级 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
九A班 127.2 128 130 30% 190
九B班 127.2 127 132 25% 210
根据以上信息，回答下列问题：
（1）九A班40名学生成绩的中位数为 128 分；
（2）求从A，B两班共80人中随机抽取一人成绩为优秀的概率；
（3）请你选择适合的统计量，尽量从多个角度，综合阐述哪个班级的整体水平较高．
【思路点拔】（1）由中位数的定义求解即可；
（2）先求出A，B两班优秀的学生人数，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：九A班40名学生成绩的中位数为128（分），
故答案为：128；
（2）九年级A，B两班成绩优秀的学生人数分别为：40×30%＝12（人），40×25%＝10（人），
∴从A，B两班共80人中随机抽取一人成绩为优秀的概率为；
（3）九A班的整体水平较高，理由如下：
①九A班的中位数大于九B班的中位数；
②九A班的优秀率大于九B班的优秀率；
③九A班的方差小于九B班的方差，因此九A班的成绩更稳定．
【点评】此题考查了频数分布直方图与统计表以及概率公式的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：EF2＝4OD OP；
（3）若BC＝6，tan∠F，求AC的长．
【思路点拔】（1）连接OB，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，再利用SAS得出△PAO≌△PBO，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为⊙O的切线；
（2）由一对直角相等，一对公共角，得出△OAD与△OPA相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证．
（3）根据OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，得出OD的长，设AD＝x，根据tan∠F，从而用含x的式子表示出FD，OA及OF．在Rt△AOD中，由勾股定理求得x后即可求得半径，从而求得直径．
【解答】解：（1）连接OB
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°
∵OA＝OB，BA⊥PO于D
∴AD＝BD，∠POA＝∠POB
又∵PO＝PO
∴△PAO≌△PBO（SAS）
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°
∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OPA+∠AOP＝90°
∴∠OAD＝∠OPA
∴△OAD∽△OPA
∴
∴OA2＝OD OP
又∵EF＝2OA
∴EF2＝4OD OP；
（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6
∴ODBC＝3
设AD＝x
∵tan∠F
∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x﹣3）2＝x2+32
解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）
∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5
∵AC是⊙O的直径
∴AC＝2OA＝10．
∴AC的长为10．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键
24．（10分）在新冠疫情防控期间，很多企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”．某爱心企业计划购买一批口罩捐赠给学校，该企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，实际购买时按打八折后的价格，结果购买的数量比打折前多100个．
（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个．已知B品牌N95口罩每个原售价为7元，现在两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过B品牌N95口罩的三分之一，请问该爱心企业原计划用的2400元钱是否够用？如果够用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？
【思路点拔】（1）设打折前每个A品牌N95口翠的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口翠的售价是0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合打折后购买的数量比打折前多100个，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A品牌N95口罩m个，购买800个口罩的总费用为w元，则购进B品牌N95口罩（800﹣m）个，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质可得出w的最小值，将其与2400比较作差后即可得出结论．
【解答】解：（1）设打折前每个A品牌N95口翠的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口翠的售价是0.8x元，
依题意得：100，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：打折前每个A品牌N95口翠的售价是6元．
（2）设购进A品牌N95口罩m个，购买800个口罩的总费用为w元，则购进B品牌N95口罩（800﹣m）个，
依题意得：w＝6×0.8m+7×0.8（800﹣m）＝﹣0.8m+4480，
∵﹣0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m（800﹣m），
解得：m≤200，
∴当m＝200时，w取得最小值，最小值＝﹣0.8×200+4480＝4320．
∵4320＞2400，
∴2400元不够用，
则4320﹣2400＝1920（元），
答：该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1920元钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
25．（10分）【问题背景】
小张在预习课本时发现了如下表述：
“关于线段的垂直平分线，有如下的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．”小张百思不得其解，对于垂直平分线的性质产生了浓厚的兴趣．
【定理证明】
（1）你能帮助小张证明垂直平分线的性质定理吗？
已知：如图，直线l⊥AB于点O．且OA＝OB，C是直线l上的任意一点． 求证：CA＝CB
证明：①当点C与点O重合时， ∵OA＝OB ∴CA＝CB ②当点C与点O不重合时， ∵直线l⊥AB ∴∠COA＝∠COB＝90° 在△COA与△COB中， OA＝OB ∠AOC＝∠BOC CO＝CO ∴△COA≌△COB（ SAS ） ∴CA＝CB
【定理应用】
（2）小张在课后折纸活动中惊喜地发现：
如图1、图2，将正方形纸片ABCD沿GH折叠．G，H分别在线段BC，AD上，恰好使B点落在线段CD上的点E处，连结BE，交GH于点O，由折叠的性质，直线GH恰为线段BE的垂直平分线．
①如图1，若正方形纸片的边长为9cm，AH的长度为2cm，则CG的长度为 4 cm．
②如图2，连结对角线AC，与GH交于点F，连结EF，求证：BEEF．
【深入探究】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E为边CD上的动点，连结BE，AC，作线段BE的垂直平分线分别交AC，BC，BE于点F，G，O，求证：∠BCD＝2∠BEF．
【思路点拔】（1）由“SAS”可证△COA≌△COB，可得结论；
（2）①先证四边形AHGN是平行四边形，可得AH＝GN＝2cm，由“ASA”可证△ABN≌△BCE，由勾股定理可求解；
②由“HL”可证Rt△BFQ≌Rt△FEP，可得∠QBF＝∠PFE，由余角的性质可求∠BFE＝90°，即可求解；
（3）由菱形的性质可得AC垂直平分BD，∠ACB＝∠ACD，BC＝CD，由“SAS”可证△DCF≌△BCF，可得∠CDF＝∠CBF，由线段垂直平分线的性质可得BF＝EF＝DF，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：①当点C与点O重合时，
∵OA＝OB
∴CA＝CB
②当点C与点O不重合时，
∵直线l⊥AB
∴∠COA＝∠COB＝90°
在△COA与△COB中，
，
∴△COA≌△COB（SAS），
∴CA＝CB，
故答案为：OA＝OB，∠AOC＝∠BOC，OC＝OC，SAS；
（2）①解：如图1，过点A作AN∥HG，交BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形AHGN是平行四边形，
∴AH＝GN＝2cm，
∵直线GH恰为线段BE的垂直平分线，
∴BG＝GE，GH⊥BE，
∴AN⊥BE，
∴∠BAN+∠ABE＝90°＝∠ABE+∠EBC，
∴∠BAN＝∠EBC，
∴△ABN≌△BCE（ASA），
∴BN＝EC，
∵GE2＝GC2+EC2，
∴GE2＝（9﹣GE）2+（GE﹣2）2，
∴GE＝5cm，
∴GC＝4cm，
故答案为：4；
②证明：如图2，过点F作PQ⊥AB于Q，交CD于点P，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°＝∠BQP，
∴四边形BCPQ是矩形，
∴BQ＝CP，∠BQF＝∠CPF＝90°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠CFP＝45°，
∴PF＝PC＝BQ，
∵直线GH恰为线段BE的垂直平分线，
∴BF＝EF，
∴Rt△BFQ≌Rt△FEP（HL），
∴∠QBF＝∠PFE，
∵∠QBF+∠BFQ＝90°，
∴∠PFE+∠BFQ＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴BEEF；
（3）证明：如图3，连接DF，BF，BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，∠ACB＝∠ACD，BC＝CD，
∴BF＝DF，
∵CF＝CF，∠ACB＝∠ACD，BC＝CD，
∴△DCF≌△BCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF，
∵GF垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴BF＝EF＝DF，
∴∠FDC＝∠DEF，∠BEF＝∠FBE，
∴∠FDC＝∠DEF＝∠CBF，
∴∠EBC＝∠FBC﹣∠FBE＝∠DEF﹣∠BEF，
∵∠DEB＝∠BCD+∠EBC＝∠DEF+∠BEF，
∴∠BCD+∠DEF﹣∠BEF＝∠DEF+∠BEF，
∴∠BCD＝2∠BEF．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．（10分）如图，用40m的篱笆围成一个边靠墙的矩形场地，墙长15m．垂直于墙的边长为xm．围成的矩形场地的面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求这个矩形场地面积的最大值．
【思路点拔】（1）表示出矩形的长和宽可得出y和x的函数关系式；
（2）利用配方法和函数的性质求得最大面积．
【解答】解：（1）∵垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为（40﹣2x）m，
∴y＝x（40﹣2x），
根据题意得：，
解得x＜20，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x（x＜20）；
（2）∵y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，x＜20，
∴当x时，y最大，最大值为187.5，
答：这个矩形场地面积的最大值为187.5m2．
【点评】此题考查了二次函数的应用，不仅是一道实际问题，而且结合了矩形的性质，解答此题要注意矩形的一边为墙，且墙的长度不超过30米．中小学教育资源及组卷应用平台
安徽省2025年中考数学模拟卷（五）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）0.2的绝对值是（ ）
A． B． C．﹣5 D．5
2．（3分）由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，从它正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）点（2，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，则b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.000000201kg，将0.000000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣7 B．0.201×10﹣7
C．2.01×10﹣8 D．20.1×10﹣6
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C．3a5﹣a5＝2 D．（﹣2a）3＝﹣8a3
6．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对青岛市初中学生对网络安全知识的了解程度的调查
B．对“神舟十六号”飞船零部件安全性的检查
C．对某品牌手机电池待机时间的调查
D．对中央电视台2022年春节联欢晚会满意度的调查
7．（3分）如图，直线a∥b，将直角三角板ABC按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（3分）一元二次方程4x2﹣3x＝x+1的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
9．（3分）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米 D．1米
10．（3分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格．用二元一次方程组解答该问题，若已经列出一个方程8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（ ）
A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C．4＝x D．4＝x
11．（3分）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝3m，则灯顶A到地面的高度为（ ）
A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25°
C． D．
12．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A和C分别在反比例函数
y与y（k1≠0，k2≠0）的图象（部分）上，且AC∥y轴，顶点B在y轴上，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2（k1﹣k2） B．k1﹣k2 C．（k1﹣k2） D．k2﹣k1
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）若二次根式有意义，实数则x的取值范围是 ．
14．（2分）因式分解：3m2﹣mn＝ ．
15．（2分）若二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称，则m的值为 ．
16．（2分）如图，用整个圆表示某班同学参加四个兴趣小组的总人数，如果扇形A代表12人，那么扇形D代表 人．
17．（2分）如图，直线CD垂直平分线段AB，AC＝6，则BC＝ ．
18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E在边AD上，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A对应点为点F，当直线BF恰好经过CD的中点M时，AE的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：
（1）（﹣4）﹣（﹣1）+（﹣6）+2；
（2）（﹣2）4×（﹣1）3﹣3×[﹣1﹣（﹣2）]；
（3）；
（4）．
20．（6分）解不等式组：．
21．（10分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，并求出：的值．
22．（10分）某校举行“汉字听写大赛，九年级A，B两班学生的成绩情况如下：
【信息一】九A班40名学生成绩的频数分布直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；
【信息二】图中，从左到右第4组成绩如表：
120 120 120 121 122 122
124 125 125 126 127 129
【信息三】九年级A，B两班各40名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（135分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
班级 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
九A班 127.2 130 30% 190
九B班 127.2 127 132 25% 210
根据以上信息，回答下列问题：
（1）九A班40名学生成绩的中位数为 分；
（2）求从A，B两班共80人中随机抽取一人成绩为优秀的概率；
（3）请你选择适合的统计量，尽量从多个角度，综合阐述哪个班级的整体水平较高．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：EF2＝4OD OP；
（3）若BC＝6，tan∠F，求AC的长．
24．（10分）在新冠疫情防控期间，很多企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”．某爱心企业计划购买一批口罩捐赠给学校，该企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，实际购买时按打八折后的价格，结果购买的数量比打折前多100个．
（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个．已知B品牌N95口罩每个原售价为7元，现在两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过B品牌N95口罩的三分之一，请问该爱心企业原计划用的2400元钱是否够用？如果够用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？
25．（10分）【问题背景】
小张在预习课本时发现了如下表述：
“关于线段的垂直平分线，有如下的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．”小张百思不得其解，对于垂直平分线的性质产生了浓厚的兴趣．
【定理证明】
（1）你能帮助小张证明垂直平分线的性质定理吗？
已知：如图，直线l⊥AB于点O．且OA＝OB，C是直线l上的任意一点． 求证：CA＝CB
证明：①当点C与点O重合时， ∵OA＝OB ∴CA＝CB ②当点C与点O不重合时， ∵直线l⊥AB ∴∠COA＝∠COB＝90° 在△COA与△COB中， ∴△COA≌△COB（ ） ∴CA＝CB
【定理应用】
（2）小张在课后折纸活动中惊喜地发现：
如图1、图2，将正方形纸片ABCD沿GH折叠．G，H分别在线段BC，AD上，恰好使B点落在线段CD上的点E处，连结BE，交GH于点O，由折叠的性质，直线GH恰为线段BE的垂直平分线．
①如图1，若正方形纸片的边长为9cm，AH的长度为2cm，则CG的长度为 cm．
②如图2，连结对角线AC，与GH交于点F，连结EF，求证：BEEF．
【深入探究】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E为边CD上的动点，连结BE，AC，作线段BE的垂直平分线分别交AC，BC，BE于点F，G，O，求证：∠BCD＝2∠BEF．
26．（10分）如图，用40m的篱笆围成一个边靠墙的矩形场地，墙长15m．垂直于墙的边长为xm．围成的矩形场地的面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求这个矩形场地面积的最大值．
