中小学教育资源及组卷应用平台
杭州市2024-2025学年九年级上学期期中模拟考试数学（二）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径为6，点P在⊙O外，则OP的长可以为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
【思路点拔】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵O的半径为6，点P在⊙O外，
∴OP＞6，
故选：D．
【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
2．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是360°
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7
D．在一只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球
【思路点拔】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；
C、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7，是必然事件；
D、在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球，是不可能事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）已知2，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】依据2，即可得到a＝2b，进而得出的值．
【解答】解：∵2，
∴a＝2b，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
4．（3分）把抛物线y＝3x2﹣3向左移动3个单位得到抛物线表达式为（ ）
A．y＝3（x+3）2﹣3 B．y＝3（x﹣3）2﹣3
C．y＝3x2 D．y＝3x2﹣6
【思路点拔】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2﹣3向左移动3个单位得到抛物线表达式为：y＝3（x+3）2﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．（3分）甲、乙两个扇形的面积相等，如果扇形甲的弧长是扇形乙弧长的，那么扇形甲的半径长是扇形乙的半径长的（ ）
A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
【思路点拔】设扇形乙的弧长为x，则扇形甲的弧长为x，根据扇形面积的计算方法计算扇形甲、扇形乙的面积，根据面积相等即可得出半径之间的关系即可．
【解答】解：设扇形乙的弧长为x，则扇形甲的弧长为x，
由于甲、乙两个扇形的面积相等，
所以x×R甲x×R乙，
即R甲＝9R乙，
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
6．（3分）如图，⊙O的直径AB＝2，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
【思路点拔】先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠ADC＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝30°，
∴ACAB＝1，
∴BCAC．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．（3分）如图，AD为⊙O直径，作⊙O的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作OA的中垂线，交圆O于B，F两点；2．作OD的中垂线，交圆O于C，E两点；3．顺次连接A，B，C，D，E，F六个点，六边形即为所求；
乙：1．以A为圆心，OA长为半径作弧，交圆O于B，F两点；2．以D为圆心，OA长为半径作弧，交圆O于C，E两点；3．顺次连接A，B，C，D，E，F六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
【思路点拔】根据作图即可得到AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°，进而得出六边形ABCDEF为正六边形．进而即可判断．
【解答】解：甲：由作图可知，AB＝BO＝AO，即△AOB为等边三角形，
同理可得△BOC，△COD，△DOE，△EOF，△AOF均为等边三角形，
故AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°，
所以六边形ABCDEF为正六边形；
乙：由作图可得，AF＝AB＝BO＝AO，即△ABO为等边三角形，
同理可得△AOF，△COD，△DOE均为等边三角形，
故∠EOF＝∠BOC＝60°，而BO＝CO＝EO＝FO，
所以△BOC，△EOF均为等边三角形，
所以AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°，
所以六边形ABCDEF为正六边形；
因此，甲、乙两人的作法均正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂径定理及圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识．
8．（3分）如图，抛物线yx2﹣x﹣4与y轴相交于点A，抛物线顶点为M，点B坐标为（2，0），作射线BM，将射线BM沿直线AB翻折得到射线BN，BN与抛物线交于点P，则点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接并延长MA交射线BN于N，过M作MQ⊥x轴于Q，过N作NT⊥x轴于T，由抛物线yx2﹣x﹣4与y轴相交于点A，抛物线顶点为M，得A（0，﹣4），M（4，﹣6），可得△ABM是等腰直角三角形，而射线BM沿直线AB翻折得到射线BN，即得△NBM是等腰直角三角形，BN＝BM，可证明△NTB≌△BQM（AAS），得NT＝BQ＝xM﹣xB＝2，BT＝MQ＝|yM|＝6，故N（﹣4，﹣2），即得直线BT解析式为yx，解即得答案．
【解答】解：连接并延长MA交射线BN于N，过M作MQ⊥x轴于Q，过N作NT⊥x轴于T，如图：
∵抛物线yx2﹣x﹣4与y轴相交于点A，抛物线顶点为M，
∴A（0，﹣4），M（4，﹣6），
∵B坐标为（2，0），
∴AB2＝20，AM2＝20，BM2＝40，
∴AB＝AM，AB2+AM2＝BM2，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴∠AMB＝∠ABM＝45°，
∵射线BM沿直线AB翻折得到射线BN，
∴∠ABM＝∠ABN＝45°，
∴∠NBM＝90°，
∴△NBM是等腰直角三角形，
∴BN＝BM，
又∠QBM＝90°﹣∠TBN＝∠TNB，∠NTB＝∠BQM＝90°，
∴△NTB≌△BQM（AAS），
∴NT＝BQ＝xM﹣xB＝2，BT＝MQ＝|yM|＝6，
∴OT＝BT﹣OB＝4，
∴N（﹣4，﹣2），
由N（﹣4，﹣2），B（2，0）得直线BN解析式为yx，
解得x2﹣x﹣4x，解得x（舍去）或x，
∴x，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、翻折变换、等腰直角三角形等知识，解题的关键是求出N的坐标．
9．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，已知DH，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【思路点拔】延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，再判断△DAC为等边三角形得到DA＝DC，于是可证明△ADE≌△BCD，所以∠E＝∠DBC＝60°，接着判断△DBE为等边三角形，所以BH＝EH，然后计算出BH得到BE的长，从而得到AB+BC的长．
【解答】解：延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC120°＝60°，
∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，
∴△DAC为等边三角形，
∴DA＝DC，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（SAS），
∴∠E＝∠DBC＝60°，
而∠DBA＝60°，
∴△DBE为等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴BH＝EH，
在Rt△BDH中，BHDH，
∴BE＝2BH＝2，
∴AB+BC＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了圆周角定理．
10．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+c与直线y＝2x+2022上纵坐标为m的点共有3个，且它们的横坐标分别为x1，x2，x3（x1，x2，x3互不相同）．若n＝x1+x2+x3，则m﹣n的值为（ ）
A．2012 B．2022 C．1006 D．1011
【思路点拔】由抛物线解析式求出抛物线对称轴，设A，B在抛物线上，C在直线上，从而可得m与n的关系，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣5ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x，
设A（x1，m），B（x2，m）在抛物线上，点C在直线上，则A，B关于对称轴对称，
∴x1+x2＝5，
∴n＝x1+x2+x3＝5+x3，
∴x3＝n﹣5，
把（x3，m）代入y＝2x+2022得m＝2x3+2022＝2n+2012，
∴m﹣2n＝2012，即m﹣n＝1006，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6．若任意掷一次骰子，朝上一面的点数为偶数的概率为 ．
【思路点拔】根据概率公式即可得．
【解答】解：∵任意抛掷一次骰子共有6种等可能结果，其中朝上一面的点数为偶数的只有3种，
∴朝上一面的点数为偶数的概率．
故答案为．
【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．
12．（4分）线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为 （1） cm．
【思路点拔】根据黄金分割的定义得到APAB，把AB＝2cm代入计算即可．
【解答】解：∵线段AB＝2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴APAB2cm＝（1）cm，
故答案为：（1）．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
13．（4分）当﹣1≤x≤2时，关于x的二次函数y＝（x﹣m）2+1有最小值2，则实数m的值为 ﹣2或3 ．
【思路点拔】分m＞2，﹣1≤m≤2，m＜﹣1，三种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：∵y＝（x﹣m）2+1，
∴对称轴为x＝m，函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵﹣1≤x≤2，
①当m＞2时：当x＝2，函数有最小值为（2﹣m）2+1＝2，解得：m＝3或m＝1（舍去）；
②当﹣1≤m≤2，函数的最小值为1，不符合题意；
③当m＜﹣1时，函数有最小值为（﹣1﹣m）2+1＝2，解得：m＝﹣2或m＝0（舍去）；
综上：m＝﹣2或m＝3；
故答案为：﹣2或3．
【点评】本题考查二次函数的最值，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
14．（4分）如图，已知∠BAC＝40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合．
（1）△ABC旋转了 140 度．
（2）连接CE，判断△AEC的形状是 等腰三角形 ．
（3）若∠ACE＝20°，则∠AEC的度数为 20° ．
【思路点拔】（1）根据题意求出∠BAD的度数，即旋转角的度数，得到答案；
（2）根据旋转变换的性质得到AC＝AE，根据等腰三角形的判定定理判断即可；
（3）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝40°，
∴∠BAD＝140°，
∴△ABC旋转了140°，
故答案为：140；
（2）由旋转的性质可知，AC＝AE，
∴△AEC是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（3）由旋转的性质可知，∠CAE＝∠BAD＝140°，又AC＝AE，
∴∠AEC＝（180°﹣140°）÷2＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质，理解旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度的概念、掌握旋转变换的性质是解题的关键．
15．（4分）二次函数y＝ax2的图象上有一点的横坐标是2，且这点到x轴的距离为6，则此二次函数的解析式是 yx2或yx2 ．
【思路点拔】根据题意求出这个点的坐标为（2，6）或（2，﹣6），然后分别把坐标代入解析式得出a即可．
【解答】解：根据题意知，这个点的坐标为（2，6）或（2，﹣6），
把（2，6）代入y＝ax2，得4a＝6，
解得a，
∴二次函数的解析式是yx2；
把（2，﹣6）代入y＝ax2，得4a＝﹣6，
解得a，
∴二次函数的解析式是yx2；
综上所述，二次函数的解析式是yx2或yx2．
故答案为：yx2或yx2．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是根据题意得到抛物线上这一点的坐标．
16．（4分）如图，在半径为5的⊙O中；弦AC＝8，B为上一动点，将△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE中点，连接AE，OF．现给出以下结论：①AE＝AB；②∠AED＝∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值为2，其中正确的是 ①② （写出所有正确结论的序号）．
【思路点拔】根据翻折，可得∠BCA＝∠ECA，AD＝AB，即可判断①②选项，没有足够的条件证明③选项，过点O作OM⊥AC于点M，连接FM，FA，OA，根据垂径定理，可得M是AC的中点，根据勾股定理，可得OM，根据直角三角形的性质可得FM＝4，根据三角形的三边关系可得OF的最小值．
【解答】解：∵△ABC沿弦AC翻折至△ADC，
∴∠BCA＝∠ECA，AD＝AB，
∴AE＝AB，
故①选项符合题意；
∴AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
故②选项符合题意；
只有当△ADE是等边三角形时，∠ADC＝2∠AED才成立，
故③选项不符合题意；
过点O作OM⊥AC于点M，连接FM，FA，OA，如图所示：
则M是AC的中点，
∵半径为5的⊙O，弦AC＝8，
∴OA＝5，AM＝4，
根据勾股定理，得OM＝3，
∵AD＝AE，F是DE的中点，
∴∠AFD＝90°，
∴FMAC＝4，
当O，F，M三点共线时，OF最小＝FM﹣OM＝4﹣3＝1，
故④选项不符合题意，
综上，正确的选项：①②，
故答案为：①②．
【点评】本题考查了圆周角定理，，涉及图形的翻折的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；
（2）两次转动转盘，第一次转得的数字记为m，第二次记为n，A点的坐标为（m，n），求A点在函数y＝x+1图象上的概率．
【解答】解：（1）画树状图如下：
每次游戏可能出现的所有结果有9种；
（2）共有9种等可能的结果，A（m，n）在函数y＝x+1图象上的结果有2种，即（1，2），（2，3），
∴A点在函数y＝x+1图象上的概率为．
【点评】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（6分）如图，在6×6的网格中，网格的边长为1，△ABC的顶点在格点上，已知△ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺借助网格线画图．
要求：①画图只保留作图痕迹，不要求写作法；②第（1）题画虚线，第（2）题画实线．
（1）找出△ABC的外接圆的圆心O，并求的长；
（2）在⊙O上找到点D（点D与点B不重合），使CB＝CD．
【思路点拔】（1）取格点O，分别连接OA、OB、OC，利用勾股定理求出OA、OB、OC的长即可，再得到∠AOC＝90°，即可求弧ABC的长；
（2）取格点E、F，连接EF并延长交圆于点D，连接AE、CF、CD，得到四边形ACDE是等腰梯形，即可求解．
【解答】解：（1）取格点O，分别连接OA、OB、OC，如图：
在网格中，，，，，
∴OA＝OB＝OC，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵，，，
∴AC2＝OA2+OC2，
∴∠AOC＝90°，
∴弧ABC的长为：；
（2）取格点E、F，连接EF并延长交圆于点D，连接AE、CF、CD，如图：
由网格可知，AE＝BC，四边形ACFE是平行四边形，
∴EF∥AC，即ED∥AC，
∴四边形ACDE是等腰梯形，
∴CD＝AE，
∴BC＝CD，
∴点D即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣网格作图，三角形的外接圆，弧长公式和圆的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
19．（6分）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD垂直BC于点D，弧AB＝弧AE，BE分别交AD，AC于点F，G．
（1）求证：FA＝FB．
（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
【思路点拔】（1）根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，，推出∠AGB＝∠CAD，即可推得FA＝FB．
（2）根据BD＝DO＝2，AD⊥BC，求出∠AOB＝60°，再根据，求出∠EOC＝60°，即可求出弧EC的长度是多少．
【解答】（1）证明：∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD＝90°；
∵，
∴∠C＝∠ABE，
∴∠AGB＝∠CAD，
∵∠C＝∠BAD
∴∠BAD＝∠ABE
∴FA＝FB．
（2）解：如图，连接AO、EO，
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO，
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOC＝60°，
∴的长度π．
【点评】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握．
20．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … m 0 ﹣3 n ﹣3 …
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 上 ，对称轴为 直线x＝1 ；
（2）求抛物线的表达式及m，n的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系 A3A4﹣A1A2＝1 ．
【思路点拔】（1）观察表格中的数据，得到x＝0和x＝2时，y值相等都为﹣3，且其他y的值比﹣3大，可得出抛物线开口方向及对称轴；
（2）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可；
（3）画出抛物线图象，确定出点P'运动的轨迹即可；
（4）根据（3）中图象可得答案．
【解答】解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；
故答案为：上，直线x＝1；
（2）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝﹣2时，m＝4+4﹣3＝5；
当x＝1时，n＝1﹣2﹣3＝﹣4；
（3）画出抛物线图象，描出P'的轨迹，是一条抛物线，如图1所示，
（4）方法一：不妨假设交点在x轴上，则A1（﹣1，0），A2（，0），A2（1.5，0），A4（3，0），
∴A3A4＝1.5，A1A2＝0.5，
∴A3A4﹣A1A2＝1．
方法二：如图2，设点A1，A2，A3，A4对应的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，
∴A1A2＝x2﹣x1，A3A4＝x4﹣x3，
∴A3A4﹣A1A2＝x4﹣x3﹣（x2﹣x1）＝x4+x1﹣（x3+x2），
令y＝x2﹣2x﹣3＝m，可得x2﹣2x﹣3﹣m＝0，它对应的两个根应为x1，x4，
∴x1+x4＝2，
令y＝2x2﹣2xm，可得2x2﹣2xm＝0，它对应的两个根应为x2，x3，
∴x2+x3＝1，
∴A3A4﹣A1A2＝2﹣1＝1．
或（x1+x4）＝1（对称轴），
倍长OA2到OA'2，倍长OA3到OA'3，可知A'2（横坐标2x2）和A'3（横坐标2x3）在原抛物线上，且关于对称轴对称，
（2x2+2x3）＝1（对称轴），
可得A3A4﹣A1A2＝1．
方法三：如图2，设P（x，y），P′（p，q），
∵点P′为OP 的中点，
∴px，qy，即x＝2p，y＝2q，代入y＝x2﹣2x﹣3中，得（2p）2﹣2×2p﹣3＝2q，
∴q＝2p2﹣2p，即点P′所在的抛物线的表达式为y＝2x2﹣2x，
∵直线y＝m与抛物线y＝x2﹣2x﹣3有两个交点，
∴，解得，或，
∴A1（1，m），A4（1，m），
∵直线y＝m与抛物线y＝2x2﹣2x有两个交点，
∴，解得，或，
∴A3（，m），A2（，m），
∴A1A2＝（）﹣（1），
A3A4＝（1）﹣（），
∴A3A4﹣A1A2＝（）﹣（）＝1．
故答案为：A3A4﹣A1A2＝1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．若∠BAC＝α．
（1）求∠ADC的度数（用含α的代数式表示）；
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为6，CP＝2BP，求AP的长．
【思路点拔】（1）一般圆周角定理推出∠ADB＝90°，∠BDC＝∠BAC＝α，即可得到∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°+α；
（2）由圆周角定理推出∠PCO＝∠ADB＝90°，令PB＝x，由勾股定理得到（6+x）2＝（2x）2+62，求出x＝4，得到PB＝4，即可求出PA的长．
【解答】解：（1）连接BC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝α，
∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°+α；
（2）∵∠ACP＝∠ADC，
∴∠PCO+∠ACO＝∠ADB+∠BDC，
∵∠OCA＝∠OAC，∠BDC＝∠OAC，
∴∠BDC＝∠OCA，
∴∠PCO＝∠ADB＝90°，
令PB＝x，则PC＝2PB＝2x，
∵⊙O的半径为6，
∴PO＝OB+PB＝6+x，
∵PO2＝PC2+OC2，
∴（6+x）2＝（2x）2+62，
∴x＝4，
∴PB＝4，
∴AP＝AB+PB＝6×2+4＝16．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，关键是由圆周角定理推出∠PCO＝90°，由勾股定理列出关于PB的方程．
22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）请直接写出每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少？
【思路点拔】（1）根据题意，可以写出每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，可以写出每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）将（2）中函数关系式化为顶点式，再根据该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，可以得到x的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可得到该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝250﹣（x﹣25）×10＝﹣10x+500，
即每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣10x+500；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，
即每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式是w＝﹣10x2+700x﹣10000；
（3）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴该函数图象开口向下，当x＜35时，y随x的增大而增大，
∵该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，
∴x≥30且﹣10x+500≥160，
解得30≤x≤34，
∴当x＝34时，w取得最大值，此时w＝2240，
答：该文具定价为34元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是2240元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
23．（10分）已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上．
【思路点拔】对于（1），令y＝0，得﹣x2+（m﹣1）x+m＝0，利用一元二次方程的判别式判断该方程解的情况，从而可得函数y与x轴的交点个数的情况；
对于（2），先将函数y配方成顶点式，从而可得其顶点坐标，将顶点横坐标代入y＝（x+1）2，求出y，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），
∴Δ＝（m﹣1）2+4m＝（m+1）2≥0，
则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，．
故选：D．
（2）证明：y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣（x）2，
所以该函数的图象的顶点坐标为（，）．
把x代入y＝（x+1）2，得y＝（1）2，
因此，不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
24．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC的长．
【思路点拔】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据勾股定理求出BE，进而求出GC，根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：在Rt△OBE中，OB2＝OE2+BE2，OB＝5，OE＝3，
∴BE4，
∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴BC＝2BE＝8，
∵BG是⊙O的直径，
∴∠BCG＝90°，
∴CG6．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，勾股定理，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
杭州市2024-2025学年九年级上学期期中模拟考试数学（二）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径为6，点P在⊙O外，则OP的长可以为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
2．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是360°
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7
D．在一只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球
3．（3分）已知2，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）把抛物线y＝3x2﹣3向左移动3个单位得到抛物线表达式为（ ）
A．y＝3（x+3）2﹣3 B．y＝3（x﹣3）2﹣3
C．y＝3x2 D．y＝3x2﹣6
5．（3分）甲、乙两个扇形的面积相等，如果扇形甲的弧长是扇形乙弧长的，那么扇形甲的半径长是扇形乙的半径长的（ ）
A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
6．（3分）如图，⊙O的直径AB＝2，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
7．（3分）如图，AD为⊙O直径，作⊙O的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作OA的中垂线，交圆O于B，F两点；2．作OD的中垂线，交圆O于C，E两点；3．顺次连接A，B，C，D，E，F六个点，六边形即为所求；
乙：1．以A为圆心，OA长为半径作弧，交圆O于B，F两点；2．以D为圆心，OA长为半径作弧，交圆O于C，E两点；3．顺次连接A，B，C，D，E，F六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
8．（3分）如图，抛物线yx2﹣x﹣4与y轴相交于点A，抛物线顶点为M，点B坐标为（2，0），作射线BM，将射线BM沿直线AB翻折得到射线BN，BN与抛物线交于点P，则点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，已知DH，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
10．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+c与直线y＝2x+2022上纵坐标为m的点共有3个，且它们的横坐标分别为x1，x2，x3（x1，x2，x3互不相同）．若n＝x1+x2+x3，则m﹣n的值为（ ）
A．2012 B．2022 C．1006 D．1011
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6．若任意掷一次骰子，朝上一面的点数为偶数的概率为 ．
12．（4分）线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为 cm．
13．（4分）当﹣1≤x≤2时，关于x的二次函数y＝（x﹣m）2+1有最小值2，则实数m的值为 ．
14．（4分）如图，已知∠BAC＝40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合．
（1）△ABC旋转了 度．
（2）连接CE，判断△AEC的形状是 ．
（3）若∠ACE＝20°，则∠AEC的度数为 ．
15．（4分）二次函数y＝ax2的图象上有一点的横坐标是2，且这点到x轴的距离为6，则此二次函数的解析式是 ．
16．（4分）如图，在半径为5的⊙O中；弦AC＝8，B为上一动点，将△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE中点，连接AE，OF．现给出以下结论：①AE＝AB；②∠AED＝∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值为2，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；
（2）两次转动转盘，第一次转得的数字记为m，第二次记为n，A点的坐标为（m，n），求A点在函数y＝x+1图象上的概率．
18．（6分）如图，在6×6的网格中，网格的边长为1，△ABC的顶点在格点上，已知△ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺借助网格线画图．
要求：①画图只保留作图痕迹，不要求写作法；②第（1）题画虚线，第（2）题画实线．
（1）找出△ABC的外接圆的圆心O，并求的长；
（2）在⊙O上找到点D（点D与点B不重合），使CB＝CD．
19．（6分）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD垂直BC于点D，弧AB＝弧AE，BE分别交AD，AC于点F，G．
（1）求证：FA＝FB．
（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
20．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … m 0 ﹣3 n ﹣3 …
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；
（2）求抛物线的表达式及m，n的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系 ．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．若∠BAC＝α．
（1）求∠ADC的度数（用含α的代数式表示）；
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为6，CP＝2BP，求AP的长．
22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）请直接写出每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少？
23．（10分）已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.1或2
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上．
24．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC的长．
